Relazione tra continuità della derivata prima e derivabilità della funzione
Ciao a tutti!
Stavo cercando sul web una sorta di guida su come poter individuare i punti di non derivabilità di una funzione e ho trovato la seguente.
L'idea consiste nell'individuare i punti di non derivabilità per esclusione e condurre su ciascuno di essi uno studio approfondito mediante la definizione.
Sia $f$ la funzione in esame:
1) Individuo il dominio $Dom(f)$
2) Calcolo la derivata prima di $f$ e ne determino il dominio $Dom(f\prime)$
3) Mi limito a considerare i punti dell'intersezione $Dom(f) \cap Dom(f\prime)$ poiché nei punti in cui f non è definita non ha senso parlare di derivabilità
4) Nei punti in cui $f\prime$ è continua è necessariamente soddisfatta la condizione di derivabilità
5) Nel caso di una funzione definita a tratti il punto di raccordo è un potenziale punto di non derivabilità
6) I punti isolati nei punti 1-5 sono possibili punti di non derivabilità, si proceda con il calcolo del limite del rapporto incrementale per la verifica.
Da ciò mi pare di aver capito che i possibili punti di non derivabilità possono trovarsi nei punti in cui $f\prime$ non è continua, nei punti in cui $f$ è definita mentre $f\prime$ non lo è e, nel caso di funzioni definite a tratti, nei punti di raccordo.
Non mi è chiaro però come mai nel punto 4) se $f\prime$ è continua allora è necessariamente soddisfatta la condizione di derivabilità. Esiste un teorema o una dimostrazione che mi permetta di chiarirmi le idee su questo specifico punto?
Stavo cercando sul web una sorta di guida su come poter individuare i punti di non derivabilità di una funzione e ho trovato la seguente.
L'idea consiste nell'individuare i punti di non derivabilità per esclusione e condurre su ciascuno di essi uno studio approfondito mediante la definizione.
Sia $f$ la funzione in esame:
1) Individuo il dominio $Dom(f)$
2) Calcolo la derivata prima di $f$ e ne determino il dominio $Dom(f\prime)$
3) Mi limito a considerare i punti dell'intersezione $Dom(f) \cap Dom(f\prime)$ poiché nei punti in cui f non è definita non ha senso parlare di derivabilità
4) Nei punti in cui $f\prime$ è continua è necessariamente soddisfatta la condizione di derivabilità
5) Nel caso di una funzione definita a tratti il punto di raccordo è un potenziale punto di non derivabilità
6) I punti isolati nei punti 1-5 sono possibili punti di non derivabilità, si proceda con il calcolo del limite del rapporto incrementale per la verifica.
Da ciò mi pare di aver capito che i possibili punti di non derivabilità possono trovarsi nei punti in cui $f\prime$ non è continua, nei punti in cui $f$ è definita mentre $f\prime$ non lo è e, nel caso di funzioni definite a tratti, nei punti di raccordo.
Non mi è chiaro però come mai nel punto 4) se $f\prime$ è continua allora è necessariamente soddisfatta la condizione di derivabilità. Esiste un teorema o una dimostrazione che mi permetta di chiarirmi le idee su questo specifico punto?
Risposte
Ottima domanda.
In realtà vale qualcosa di più: se $f$ è continua in un intorno $I$ di $x_0$, è derivabile in $I\setminus{x_0}$ e $f'(x)\to l$ per $x\to x_0$ allora $f$ è derivabile in $x_0$ e $f'(x_0)=l$. Lo ottieni usando de l'Hôpital.
In realtà vale qualcosa di più: se $f$ è continua in un intorno $I$ di $x_0$, è derivabile in $I\setminus{x_0}$ e $f'(x)\to l$ per $x\to x_0$ allora $f$ è derivabile in $x_0$ e $f'(x_0)=l$. Lo ottieni usando de l'Hôpital.
"ViciousGoblin":
Ottima domanda.
In realtà vale qualcosa di più: se $f$ è continua in un intorno $I$ di $x_0$, è derivabile in $I\setminus{x_0}$ e $f'(x)\to l$ per $x\to x_0$ allora $f$ è derivabile in $x_0$ e $f'(x_0)=l$. Lo ottieni usando de l'Hôpital.
Grazie @ViciousGoblin per la risposta!
Qualche giorno fa mi ero imbattuto in questo teorema che, se non mi sbaglio, si chiama teorema di Darboux o teorema del limite della derivata (citato anche qui). Non mi torna però una delle ipotesi, ovvero il fatto che $f$ sia derivabile in $I\setminus{x_0}$. Come posso suppore che la funzione sia derivabile nell'intorno $I\setminus{x_0}$ se ciò che sto cercando di dimostrare è la derivabilità nell'intervallo in cui la derivata prima è continua? In altre parole: se la derivata prima è continua in un certo intervallo $(a,b)$ e sto cercando di valutare la derivabilità della funzione come posso assumere che la funzione sia derivabile in un intorno bucato di quell'intervallo?
Spero di essere stato chiaro e ti ringrazio per l'eventuale risposta.
Ciao @alfred douglas
Mi piacerebbe capire da dove spunti fuori quell'elenco di punti da 1 a 6.
Io trovo orripilanti i punti 2,3,4
Poi, tra le funzioni definite a tratti c'è anche questa?
