Resto di Peano e di Lagrange

[Arado90]

Studiando i Polinomi di Taylor, mi è venuto questo dubbio puramente teorico: il "resto" in sè credo di aver capito cos'è, cioè la differenza tra la funzione e la sua approssimazione lineare tramite un polinomio di grado n; però mi sfugge la differenza fra il resto di Peano ed il resto di Lagrange.
Cioè, che differenza c'è tra l'uno e l'altro? Quando si deve tener conto (oppure usare) uno e non dell'altro? Qual è l'effettivo significato di quelle due formule? Cosa rappresentano?
Tutti dubbi di questo genere mi sono venuti

[gugo82]

"Arado90":Studiando i Polinomi di Taylor, mi è venuto questo dubbio puramente teorico: il "resto" in sè credo di aver capito cos'è, cioè la differenza tra la funzione e la sua approssimazione lineare tramite un polinomio di grado n; però mi sfugge la differenza fra il resto di Peano ed il resto di Lagrange.
Cioè, che differenza c'è tra l'uno e l'altro? Quando si deve tener conto (oppure usare) uno e non dell'altro? Qual è l'effettivo significato di quelle due formule? Cosa rappresentano?
Tutti dubbi di questo genere mi sono venuti

La forma di Peano ti dice solamente che il resto della formula di Taylor d'ordine [tex]$n$[/tex] per una funzione derivabile [tex]$n$[/tex] volte è infinitesimo in [tex]$x_0$[/tex] d'ordine superiore a [tex]$(x-x_0)^n$[/tex], ma nulla più.
Ad esempio il resto potrebbe essere del tipo [tex]$c\cdot (x-x_0)^{n+\frac{1}{200}}$[/tex] oppure [tex]$c\cdot (x-x_0)^{n+2300}$[/tex] o [tex]$c\cdot (x-x_0)^{n+\frac{\pi}{\sqrt{759}}}$[/tex] (qui [tex]$c$[/tex] è una costante)... Che sono tutti infinitesimi in [tex]$x_0$[/tex] d'ordine maggiore di [tex]$n$[/tex].

Invece Lagrange ti dice che se la tua funzione è derivabile una volta in più (ossia [tex]$n+1$[/tex] volte), allora il resto è del tipo [tex]$c\cdot (x-x_0)^{n+1}$[/tex], con [tex]$c$[/tex] che dipende dalla derivata [tex]$n+1$[/tex]-esima.

Insomma Lagrange ti dà un'informazione precisa su com'è fatto il resto della formula di Taylor; però paghi questa informazione precisa con un'ipotesi più forte di derivabilità sulla funzione in esame.

[Arado90]

Ah ok! Credo di aver capito!
Grazie mille! =D

[gugo82]

Prego.
Ad ogni modo, stay tuned, perchè ci sono persone che stanno studiando questo stesso argomento e probabilmente potranno esserti anche loro d'aiuto...

[Arado90]

Ok!

[Paolo902]

"gugo82":Prego.
Ad ogni modo, stay tuned, perchè ci sono persone che stanno studiando questo stesso argomento e probabilmente potranno esserti anche loro d'aiuto...

Ogni riferimento a persone realmente frequentanti il foro è puramente casuale.

[gugo82]

"Paolo90":[quote="gugo82"]Prego.
Ad ogni modo, stay tuned, perchè ci sono persone che stanno studiando questo stesso argomento e probabilmente potranno esserti anche loro d'aiuto...

Ogni riferimento a persone realmente frequentanti il foro è puramente casuale.
[/quote]
Come al solito.


[size=59]Uffa... Smanettando col profilo sul sito sono tornato ad avere il nick minuscolo.[/size]