Retta tangente a curva
sia $ gamma sub R^3 $ la curva di equazioni parametriche $ t|-> (e^(t^2),t*e^t,e^(2t)),tin R $ . La retta tangente a $ gamma $ in P(1,0,1) è: ???
io ho fatto la derivata della parametrizzazione per trovare un generico vettore tangente ottenendo $ (2te^(t^2),e^t(1+t),2e^(2t)) $ e poi ho detto che la retta tangente è $ (1+2t^2e^(t^2),e^t(1+t)t,1+2te^(2t)) $ .... non capisco dove sbaglio o come procedere... essendo a scelta multipla il testo mi da le seguenti opzioni di risposta:
$ (0,t,2t) (e,t,e^2+2t) (e+t,0,e^2+t)(1,t,1+2t) $
grazie in anticipo
io ho fatto la derivata della parametrizzazione per trovare un generico vettore tangente ottenendo $ (2te^(t^2),e^t(1+t),2e^(2t)) $ e poi ho detto che la retta tangente è $ (1+2t^2e^(t^2),e^t(1+t)t,1+2te^(2t)) $ .... non capisco dove sbaglio o come procedere... essendo a scelta multipla il testo mi da le seguenti opzioni di risposta:
$ (0,t,2t) (e,t,e^2+2t) (e+t,0,e^2+t)(1,t,1+2t) $
grazie in anticipo
Risposte
Se rifletti un attimo ti accorgi che il punto P della curva lo ottieni per $t=0$. Questo valore di t lo devi sostituire nelle componenti del vettore generico tangente ed ottieni il vettore $(0,1,2)$. Ora ti basta scrivere le equazioni della retta passante per P ad avente per vettore direzionale quello ora trovato ed hai :
\(\displaystyle \begin{cases}x=1+0 \cdot t=1\\y=0+1 \cdot t=t\\z=1+2 \cdot t=1+2t\end {cases} \)
Pertanto la risposta giusta è la quarta. A tanto si può arrivare anche osservando che il quarto risultato è l'unico che rappresenta una retta passante per il punto P(1,0,1).
\(\displaystyle \begin{cases}x=1+0 \cdot t=1\\y=0+1 \cdot t=t\\z=1+2 \cdot t=1+2t\end {cases} \)
Pertanto la risposta giusta è la quarta. A tanto si può arrivare anche osservando che il quarto risultato è l'unico che rappresenta una retta passante per il punto P(1,0,1).
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