$f(x) = 1$ per $x<0$
$f(x) = 1$ per $x>=0$
Mi scuso per non usare "i casi", ma penso che sia abbastanza chiaro lo stesso come sia definita $f$
Mi piacerebbe capire da dove spunti fuori quell'elenco di punti da 1 a 6.
Io trovo orripilanti i punti 2,3,4
Poi, tra le funzioni definite a tratti c'è anche questa?
$f(x) = 1$ per $x<0$
$f(x) = 1$ per $x>=0$
Mi scuso per non usare "i casi", ma penso che sia abbastanza chiaro lo stesso come sia definita $f$
"Fioravante Patrone":
Ciao @alfred douglas
Mi piacerebbe capire da dove spunti fuori quell'elenco di punti da 1 a 6.
Io trovo orripilanti i punti 2,3,4
Poi, tra le funzioni definite a tratti c'è anche questa?
$f(x) = 1$ per $x<0$
$f(x) = 1$ per $x>=0$
Mi scuso per non usare "i casi", ma penso che sia abbastanza chiaro lo stesso come sia definita $f$
Ciao @Fioravante Patrone
La fonte dell'elenco sopracitato è ****, nello specifico la pagina relativa ai punti di non derivabilità, sezione "Individuare i punti di non derivabilità".
La funzione definita a tratti che hai citato presumo che rientri nella definizione, nonostante possa essere definita come $f(x)=1 \forall x \in Dom(f)$ e quindi non più classificabile come "a tratti".
Nella guida da me menzionata vengono definite funzioni a tratti le funzioni nella seguente forma:
$$
f(x) = \left\{ \begin{array}{cl}
f_1(x) & : \ x \in [a,b] \\
f_2(x) & : \ x \in (b,c]
\end{array} \right.
$$
@alfred douglas
Salve. Devo scusarmi per aver letto frettolosamente il tuo messaggio (mi sono fatto influenzare dal titolo...).
Ora l'ho riletto e devo dire che non capisco cosa chiedi
Cosa intendi con "la condizione di derivabilità" ? Se leggo il tuo punto 4) dal fatto che $f'$ è continua in $x_0$ io ricavo che ESISTE $f'(x_o)$.
Non so se c'entra ma forse una cosa che ti sfugge è che una funzione può ammettere derivata in un punto $x_0$ ma non ammettere $\lim_{x\to x_0}f'(x)$ (e in tal caso $f'$ non è continua in $x_0$).
Salve. Devo scusarmi per aver letto frettolosamente il tuo messaggio (mi sono fatto influenzare dal titolo...).
Ora l'ho riletto e devo dire che non capisco cosa chiedi
Cosa intendi con "la condizione di derivabilità" ? Se leggo il tuo punto 4) dal fatto che $f'$ è continua in $x_0$ io ricavo che ESISTE $f'(x_o)$.
Non so se c'entra ma forse una cosa che ti sfugge è che una funzione può ammettere derivata in un punto $x_0$ ma non ammettere $\lim_{x\to x_0}f'(x)$ (e in tal caso $f'$ non è continua in $x_0$).
@alfred douglas Il punto (3) di quell'elenco non lavora con l'esempio seguente:
\[
f(x)=\begin{cases}
\ln(x+1)\iff x\geq0\\
x\iff x<0
\end{cases}.
\]
\(0\) è un punto del dominio di \(f(x)\) ed erroneamente potresti credere che questi non è nel dominio di \(f^{\prime}(x)\), in quanto consideri la funzione:
\[
g(x)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{1}{x+1}\iff x>0\\
1\iff x<0
\end{cases}
\]
ottenuta "derivando a tratti la funzione \(f(x)\)". Eppure:
\[
\lim_{h\to0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{\ln(h+1)}{h}=1\\
\lim_{h\to0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{h}{h}=1
\]
ovvero \(f\) è una funzione derivabile in \(0\)!, quindi la precedente funzione \(g(x)\) ti induce in errore!
La derivata di \(f(x)\) è:
\[
f^{\prime}(x)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{1}{x+1}\iff x>0\\
1\iff x\leq0
\end{cases}
\]
in quanto, dopo aver svolto gli opportuni calcoli, ottieni:
\[
\forall x_0\in\mathbb{R},\,f^{\prime}(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
\]
Spero di non aver sbagliato nulla!
\[
f(x)=\begin{cases}
\ln(x+1)\iff x\geq0\\
x\iff x<0
\end{cases}.
\]
\(0\) è un punto del dominio di \(f(x)\) ed erroneamente potresti credere che questi non è nel dominio di \(f^{\prime}(x)\), in quanto consideri la funzione:
\[
g(x)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{1}{x+1}\iff x>0\\
1\iff x<0
\end{cases}
\]
ottenuta "derivando a tratti la funzione \(f(x)\)". Eppure:
\[
\lim_{h\to0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{\ln(h+1)}{h}=1\\
\lim_{h\to0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{h}{h}=1
\]
ovvero \(f\) è una funzione derivabile in \(0\)!, quindi la precedente funzione \(g(x)\) ti induce in errore!
La derivata di \(f(x)\) è:
\[
f^{\prime}(x)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{1}{x+1}\iff x>0\\
1\iff x\leq0
\end{cases}
\]
in quanto, dopo aver svolto gli opportuni calcoli, ottieni:
\[
\forall x_0\in\mathbb{R},\,f^{\prime}(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
\]
Spero di non aver sbagliato nulla!
