Retta tangente al grafico

[Matt_Bon]

Ciao a tutti,
come si fa a risolvere questo problema?
La retta passante per l’origine e tangente al grafico di $g(x) = x^3 + 2$ è?
io applico la definizione di fascio $y-y0 =m(x-x0) $ che mi dà $y=m(x)$
Poi devo metterlo a sistema. La condizione di tangenza è delta =0, ma non la posso applicare, perchè il grado è >2.

Come risolvo?
Grazie mille

[Seneca1]

Stai postando nella sezione di Analisi matematica, quindi credo tu abbia trattato le derivate, giusto?

[Obidream]

L'equazione della retta tangente in un punto si calcola cosi:
$ y-y_0=f '(x_0)*(x-x_o)$
Sfrutti la definizione geometrica di derivata di una funzione in un punto $x_o$, ovvero il coefficiente angolare, cioè la tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla retta tangente alla tua funzione nel punto $x_0$ e il semiasse positivo delle ascisse (cit. wikipedia)

[chiaraotta1]

"Matt_Bon":Ciao a tutti,
come si fa a risolvere questo problema?
La retta passante per l’origine e tangente al grafico di $g(x) = x^3 + 2$ è?
io applico la definizione di fascio $y-y0 =m(x-x0) $ che mi dà $y=m(x)$
Poi devo metterlo a sistema. La condizione di tangenza è delta =0, ma non la posso applicare, perchè il grado è >2.

Come risolvo?
Grazie mille

L'equazione della tangente a una curva $y=f(x)$ in un suo punto di ascissa $x_T$ è del tipo $y - f(x_T)=f'(x_T)*(x - x_T)$. Se imponi il passaggio di questa retta per il punto $O$, sostituendo nell'equazione precedente a $x$ e $y$ le coordinate di $O$, ottieni un'equazione in cui l'unica incognita è l'ascissa del punto di tangenza $x_T$.

Precisamente, se $f(x)=x^3+2$, allora $f(x_T)=x_T^3+2$, $f'(x)=3*x^2$ e $f'(x_T)=3*x_T^2$.
Quindi l'equazione della tangente generica in $(x_T, f(x_T))$ è $y - (x_T^3+2)=3*x_T^2*(x - x_T)$.
Se questa retta deve passare per $O(0, 0)$, le coordinate di $O$ devono soddisfarne l'equazione e quindi deve essere
$0 - (x_T^3+2)=3*x_T^2*(0 - x_T)->x_T^3+2=3*x_T^2* x_T->2x_T^3=2->x_T^3=1->x_T=1$.
L'equazione della retta si ottiene allora sostituendo nell'equazione generica a $x_T$ il valore trovato ($1$):
$y - (1^3+2)=3*1^2*(x - 1)->y-3=3*(x-1)->y=3*x$.

[Matt_Bon]

"chiaraotta":[quote="Matt_Bon"]Ciao a tutti,
come si fa a risolvere questo problema?
La retta passante per l’origine e tangente al grafico di $g(x) = x^3 + 2$ è?
io applico la definizione di fascio $y-y0 =m(x-x0) $ che mi dà $y=m(x)$
Poi devo metterlo a sistema. La condizione di tangenza è delta =0, ma non la posso applicare, perchè il grado è >2.

Come risolvo?
Grazie mille

L'equazione della tangente a una curva $y=f(x)$ in un suo punto di ascissa $x_T$ è del tipo $y - f(x_T)=f'(x_T)*(x - x_T)$. Se imponi il passaggio di questa retta per il punto $O$, sostituendo nell'equazione precedente a $x$ e $y$ le coordinate di $O$, ottieni un'equazione in cui l'unica incognita è l'ascissa del punto di tangenza $x_T$.

Precisamente, se $f(x)=x^3+2$, allora $f(x_T)=x_T^3+2$, $f'(x)=3*x^2$ e $f'(x_T)=3*x_T^2$.
Quindi l'equazione della tangente generica in $(x_T, f(x_T))$ è $y - (x_T^3+2)=3*x_T^2*(x - x_T)$.
Se questa retta deve passare per $O(0, 0)$, le coordinate di $O$ devono soddisfarne l'equazione e quindi deve essere
$0 - (x_T^3+2)=3*x_T^2*(0 - x_T)->x_T^3+2=3*x_T^2* x_T->2x_T^3=2->x_T^3=1->x_T=1$.
L'equazione della retta si ottiene allora sostituendo nell'equazione generica a $x_T$ il valore trovato ($1$):
$y - (1^3+2)=3*1^2*(x - 1)->y-3=3*(x-1)->y=3*x$.[/quote]


Sei stata davvero precisa e gentile, così mi è venuto subito, grazie mille!!