Residuo
Ragazzi come posso calcolare il residuo della funzione $f(z)=e^(3/(z+1))/(z^2+1)$ per la singolarità essenziale z = -1?
Grazie,
Mauro
Grazie,
Mauro
Risposte
O lo trovi con la definizione, oppure se riesci a scrivere la serie di Laurent della funzione su una corona centrata nella singolarità, basta prendere il primo coefficiente dello sviluppo negativo.
Il mio problema sta proprio nello scrivere la serie di Laurent...
Allora, ho provato anche io a scrivere la serie di Laurent ma viene un macello di conti...
Forse la strada più veloce è usare il Teorema dei residui; le singolarità al finito sono $-1$, che è essenziale, $i$ e $-i$ che sono due poli di ordine $1$. Il punto all'infinito è una singolarità eliminabile; per il Th dei residui la somma dei residui è $0$, ma tutti i residui li trovi facilmente, tranne quello che ti serve che troverai per differenza.
Forse la strada più veloce è usare il Teorema dei residui; le singolarità al finito sono $-1$, che è essenziale, $i$ e $-i$ che sono due poli di ordine $1$. Il punto all'infinito è una singolarità eliminabile; per il Th dei residui la somma dei residui è $0$, ma tutti i residui li trovi facilmente, tranne quello che ti serve che troverai per differenza.
Secondo la mia modestissima opinione, allorchè si ha a che fare con una 'singolarità essenziale' [gran brutta bestia partorita da qualche Frankestein...] la 'strada più veloce' cosiste nell'operare una trasformazione di variabili...
Nella fattispecie e si richiede il calcolo del residuo della funzione...
$f(z)= e^(3/(z+1))/(z^2+1)$ (1)
... per la singolarità essenziale $z=-1$. Quindi la 'strada più veloce' consiste nell'operare la trasformazione $p=1/(z+1)$. In tal modo il coefficiente di indice '-1' dello sviluppo di Laurent della $f(z)$ originaria nell'intorno di $z=-1$ coincide con il coefficiente di indice '+1' dello sviluppo di Laurent della $f(p)$ nell'intorno di $p=0$... e questo si sà bene che coincide con la $f'(0)$...
Detto fatto!... con semplici passaggi di trova che è...
$f(p)= e^(3*p)*(p^2)/(1-2*p+2*p^2)$ (2)
Il calcolo della derivata della (2) per $p=0$ non nasconde particolari insidie... certo scoprire alla fine che il residuo cercato vale $0$ potrà essere scoraggiante per qualcuno... così però è la vita ragazzi!...
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Nella fattispecie e si richiede il calcolo del residuo della funzione...
$f(z)= e^(3/(z+1))/(z^2+1)$ (1)
... per la singolarità essenziale $z=-1$. Quindi la 'strada più veloce' consiste nell'operare la trasformazione $p=1/(z+1)$. In tal modo il coefficiente di indice '-1' dello sviluppo di Laurent della $f(z)$ originaria nell'intorno di $z=-1$ coincide con il coefficiente di indice '+1' dello sviluppo di Laurent della $f(p)$ nell'intorno di $p=0$... e questo si sà bene che coincide con la $f'(0)$...
Detto fatto!... con semplici passaggi di trova che è...
$f(p)= e^(3*p)*(p^2)/(1-2*p+2*p^2)$ (2)
Il calcolo della derivata della (2) per $p=0$ non nasconde particolari insidie... certo scoprire alla fine che il residuo cercato vale $0$ potrà essere scoraggiante per qualcuno... così però è la vita ragazzi!...
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Mi dimostri quello che hai scritto? Dalle tue parole sembrerebbe che per ogni singolarità il residuo non è altro che la derivata prima di una funzione con variabile cambiata rispetto alla singolarità. Mi sembra un Teorema troppo forte per essere vero in generale.
Domanda.
Andando a naso pensavo bastasse sostituire $z+1=p$
E fare lo sviluppo centrato in zero della nuova funzione.
Sempre a naso il residuo di quest'ultimo sviluppo dovrebbe coincidere con il residuo della funzione originale calcolato nel punto $z=-1$.
Sbaglio con questo ragionamento?
Andando a naso pensavo bastasse sostituire $z+1=p$
E fare lo sviluppo centrato in zero della nuova funzione.
Sempre a naso il residuo di quest'ultimo sviluppo dovrebbe coincidere con il residuo della funzione originale calcolato nel punto $z=-1$.
Sbaglio con questo ragionamento?
Per una qualunque funzione sviluppabile in serie di Laurent nell'intorno di $z=a$ vale la relazione...
$f(z)= ... a_(-m)*(z-a)^(-m)+a_(-m+1)*(z-a)^(-m+1)+... +a_(-1)*(z-a)^(-1)+$
$+a_0+ a_1*(z-a)+a_2*(z-a)^2+...+a_n*(z-a)^n+...$ (1)
Il residuo della $f(z)$ in $z=a$ è per definizione pari al coefficiente di indice '-1', cioè $a_(-1)$. Se tutti i coefficienti di indice negativo della (1) sono nulli, $f(z)$ è analitica in $z=a$. Se esiste un intero positvo $k$ tale che per ogni $i>=k$ $(z-a)^i*f(z)$ è analitica in $z=a$, allora $f(z)$ ha in $z=a$ una singolarità di grado $k$. Se non esiste alcun numero intero $k$ tale che $(z-a)^k$ è analitica in $z=a$, allora $f(z)$ ha in $z=a$ una singolarità essenziale. In ogni caso operando la sostituzione $p=1/(z-a)$ la (1) diviene...