"ViciousGoblin":
@alfred douglas
Salve. Devo scusarmi per aver letto frettolosamente il tuo messaggio (mi sono fatto influenzare dal titolo...).
Nessun problema, figurati!
"ViciousGoblin":
Ora l'ho riletto e devo dire che non capisco cosa chiedi
Cosa intendi con "la condizione di derivabilità" ?
Per "condizione di derivabilità", ad esempio in un punto $x_0 \in Dom(f)$, intendo l'esistenza di $\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
Dal fatto che $f\prime$ è continua in un certo intervallo $[a,b]$ ho che $\lim_{x\to x_0^-}f\prime(x)=\lim_{x\to x_0^+}f'(x)=f\prime(x_0) \forall x_0 \in (a,b)$, $\lim_{x \to a^+}f\prime(x)=f\prime(a)$ e $\lim_{x \to b^-}f\prime(x)=f\prime(b)$
A partire da ciò non mi è chiaro come sia possibile dimostrare che è "necessariamente soddisfatta la condizione di derivabilità" nello stesso intervallo $[a,b]$ ovvero che $\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f\prime(x_0) \forall x_0 \in (a,b)$, $\lim_{h \to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f\prime(a)$ e $\lim_{h \to 0^-}\frac{f(b+h)-f(b)}{h}=f\prime(b)$.
"ViciousGoblin":
Se leggo il tuo punto 4) dal fatto che $f'$ è continua in $x_0$ io ricavo che ESISTE $f'(x_o)$.
Si. Se non sbaglio lo si può verificare anche già nel punto 2) dopo aver calcolato $f\prime$ e dopo aver determinato $Dom(f\prime)$
"alfred douglas":
Per "condizione di derivabilità", ad esempio in un punto $x_0 \in Dom(f)$, intendo l'esistenza di $\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
Dal fatto che $f\prime$ è continua in un certo intervallo $[a,b]$ ho che $\lim_{x\to x_0^-}f\prime(x)=\lim_{x\to x_0^+}f'(x)=f\prime(x_0) \forall x_0 \in (a,b)$, $\lim_{x \to a^+}f\prime(x)=f\prime(a)$ e $\lim_{x \to b^-}f\prime(x)=f\prime(b)$
Dunque se $f'$ è continua in $x_0$ necessariamente esiste $f'(x_0)$ (giusto? nella definizione di continuità stai usando $f'(x_0)$... ). Ma chi è $f'(x_0)$ se non $\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$?. Dunque $f'$ continua in $x_0$ implica che valgono le condizioni di derivabilità in $x_0$.
Insomma le "condizioni di derivabilità in $x_0$" significano semplicemente che esiste $f'(x_0)$.
Questo mi pare risponda alla frase
"alfred douglas":
Non mi è chiaro però come mai nel punto 4) se f' è continua allora è necessariamente soddisfatta la condizione di derivabilità. Esiste un teorema o una dimostrazione che mi permetta di chiarirmi le idee su questo specifico punto?
Anche questa frase:
"alfred douglas":
Da ciò mi pare di aver capito che i possibili punti di non derivabilità possono trovarsi nei punti in cui f' non è continua, nei punti in cui f è definita mentre f' non lo è e, nel caso di funzioni definite a tratti, nei punti di raccordo.
è discutibile. I punti in cui $f'$ non è continua devono essere comunque punti in cui $f'$ esiste (altrimenti non ha senso chiedersi se $f'$ sia o non sia continua). Dunque anche in questi le "condizioni di derivabilità" sono soddisfatte. Invece se $x_0$ e uno dei "punti in cui $f$ è definita mentre $f'$ non lo è", allora $f'(x_0)$ non è definita e quindi non esiste - che altro c'è da dire?
In realtà quello che capita è che tu ti trovi dei punti $x_0$ per cui NON SAI se la derivata esiste o meno. Per trattare questi punti può essere utile vedere cosa fa $f'$ nell'intorno bucato di $x_0$ e usare quindi il teorema che ti ho scritto nell'altro messaggio.
"j18eos":
@alfred douglas Il punto (3) di quell'elenco non lavora con l'esempio seguente:
\[
f(x)=\begin{cases}
\ln(x+1)\iff x\geq0\\
x\iff x<0
\end{cases}.
\]
\(0\) è un punto del dominio di \(f(x)\) ed erroneamente potresti credere che questi non è nel dominio di \(f^{\prime}(x)\), in quanto consideri la funzione:
\[
g(x)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{1}{x+1}\iff x>0\\
1\iff x<0
\end{cases}
\]
ottenuta "derivando a tratti la funzione \(f(x)\)". Eppure:
\[
\lim_{h\to0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{\ln(h+1)}{h}=1\\
\lim_{h\to0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{h}{h}=1
\]
ovvero \(f\) è una funzione derivabile in \(0\)!, quindi la precedente funzione \(g(x)\) ti induce in errore!
La derivata di \(f(x)\) è:
\[
f^{\prime}(x)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{1}{x+1}\iff x>0\\
1\iff x\leq0
\end{cases}
\]
in quanto, dopo aver svolto gli opportuni calcoli, ottieni:
\[
\forall x_0\in\mathbb{R},\,f^{\prime}(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
\]
Spero di non aver sbagliato nulla!
Ciao @j18eos, grazie per l'intervento!
