Residui al finito e all' infinito dubbio amletico

[Driftin1]

Salve a tutti, mi ripropongo ancora una volta col tema dei residu, perchè sto impazzendo

Ho calcolato l' integrale
$ int_(|z-1|=2)(2z+1)/(z^2-z) $
secondo il teorema dei residui il risultato è: $ 2pij(R(0)+R(1) ) = 2pij( 3 -1 ) = 4pij $
Ora sempre secondo la teoria so che la somma dei residui al finito e all' infinito è nulla, quindi
$ R(0) + R(1) + R(oo) = 0 $
Per quello che ho letto sui libri il residuo all' infinito può essere calcolato come :
$ lim_(z -> 0) -f(1/z)(1/z^2) $ che dà come limite infinito e quindi la somma dei residui non è nulla
Oppure come, e qui salta fuori un casino, perchè le formule prese su due libri diversi mi sembrano contrastanti ( può sempre essere che io sia fuso... ): (posto w=1/z)
$ lim_(z -> 0) -g(w)/w^2 $ che ha per limite 0 e quindi la somma non è nulla!

Ancora dopo ricerche su un altro libro ho trovato che il residuo all' infinito è
$ -lim_(z -> oo) zf(z) = -2 $
ed in questo caso mi troverei...


Aiuto!

[fisicarlo]

I residui nei punti 0 e 1 li hai calcolati correttamente...
Per il punto all'infinito non devi calcolare il limite di quella funzione da te scritta, ma il suo residuo nel punto $w=0$ (che corrisponde al punto $z = infty$)
quindi hai fatto tutto bene fino alla fine dove dovevi scrivere:
$Res[ -1/w^2*f(1/w) ,w=0]=$
$Res[-1/w^2 * (2*(1/w)+1) *1/( (1/w)*( (1/w) - 1 ) ) ,w=0]=$
$Res[-1/w * (2+w) / ( 1-w ),w=0]=$

$ lim_(w -> 0) (-1/w * (2+w) / ( 1-w )) * w =$
$ lim_(w -> 0) (-1) (2+w) / ( 1-w ) =$
$(-1)*(2+0)/1$
=$-2$

e si trova che $Res[f(z),infty] = - Res[f(z),0] - Res[f(z),1] = - ( 3 - 1)= - 2$


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x capire, si tratta di un semplicissimo cambio di variabili all'interno dell'integrale che definisce il residuo:

$ oint_(C) f(z)dz=oint_(C)f(z(w))*dz/(dw)*dw $

e infatti ponendo $w=1/z$ si ha $z = z(w) = 1/w$:
$dz/(dw) = d/(dw) (1/w)= -1/w^2 $
da cui:
$ oint_(C) f(z) dz = oint_(C) f(z(w)) * ( -1/(w^2) ) dw $

e il punto all'infinito $z=infty$ nello spazio complesso z si trasforma nel punto $w=0$ nello spazio complesso w