$f(p)= ... a_(-m)*p^m+a_(-m+1)*p^(m-1)+... +a_(-1)*p+$
$+a_0+ a_1*p^(-1)+a_2*p^(-2)+...+a_n*p^(-n)+...$ (2)
Quello che nello sviluppo (1) era in coefficiente moltiplicativo di $(z-a)^(-1)$ , nella (2) è divenuto il coefficiente moltiplicativo di $p$. A questo punto...
a) se $f(p)$ è analitica $a_(-1)$ è il valore della $f'(p)$ in $p=0$
b) se $f(p)$ ha in $p=0$ una singolarità di ordine $k$ si pone $g(p)=p^k*f(p)$ e si cerca il coefficiente di indice $k+1$ dello sviluppo della $g(p)$
c) se $f(p)$ ha a sua volta in $p=0$ una singolarità essenziale... beh!... mi auguro che il corpo accademico abbia il buon gusto di non assegnare in una prova di esame il calcolo del residuo di una funzione di questo tipo!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$f(z)= ... a_(-m)*(z-a)^(-m)+a_(-m+1)*(z-a)^(-m+1)+... +a_(-1)*(z-a)^(-1)+$
$+a_0+ a_1*(z-a)+a_2*(z-a)^2+...+a_n*(z-a)^n+...$ (1)
Il residuo della $f(z)$ in $z=a$ è per definizione pari al coefficiente di indice '-1', cioè $a_(-1)$. Se tutti i coefficienti di indice negativo della (1) sono nulli, $f(z)$ è analitica in $z=a$. Se esiste un intero positvo $k$ tale che per ogni $i>=k$ $(z-a)^i*f(z)$ è analitica in $z=a$, allora $f(z)$ ha in $z=a$ una singolarità di grado $k$. Se non esiste alcun numero intero $k$ tale che $(z-a)^k$ è analitica in $z=a$, allora $f(z)$ ha in $z=a$ una singolarità essenziale. In ogni caso operando la sostituzione $p=1/(z-a)$ la (1) diviene...
$f(p)= ... a_(-m)*p^m+a_(-m+1)*p^(m-1)+... +a_(-1)*p+$
$+a_0+ a_1*p^(-1)+a_2*p^(-2)+...+a_n*p^(-n)+...$ (2)
Quello che nello sviluppo (1) era in coefficiente moltiplicativo di $(z-a)^(-1)$ , nella (2) è divenuto il coefficiente moltiplicativo di $p$. A questo punto...
a) se $f(p)$ è analitica $a_(-1)$ è il valore della $f'(p)$ in $p=0$
b) se $f(p)$ ha in $p=0$ una singolarità di ordine $k$ si pone $g(p)=p^k*f(p)$ e si cerca il coefficiente di indice $k+1$ dello sviluppo della $g(p)$
c) se $f(p)$ ha a sua volta in $p=0$ una singolarità essenziale... beh!... mi auguro che il corpo accademico abbia il buon gusto di non assegnare in una prova di esame il calcolo del residuo di una funzione di questo tipo!...
cordiali saluti
lupo grigio
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Sì, ho capito la traccia, anche se certamante andrebbe scritta per bene.
Comunque sia rimangono esclusi alcuni casi; casi che invece con il Teorema dei residui non sono esclusi, per cui l'uso del Teorema dei residui è sicuramente più funzionale e generale, a parer mio.
Comunque sia rimangono esclusi alcuni casi; casi che invece con il Teorema dei residui non sono esclusi, per cui l'uso del Teorema dei residui è sicuramente più funzionale e generale, a parer mio.
Confesso che, alla mia non più tanto verde età [ sigh!...
], la memoria può fare qualche scherzo ed è così che ho pensato bene di andarmi a rivedere il Teorema dei residui e le procedure per il calcolo dei residui...
Riporto da http://it.wikipedia.org/wiki/Poli_e_Residui
Teorema dei residui
Sia $f(z)$ una funzione analitica in un dominio A, eccetto che in un numero finito di singolarità isolate e sia $gamma$ una curva di Jordan contenuta in A che non interseca punti singolari, Allora…
$int_gamma f(z) dz= 2*pi/j*sum_(k=1)^n (Resf(z))_(z=z_k)$
dove $z_1,...,z_n$ sono i punti singolari della funzione.