Potresti spiegarmi perché in
\[
g(x)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{1}{x+1}\iff x>0\\
1\iff x<0
\end{cases}
\]
la derivata $\frac{1}{x+1}$ è definita per $x>0$ e non per $x\geq0$?
Mi intrometto, magari senza aggiungere nulla o, peggio ancora, confondendo. Secondo me, tutta questa confusione che hanno gli studenti sullo studio della derivabilità di una funzione (o continuità, o più in generale la regolarità) è una conseguenza del fatto che non è chiara la logica elementare. Tecnicamente, quando si studia la derivabilità di una funzione a priori uno non sa nulla su dove essa è derivabile. Si dovrebbe fare il limite del rapporto incrementale in un punto generico e dedurre la derivabilità da ciò. Tuttavia, ciò è laborioso e, fortunatamente, esistono dei teoremi base che permettono di stabilire la derivabilità di una funzione in maniera non olistica (ossia, solo dalle sue "componenti"; da qui in avanti, con componente intendo, informalmente, le singole funzioni che compaiono in una somma/prodotto/composizione di funzioni); questi teoremi permettono, presa una funzione "complicata" (leggi "complicata" come: formata tramite operazioni algebriche tra più funzioni elementari) e "spezzata" in varie componenti, di dedurre la derivabilità della funzione complicata a partire dalla regolarità delle singole parti. Perciò, mi sto riferendo ai teoremi "se $f$ e $g$ sono derivabili in $x_0$, allora $f+g,fg,f\circ g$ sono derivabili in $x_0$" (li ho enunciati malamente, chiaramente vanno esplicitati per bene dominio e codominio di $f$ e $g$, a cosa appartiene $x_0$, ecc.).
Perciò, dopo aver esplicitato il dominio naturale di una certa funzione, la prima cosa in assoluto che si fa è andare a spezzarla in componenti costituite esclusivamente da funzioni elementari (costanti, potenze, funzioni trigonometriche, esponenziali, logaritmi). Questo perché, prima di enunciare e dimostrare questi teoremi, nella teoria si studia "a mano" (ossia, con la definizione) la derivabilità delle funzioni elementari; dunque, grazie ai teoremi base, dalla derivabilità dei singoli pezzi si deducono informazioni sulla derivabilità dell'intera funzione.
Ora arriva, secondo me, il problema di logica. Quei teoremi base sono delle implicazioni, ossia "se $f$ e $g$ sono derivabili in $x_0$, allora $f+g$ è derivabile in $x_0$". Nel momento in cui o $f$ o $g$ non sono derivabili in $x_0$, a priori non puoi dedurre nulla sia sulla derivabilità di $f+g$ in $x_0$ sia sulla non derivabilità di $f+g$ in $x_0$ (e non, come erroneamente spesso si fa, dedurre la non derivabilità: ad esempio, $|x|$ non è derivabile in $x_0=0$ e chiaramente non lo è neanche $-|x|$, ma la somma $|x|+(-|x|)=0$ è derivabile in $x_0=0$ essendo la funzione costantemente nulla). Nei punti di derivabilità, sempre per i teoremi base, si possono applicare le varie regole di derivazione alle funzioni non spezzettate: sempre perché anche quei teoremi sono delle implicazioni, ossia "se $f$ e $g$ sono derivabili in $x_0$, allora $f+g$ è derivabile in $x_0$ e risulta $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$).
Perciò, nella pratica, uno prima usa questi teoremi per stabilire in maniera semplice dove una funzione è derivabile (basta sapere dove sono derivabili le funzioni elementari) e, in tali punti, può procedere con le regole di derivazione; solo poi, nei punti in cui la derivabilità non è assicurata dai teoremi, non potendo dedurre nulla deve procedere con la definizione per ultimare lo studio della derivabilità. Esempio: la funzione $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definita ponendo $\varphi(x):=|x|\sin x$ è certamente derivabile in $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ per i teoremi di derivabilità del prodotto di due funzioni perché il modulo è derivabile in $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ e il seno è derivabile in $\mathbb{R}$, tuttavia il teorema ci garantisce derivabilità solamente a partire dalla già nota derivabilità dei due termini del prodotto (modulo e seno). Quindi, dato che $0$ non è coperto da quei teoremi (a causa della non derivabilità del modulo in $0$), la derivabilità in $0$ va stabilita con la definizione. Essendo:
$$\lim_{h \to 0} \frac{\varphi(h)-\varphi(0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{|h| \sin h}{h}=\lim_{h \to 0} |h|\frac{\sin h}{h}=|0|\cdot 1=0$$
Segue che $\varphi$ è derivabile anche in $0$ e risulta $\varphi'(0)=0$.
La conclusione è diversa per $\psi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definita ponendo $\psi(x):=\sin|x|$, nonostante le premesse siano uguali. Infatti, per gli stessi motivi di prima, $\psi$ è certamente derivabile in $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ma, a causa del modulo, non sappiamo a priori cosa succede in $0$. Tuttavia, non esistendo il seguente limite:
$$\lim_{h \to 0} \frac{\psi(h)-\psi(0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{\sin |h|}{h}$$
Perché esso è $1$ per $h \to 0^+$ ed è $-1$ per $h \to 0^-$, segue che $\psi$ non è derivabile in $0$.
L'origine di tutto ciò, credo, è dovuta al fatto che fin dalle scuole superiori la derivabilità viene vista come un automatismo: ho le regole, prendo le funzioni e le derivo. Quello che viene viene, basta che sia sensata la funzione ottenuta derivando. Proprio no. Le regole di derivazione sono teoremi a loro volta, quindi esse valgono solo sotto opportune ipotesi. Nell'esempio precedente, dato che $\psi$ è derivabile in $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ certamente in tali punti valgono le regole di derivazione:
$$\psi'(x)=\cos |x| \cdot \frac{|x|}{x}, \ \ \ \ \ \ \text{se} \ x \ne 0$$
Ma, in $0$, a priori non c'è alcun collegamento tra $\psi'$ ottenuta con le regole di derivazione per $x \ne 0$ e $\psi'(0)$ (poi, come è già stato riportato da ViciousGoblin, se la funzione soddisfa opportune ipotesi in effetti si può calcolare il valore della derivata in un punto a partire dal limite della funzione ottenuta derivando con le regole di derivazione; ma solo sotto opportune ipotesi).
Perciò, dopo aver esplicitato il dominio naturale di una certa funzione, la prima cosa in assoluto che si fa è andare a spezzarla in componenti costituite esclusivamente da funzioni elementari (costanti, potenze, funzioni trigonometriche, esponenziali, logaritmi). Questo perché, prima di enunciare e dimostrare questi teoremi, nella teoria si studia "a mano" (ossia, con la definizione) la derivabilità delle funzioni elementari; dunque, grazie ai teoremi base, dalla derivabilità dei singoli pezzi si deducono informazioni sulla derivabilità dell'intera funzione.
Ora arriva, secondo me, il problema di logica. Quei teoremi base sono delle implicazioni, ossia "se $f$ e $g$ sono derivabili in $x_0$, allora $f+g$ è derivabile in $x_0$". Nel momento in cui o $f$ o $g$ non sono derivabili in $x_0$, a priori non puoi dedurre nulla sia sulla derivabilità di $f+g$ in $x_0$ sia sulla non derivabilità di $f+g$ in $x_0$ (e non, come erroneamente spesso si fa, dedurre la non derivabilità: ad esempio, $|x|$ non è derivabile in $x_0=0$ e chiaramente non lo è neanche $-|x|$, ma la somma $|x|+(-|x|)=0$ è derivabile in $x_0=0$ essendo la funzione costantemente nulla). Nei punti di derivabilità, sempre per i teoremi base, si possono applicare le varie regole di derivazione alle funzioni non spezzettate: sempre perché anche quei teoremi sono delle implicazioni, ossia "se $f$ e $g$ sono derivabili in $x_0$, allora $f+g$ è derivabile in $x_0$ e risulta $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$).
Perciò, nella pratica, uno prima usa questi teoremi per stabilire in maniera semplice dove una funzione è derivabile (basta sapere dove sono derivabili le funzioni elementari) e, in tali punti, può procedere con le regole di derivazione; solo poi, nei punti in cui la derivabilità non è assicurata dai teoremi, non potendo dedurre nulla deve procedere con la definizione per ultimare lo studio della derivabilità. Esempio: la funzione $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definita ponendo $\varphi(x):=|x|\sin x$ è certamente derivabile in $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ per i teoremi di derivabilità del prodotto di due funzioni perché il modulo è derivabile in $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ e il seno è derivabile in $\mathbb{R}$, tuttavia il teorema ci garantisce derivabilità solamente a partire dalla già nota derivabilità dei due termini del prodotto (modulo e seno). Quindi, dato che $0$ non è coperto da quei teoremi (a causa della non derivabilità del modulo in $0$), la derivabilità in $0$ va stabilita con la definizione. Essendo:
$$\lim_{h \to 0} \frac{\varphi(h)-\varphi(0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{|h| \sin h}{h}=\lim_{h \to 0} |h|\frac{\sin h}{h}=|0|\cdot 1=0$$
Segue che $\varphi$ è derivabile anche in $0$ e risulta $\varphi'(0)=0$.
La conclusione è diversa per $\psi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definita ponendo $\psi(x):=\sin|x|$, nonostante le premesse siano uguali. Infatti, per gli stessi motivi di prima, $\psi$ è certamente derivabile in $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ma, a causa del modulo, non sappiamo a priori cosa succede in $0$. Tuttavia, non esistendo il seguente limite:
$$\lim_{h \to 0} \frac{\psi(h)-\psi(0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{\sin |h|}{h}$$
Perché esso è $1$ per $h \to 0^+$ ed è $-1$ per $h \to 0^-$, segue che $\psi$ non è derivabile in $0$.
L'origine di tutto ciò, credo, è dovuta al fatto che fin dalle scuole superiori la derivabilità viene vista come un automatismo: ho le regole, prendo le funzioni e le derivo. Quello che viene viene, basta che sia sensata la funzione ottenuta derivando. Proprio no. Le regole di derivazione sono teoremi a loro volta, quindi esse valgono solo sotto opportune ipotesi. Nell'esempio precedente, dato che $\psi$ è derivabile in $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ certamente in tali punti valgono le regole di derivazione:
$$\psi'(x)=\cos |x| \cdot \frac{|x|}{x}, \ \ \ \ \ \ \text{se} \ x \ne 0$$
Ma, in $0$, a priori non c'è alcun collegamento tra $\psi'$ ottenuta con le regole di derivazione per $x \ne 0$ e $\psi'(0)$ (poi, come è già stato riportato da ViciousGoblin, se la funzione soddisfa opportune ipotesi in effetti si può calcolare il valore della derivata in un punto a partire dal limite della funzione ottenuta derivando con le regole di derivazione; ma solo sotto opportune ipotesi).