Calcolo dei residui
Se $z_0$ è una singolarità essenziale dobbiamo usare la definizione di residuo
Se $z-=$ è un polo di ordine $n$ si può invece calcolare utilizzando lo sviluppo in serie di Laurent una volta visto che:
$g(z) = (z -z_0)^n*f(z)$
$(Resf(z))_(z=z_0)= 1/((n-1)!) lim_*(z->z_0) d^(n-1)/(dz^(n-1)) * (z-z_0)^n*f(z)$
Nel caso particolare di polo di ordine 1 detto anche polo semplice si ha…
$(Resf(z))_(z=z_0)=d_(-1)$
Il calcolo dei residui è importante per la risoluzione degli integrali di variabile complessa, ma anche di integrali di variabili reali che non hanno forma analitica esplicitamente calcolabile con i metodi tipici di integrazione.
Se la lingua italiana non è di interpretazione arbitraria pare di capire due cose...
a) il Teorema dei residui e i metodi per il calcolo dei residui sono due cose ben differenti tra loro
b) nel caso $z_0$ sia una singolarità essenziale per il calcolo del corripondente residuo occorre utilizzare la 'definizione di residuo', vale a dire in pratica la soluzione dell'integrale di Cauchy
Il metodo da me proposto consente [se sono soddisfatte ipotesi non molto restrittive...] il calcolo del residuo di una singolarità essenziale senza ricorrere agli integrali di Cauchy, che il più delle volte si rivelano assai ardui da affrontare. Questo almeno stando a quello che dice wikipedia...
E' esatto ciò?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
], la memoria può fare qualche scherzo ed è così che ho pensato bene di andarmi a rivedere il Teorema dei residui e le procedure per il calcolo dei residui... Riporto da http://it.wikipedia.org/wiki/Poli_e_Residui
Teorema dei residui
Sia $f(z)$ una funzione analitica in un dominio A, eccetto che in un numero finito di singolarità isolate e sia $gamma$ una curva di Jordan contenuta in A che non interseca punti singolari, Allora…
$int_gamma f(z) dz= 2*pi/j*sum_(k=1)^n (Resf(z))_(z=z_k)$
dove $z_1,...,z_n$ sono i punti singolari della funzione.
Calcolo dei residui
Se $z_0$ è una singolarità essenziale dobbiamo usare la definizione di residuo
Se $z-=$ è un polo di ordine $n$ si può invece calcolare utilizzando lo sviluppo in serie di Laurent una volta visto che:
$g(z) = (z -z_0)^n*f(z)$
$(Resf(z))_(z=z_0)= 1/((n-1)!) lim_*(z->z_0) d^(n-1)/(dz^(n-1)) * (z-z_0)^n*f(z)$
Nel caso particolare di polo di ordine 1 detto anche polo semplice si ha…
$(Resf(z))_(z=z_0)=d_(-1)$
Il calcolo dei residui è importante per la risoluzione degli integrali di variabile complessa, ma anche di integrali di variabili reali che non hanno forma analitica esplicitamente calcolabile con i metodi tipici di integrazione.
Se la lingua italiana non è di interpretazione arbitraria pare di capire due cose...
a) il Teorema dei residui e i metodi per il calcolo dei residui sono due cose ben differenti tra loro
b) nel caso $z_0$ sia una singolarità essenziale per il calcolo del corripondente residuo occorre utilizzare la 'definizione di residuo', vale a dire in pratica la soluzione dell'integrale di Cauchy
Il metodo da me proposto consente [se sono soddisfatte ipotesi non molto restrittive...] il calcolo del residuo di una singolarità essenziale senza ricorrere agli integrali di Cauchy, che il più delle volte si rivelano assai ardui da affrontare. Questo almeno stando a quello che dice wikipedia...
E' esatto ciò?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Se $z_0$ è una singolarità essenziale dobbiamo usare la definizione di residuo
A dire la verità,da quel poco che so direi che il residuo calcolato in $z_0$, lo si può comunque fare utilizzando lo sviluppo in serie di Laurent, infatti il residuo è il $c_{-1}$ di tale sviluppo.ma questo vale anche se $z_0$ è una singolarità essenziale.
Mentre si può usare la formula $(Resf(z))_(z=z_0)= 1/((n-1)!) lim_*(z->z_0) d^(n-1)/(dz^(n-1)) * (z-z_0)^n*f(z)$ solo se $z_0$ è un polo
Sbaglio?
esatto!... parlando con linguaggio improprio una singolarità essenziale può essere vista come un 'polo di grado infinito' e in questo caso la formula da te indicata ovviamente non può essere applicata...
Nel caso di una singolarità essenziale si hanno quindi due possibilità:
a) applicare la formula integrale di Cauchy [spesso impresa ardua...]
b) applicare il metodo proposto dallo scrivente [funziona nella 'maggior parte dei casi'...]
cordiali saluti
lupo grigio
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Nel caso di una singolarità essenziale si hanno quindi due possibilità:
a) applicare la formula integrale di Cauchy [spesso impresa ardua...]
b) applicare il metodo proposto dallo scrivente [funziona nella 'maggior parte dei casi'...]
cordiali saluti
lupo grigio
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Io non mi riferivo al calcolo dei residui, ma al Teorema dei residui, che è diverso (somma residui=0). Applicando questo Teorema il calcolo del residuo attorno ad una singolarità essenziale è banale se la funzione ha solo una singolarità essenziale, per cui non servono cambi di variabile.
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