[ot]
Ma questa è la normalità della Matematica per la (stra)grande maggioranza degli studenti ovvero l'approccio meccanico ("basta che funzioni") e mi tengo "quello che mi serve" (mi servirà ... se proprio farò l'ingegnere).
Finito.
Capisco che i Matematici inorridiscano ma così è ...[/ot]
"Mephlip":
L'origine di tutto ciò, credo, è dovuta al fatto che fin dalle scuole superiori la derivabilità viene vista come un automatismo: ho le regole, prendo le funzioni e le derivo.
Ma questa è la normalità della Matematica per la (stra)grande maggioranza degli studenti ovvero l'approccio meccanico ("basta che funzioni") e mi tengo "quello che mi serve" (mi servirà ... se proprio farò l'ingegnere).
Finito.
Capisco che i Matematici inorridiscano ma così è ...[/ot]
@ViciousGoblin,
@Mephlip
Ora ho le idee molto più chiare. Non mi resta altro che cimentarmi in alcuni esercizi e sbatterci la testa!
Vi ringrazio per le risposte esaustive
@Mephlip
Ora ho le idee molto più chiare. Non mi resta altro che cimentarmi in alcuni esercizi e sbatterci la testa!
Vi ringrazio per le risposte esaustive
@alfred douglas: Prego!
@axpgn:
[ot]Sì, è vero, e in realtà sono d'accordo. Tuttavia, mi aspetto un minimo di pensiero critico e di coerenza con le proprie posizioni: nel momento in cui sacrifico la comprensione per la praticità, devo essere consapevole che potrei commettere errori grossolani (proprio causati dal sacrificio selettivo) e, quindi, quando questi si presentano di dovrei prenderla "con sportività"
. Esempio: la programmazione mi piace, ma preferisco dedicarmi alla matematica pura. Quindi, tante cose di programmazione le imparo chiedendo aiuto e non ci rifletto troppo su autonomamente come invece faccio in matematica. Ma, quando il programma non funziona, la mia reazione non è: "Oddio che schifo la programmazione, queste cose non hanno senso e sono il delirio di un pazzo informatico" ma bensì è: "Ah, non funziona perché studio programmazione in maniera non sempre approfondita e, perciò, non posso sempre avere una comprensione critica di quello che faccio. Questo mi può portare ad una stratificazione di incomprensioni, perciò ci sta se, studiando così, prendo 7/30 all'esame."
Limitatamente alla mia esperienza, a volte le reazioni sono ben diverse. Non so se l'hai mai letto, ma vengo da fisica e quindi vivevo nel regno del "finché funziona..."; ma poi, le frecciatine ai matematici visti come un gruppo in piena allucinazione collettiva sul formalismo, o la frase (talmente stereotipata e falsa da avere vita propria): "gli ingegneri sono depensanti, usano gli strumenti della matematica e della fisica senza capire nulla" o, esempio peggiore, frustrazione per un esame andato male quando lo si è studiato solo per automatismi, erano episodi frequenti. Ora, finché si scherza va benissimo; io i miei amici fisici li massacro per questa storia della matematica automatizzata
, ma poi, quando le frecciatine sono in realtà commenti che si pensano veramente, quando si denigra davvero un altro ramo del sapere e quando la reazione dello studente è di rabbia o frustrazione ingiustificata (o meglio, motivata da una sua mancanza che non vuole ammettere), direi che non va bene 
.[/ot]
@axpgn:
[ot]Sì, è vero, e in realtà sono d'accordo. Tuttavia, mi aspetto un minimo di pensiero critico e di coerenza con le proprie posizioni: nel momento in cui sacrifico la comprensione per la praticità, devo essere consapevole che potrei commettere errori grossolani (proprio causati dal sacrificio selettivo) e, quindi, quando questi si presentano di dovrei prenderla "con sportività"
. Esempio: la programmazione mi piace, ma preferisco dedicarmi alla matematica pura. Quindi, tante cose di programmazione le imparo chiedendo aiuto e non ci rifletto troppo su autonomamente come invece faccio in matematica. Ma, quando il programma non funziona, la mia reazione non è: "Oddio che schifo la programmazione, queste cose non hanno senso e sono il delirio di un pazzo informatico" ma bensì è: "Ah, non funziona perché studio programmazione in maniera non sempre approfondita e, perciò, non posso sempre avere una comprensione critica di quello che faccio. Questo mi può portare ad una stratificazione di incomprensioni, perciò ci sta se, studiando così, prendo 7/30 all'esame."Limitatamente alla mia esperienza, a volte le reazioni sono ben diverse. Non so se l'hai mai letto, ma vengo da fisica e quindi vivevo nel regno del "finché funziona..."; ma poi, le frecciatine ai matematici visti come un gruppo in piena allucinazione collettiva sul formalismo, o la frase (talmente stereotipata e falsa da avere vita propria): "gli ingegneri sono depensanti, usano gli strumenti della matematica e della fisica senza capire nulla" o, esempio peggiore, frustrazione per un esame andato male quando lo si è studiato solo per automatismi, erano episodi frequenti. Ora, finché si scherza va benissimo; io i miei amici fisici li massacro per questa storia della matematica automatizzata
, ma poi, quando le frecciatine sono in realtà commenti che si pensano veramente, quando si denigra davvero un altro ramo del sapere e quando la reazione dello studente è di rabbia o frustrazione ingiustificata (o meglio, motivata da una sua mancanza che non vuole ammettere), direi che non va bene .[/ot]
[ot]
Adesso esageri
Si scherza ma ...
Pensavo fosse roba da ingegneri
Si scherza anche qui, eh![/ot]
"Mephlip":
Tuttavia, mi aspetto un minimo di pensiero critico e di coerenza con le proprie posizioni:
Adesso esageri
Si scherza ma ...
"Mephlip":
... e quindi vivevo nel regno del "finché funziona...";
Pensavo fosse roba da ingegneri
Si scherza anche qui, eh!
[/ot]
@axpgn:
[ot]Sìsì, è chiaro che stai scherzando. Purtroppo anche da fisici teorici, per scatenare l'inferno anche con loro basta andare sulle solite storie tipo: "$x/x=1$ è sempre vera?" oppure "è vero che $(-1)=(-1)^{2/2}$?" [/ot]
[ot]Sìsì, è chiaro che stai scherzando
. Purtroppo anche da fisici teorici, per scatenare l'inferno anche con loro basta andare sulle solite storie tipo: "$x/x=1$ è sempre vera?" oppure "è vero che $(-1)=(-1)^{2/2}$?" [/ot]
[ot]Gli economisti sono invece il contrario, hanno rispetto, quasi reverenziale, per la matematica, e pensano che più fanno le cose complicate e lunghe e si ingarbugliano più fanno alta matematica. Per cui spesso bisogna sgarbugliarli dalle matasse ingestibili in cui si sono avvoltolati [/ot]
[/ot]
"Fioravante Patrone":
Ciao @alfred douglas
Mi piacerebbe capire da dove spunti fuori quell'elenco di punti da 1 a 6.
Io trovo orripilanti i punti 2, 3, 4.
"alfred douglas":
Ciao @Fioravante Patrone
La fonte dell'elenco sopracitato è **** [...]
(Quando si dice un tempo comico perfetto!
)
"gabriella127":
Gli economisti sono invece il contrario, hanno rispetto, quasi reverenziale, per la matematica, e pensano che più fanno le cose complicate e lunghe e si ingarbugliano più fanno alta matematica. Per cui spesso bisogna sgarbugliarli dalle matasse ingestibili in cui si sono avvoltolati
Ragione per cui non ho mai apprezzato il "Fudenberg-Tirole".
Mi sa che scrivendo "sgarbugliarli" pensavi alla stretta convessità di $x^2+y^2$.
Ammesso che interessi a qualcuno, condivido il commento di @Mephlip.
E apprezzo anche la molto buona volontà di @alfred douglas, nonostante il mio intervento a gamba tesa. Che non era su di lui, però ero ben consapevole che poteva essere un filino disturbante
[ot]
Mi sa che scrivendo "sgarbugliarli" pensavi alla stretta convessità di $x^2+y^2$.
[/quote]
No no, quella è una svista light, breve e compatta
Intendevo mallopponi in cui si incartano e ci infilano cose disparate, tipo che per chiedere del resto nella formula di Taylor fanno una paginata in cui tirano in mezzo il teorema del'inviluppo e l'iperpiano di supporto, spesso non riuscendo a distinguere cose basic da cose più avanzate (esempio reale).
Pensano che l'ottimizzazione convessa sia pane quotidiano fin dalla più tenera infanzia, ma non hanno la minima idea di cose più basic, tipo, che so, il teorema di Bolzano Weierstrass o fanno confusione tra derivate di funzioni di una variabile e derivate parziali (anche persone brave si impallano su questo)
Insomma, una certa confusione mentale, anche alcuni bravi, è un po' il difetto di come si studia la matematica a economia, io ci sono passata. Non è questione di non sapere le nozioni, è che gli manca il quadro di riferimento.
Esempi estremi, ma questo è davvero estremo:
Una persona (economista) chiede su Math Stack Exchange di controllare una dimostrazione di un teorema, non banale, di topologia. Dettaglio: non mette l'enunciato del teorema, qualche utente fa notare che sarebbe utile.
Stessa persona poi chiede un chiarimento su una nozione di topologia abbastanza complicata, e in contemporanea posta una domanda chiedendo si spiegare la differenza tra termini matematici come teorema, postulato, assioma, ipotesi, proposizione, corollario. lemma etc. , di cui non sa il significato.[/ot]
"Fioravante Patrone":
[quote="gabriella127"]Gli economisti sono invece il contrario, hanno rispetto, quasi reverenziale, per la matematica, e pensano che più fanno le cose complicate e lunghe e si ingarbugliano più fanno alta matematica. Per cui spesso bisogna sgarbugliarli dalle matasse ingestibili in cui si sono avvoltolati
Mi sa che scrivendo "sgarbugliarli" pensavi alla stretta convessità di $x^2+y^2$.
[/quote]
No no, quella è una svista light, breve e compatta
Intendevo mallopponi in cui si incartano e ci infilano cose disparate, tipo che per chiedere del resto nella formula di Taylor fanno una paginata in cui tirano in mezzo il teorema del'inviluppo e l'iperpiano di supporto, spesso non riuscendo a distinguere cose basic da cose più avanzate (esempio reale).
Pensano che l'ottimizzazione convessa sia pane quotidiano fin dalla più tenera infanzia, ma non hanno la minima idea di cose più basic, tipo, che so, il teorema di Bolzano Weierstrass o fanno confusione tra derivate di funzioni di una variabile e derivate parziali (anche persone brave si impallano su questo)
Insomma, una certa confusione mentale, anche alcuni bravi, è un po' il difetto di come si studia la matematica a economia, io ci sono passata. Non è questione di non sapere le nozioni, è che gli manca il quadro di riferimento.
Esempi estremi, ma questo è davvero estremo:
Una persona (economista) chiede su Math Stack Exchange di controllare una dimostrazione di un teorema, non banale, di topologia. Dettaglio: non mette l'enunciato del teorema, qualche utente fa notare che sarebbe utile.
Stessa persona poi chiede un chiarimento su una nozione di topologia abbastanza complicata, e in contemporanea posta una domanda chiedendo si spiegare la differenza tra termini matematici come teorema, postulato, assioma, ipotesi, proposizione, corollario. lemma etc. , di cui non sa il significato.[/ot]
Ciao @Mephlip, scusa se riapro la questione, ma c'è un'ultima cosa che non mi è ancora chiara.
Fino ad ora ho risolto svariati esercizi seguendo le tue indicazioni e tutto torna. Mi sono reso conto però che sto dando per scontato i punti in cui le funzioni elementari sono o non sono derivabili (*), così mi sono posto la seguente domanda: "per quanto riguarda le funzioni elementari come posso individuare eventuali punti di non derivabilità?"
Nei vari testi/siti web a cui faccio riferimento ho notato che per ogni funzione elementare viene calcolato il limite del rapporto incrementale in un generico punto giungendo ad una funzione che rappresenta la derivata della funzione elementare, però non vengono specificati i punti di non derivabilità.
Così di primo impatto mi verrebbe da dire che una volta identificata la derivata di una funzione elementare tramite il calcolo del limite del rapporto incrementale in un generico punto, confrontando dominio della funzione e dominio della derivata, posso individuare i punti di non derivabilità poiché tecnicamente dovrebbero coincidere con i punti che fanno parte del dominio della funzione, ma non fanno parte del dominio della derivata. Potresti gentilmente confermarmi se ciò è corretto?
(*) Con "...dando per scontato i punti in cui le funzioni elementari sono o non sono derivabili" intendo che ho visto alcuni esercizi svolti (relativi alla verifica dei punti in cui una funzione è derivabile) e alcune lezioni sulla classificazione dei punti di non derivabilità e ho memorizzato i punti in cui alcune funzioni elementari non sono derivabili. Ad esempio nel caso di $f(x)=|x|$, in $x=0$ è presente un punto angoloso, infatti il limite sinistro e destro del rapporto incrementale esistono finiti, ma diversi (rispettivamente -1 ed 1) per cui in $x=0 \quad f(x)$ non è derivabile, ma supponendo che io non ne sia a conoscenza come posso identificare tale punto di non derivabilità a partire dal limite del rapporto incrementale di $f(x)$ in un generico punto?
P.S. Mi scuso in partenza se le domande che pongo possono risultare banali e/o inutili, ma mi piacerebbe chiarire qualsiasi dubbio relativo a questi argomenti.
Fino ad ora ho risolto svariati esercizi seguendo le tue indicazioni e tutto torna. Mi sono reso conto però che sto dando per scontato i punti in cui le funzioni elementari sono o non sono derivabili (*), così mi sono posto la seguente domanda: "per quanto riguarda le funzioni elementari come posso individuare eventuali punti di non derivabilità?"
Nei vari testi/siti web a cui faccio riferimento ho notato che per ogni funzione elementare viene calcolato il limite del rapporto incrementale in un generico punto giungendo ad una funzione che rappresenta la derivata della funzione elementare, però non vengono specificati i punti di non derivabilità.
Così di primo impatto mi verrebbe da dire che una volta identificata la derivata di una funzione elementare tramite il calcolo del limite del rapporto incrementale in un generico punto, confrontando dominio della funzione e dominio della derivata, posso individuare i punti di non derivabilità poiché tecnicamente dovrebbero coincidere con i punti che fanno parte del dominio della funzione, ma non fanno parte del dominio della derivata. Potresti gentilmente confermarmi se ciò è corretto?
(*) Con "...dando per scontato i punti in cui le funzioni elementari sono o non sono derivabili" intendo che ho visto alcuni esercizi svolti (relativi alla verifica dei punti in cui una funzione è derivabile) e alcune lezioni sulla classificazione dei punti di non derivabilità e ho memorizzato i punti in cui alcune funzioni elementari non sono derivabili. Ad esempio nel caso di $f(x)=|x|$, in $x=0$ è presente un punto angoloso, infatti il limite sinistro e destro del rapporto incrementale esistono finiti, ma diversi (rispettivamente -1 ed 1) per cui in $x=0 \quad f(x)$ non è derivabile, ma supponendo che io non ne sia a conoscenza come posso identificare tale punto di non derivabilità a partire dal limite del rapporto incrementale di $f(x)$ in un generico punto?
P.S. Mi scuso in partenza se le domande che pongo possono risultare banali e/o inutili, ma mi piacerebbe chiarire qualsiasi dubbio relativo a questi argomenti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo