Relazione tra continuità della derivata prima e derivabilità della funzione

[rsmanio]

Ciao a tutti!
Stavo cercando sul web una sorta di guida su come poter individuare i punti di non derivabilità di una funzione e ho trovato la seguente.
L'idea consiste nell'individuare i punti di non derivabilità per esclusione e condurre su ciascuno di essi uno studio approfondito mediante la definizione.
Sia $f$ la funzione in esame:
1) Individuo il dominio $Dom(f)$
2) Calcolo la derivata prima di $f$ e ne determino il dominio $Dom(f\prime)$
3) Mi limito a considerare i punti dell'intersezione $Dom(f) \cap Dom(f\prime)$ poiché nei punti in cui f non è definita non ha senso parlare di derivabilità
4) Nei punti in cui $f\prime$ è continua è necessariamente soddisfatta la condizione di derivabilità
5) Nel caso di una funzione definita a tratti il punto di raccordo è un potenziale punto di non derivabilità
6) I punti isolati nei punti 1-5 sono possibili punti di non derivabilità, si proceda con il calcolo del limite del rapporto incrementale per la verifica.

Da ciò mi pare di aver capito che i possibili punti di non derivabilità possono trovarsi nei punti in cui $f\prime$ non è continua, nei punti in cui $f$ è definita mentre $f\prime$ non lo è e, nel caso di funzioni definite a tratti, nei punti di raccordo.

Non mi è chiaro però come mai nel punto 4) se $f\prime$ è continua allora è necessariamente soddisfatta la condizione di derivabilità. Esiste un teorema o una dimostrazione che mi permetta di chiarirmi le idee su questo specifico punto?

[gugo82]

"alfred douglas":[...] supponendo che io non ne sia a conoscenza come posso identificare tale punto di non derivabilità a partire dal limite del rapporto incrementale di f(x) in un generico punto?

Prova ad impostare i conti.
Ad esempio, dov'è derivabile la funzione $f(x) = e^{|x|}$?
E dove lo è $f(x) = x *|x|$?
E la funzione $f(x) = arccos(x^2/(x^2 + 1))$?

[rsmanio]

"gugo82":
Prova ad impostare i conti.
Ad esempio, dov'è derivabile la funzione $f(x) = e^{|x|}$?
E dove lo è $f(x) = x *|x|$?
E la funzione $f(x) = arccos(x^2/(x^2 + 1))$?

Ciao @gugo82
Prendo per esempio $f(x)=e^{|x|}$ che ha dominio $Dom(f)=\mathbb{R}$.
Posso vedere $f(x)$ come $g \circ h(x)$ dove $g(x)=e^x$ con $Dom(g)=\mathbb{R}$ ed $h(x)=|x|$ con $Dom(h)=\mathbb{R}$ e $Im(h)=[0,+\infty)$.
Per prima cosa verifico dove $f(x)$ è continua perché nei punti in cui non è continua è sicuramente non derivabile.
$g(x)$ è continua $\forall x \in Dom(g)$.
$h(x)$ è continua $\forall x \in Dom(h)$.
Dato che $\forall x \in \mathbb{R} \quad h(x)$ è continua e dato che $\forall x \in \Im(h) \quad g(x)$ è continua, grazie al teorema della composizione di funzioni continue posso concludere che $f(x)=g \circ h(x)$ è continua $\forall x \in \mathbb{R}=Dom(f)$, quindi $f(x)$ è continua in tutto il proprio dominio.
Ora passo alla verifica della derivabilità:
$g(x)$ è derivabile $\forall x \in Dom(g)$.
$h(x)$ è derivabile $\forall x \in Dom(h)-\{0\}$.
Dato che $\forall x \in \mathbb{R}-\{0\} \quad h(x)$ è derivabile e dato che $\forall x \in \Im(h) \quad g(x)$ è derivabile, grazie al teorema della composizione di funzioni derivabili posso concludere che $f(x)=g \circ h(x)$ è derivabile $\forall x \in \mathbb{R}-\{0\}=Dom(f)-\{0\}$.
Verifico quindi tramite il limite del rapporto incrementale se $f(x)$ è derivabile in $x=0$:
$\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{|h|}-e^0}{h}$
Calcolo il limite sinistro:
$\lim_{h \to 0^-} \frac{e^{|h|}-e^0}{h}=\lim_{h \to 0^-} \frac{e^{-h}-1}{h}=\lim_{h \to 0^-} -\frac{e^{-h}-1}{-h}=-1$.
Calcolo il limite destro:
$\lim_{h \to 0^+} \frac{e^{|h|}-e^0}{h}=\lim_{h \to 0^+} \frac{e^{h}-1}{h}=1$.
Essendo i due limiti sinistro e destro finiti e diversi tra loro posso concludere che in $x=0 \quad f(x)$ ha un punto angoloso e di conseguenza in quel punto non è derivabile.

Con un procedimento simile potrei verificare la derivabilità delle altre due funzioni tenendo conto che $|x|$ non è derivabile in $x=0$ e $\arccos(x)$ non è derivabile in $x=\pm1$.

Erroneamente per "funzioni elementari" intendevo ciò che @Mephlip ha chiamato "componenti".

"Mephlip":Tuttavia, ciò è laborioso e, fortunatamente, esistono dei teoremi base che permettono di stabilire la derivabilità di una funzione in maniera non olistica (ossia, solo dalle sue "componenti"; da qui in avanti, con componente intendo, informalmente, le singole funzioni che compaiono in una somma/prodotto/composizione di funzioni)

Ciò che mi domando io quindi è come verificare dove non sono derivabili le varie "componenti".
Ad esempio per $\arcsin$, $\arccos$ posso dedurre che non sono derivabili nei punti che coincidono con gli estremi inclusi del loro dominio.
Ma per $f(x)=|x|$ come posso identificare eventuali punti di non derivabilità se nessuno mi dicesse che in $x=0 \quad f(x)$ non è derivabile? Posso dedurlo a partire dal limite del rapporto incrementale calcolato in un punto generico (dato che sarebbe impraticabile calcolare il limite del rapporto incrementale per ogni punto del dominio)? E per $root(n){x}$ ad esempio?

[Mephlip]

Non devi scusarti di niente, anzi, chiedi pure fino a che i tuoi dubbi non sono scomparsi del tutto! Riguardo a ciò:

"alfred douglas":
Ma per $f(x)=|x|$ come posso identificare eventuali punti di non derivabilità se nessuno mi dicesse che in $x=0 \quad f(x)$ non è derivabile? Posso dedurlo a partire dal limite del rapporto incrementale calcolato in un punto generico (dato che sarebbe impraticabile calcolare il limite del rapporto incrementale per ogni punto del dominio)? E per $root(n){x}$ ad esempio?

Certo. È proprio la definizione: una funzione è derivabile in un dato punto se il limite per $h \to 0$ del suo rapporto incrementale relativo a tale punto esiste finito. Ma è proprio quello che ho detto qua sotto:

"Mephlip":Tecnicamente, quando si studia la derivabilità di una funzione a priori uno non sa nulla su dove essa è derivabile. Si dovrebbe fare il limite del rapporto incrementale in un punto generico e dedurre la derivabilità da ciò.

E qui:

"Mephlip":Questo perché, prima di enunciare e dimostrare questi teoremi, nella teoria si studia "a mano" (ossia, con la definizione) la derivabilità delle funzioni elementari; dunque, grazie ai teoremi base, dalla derivabilità dei singoli pezzi si deducono informazioni sulla derivabilità dell'intera funzione.

Con "a mano" intendevo, informalmente, calcolare il limite del rapporto incrementale (la cui esistenza in $\mathbb{R}$ è la definizione di funzione derivabile in un dato punto). Non puoi fare altro, se non hai niente tra le mani. Perché dici che con l'arcoseno e l'arcocoseno puoi dedurlo, mentre col valore assoluto no? Ti posso chiedere di esplicitare il ragionamento che fai per affermare ciò, per favore? Giusto per capire meglio come mai ti si è generata confusione, perché per me la logica è identica.

Quando puoi, prova a fare anche gli altri esercizi proposti da gugo82.

[gugo82]

"alfred douglas":[quote="gugo82"]
Prova ad impostare i conti.
Ad esempio, dov'è derivabile la funzione $f(x) = e^{|x|}$?

Prendo per esempio $f(x)=e^{|x|}$ che ha dominio $Dom(f)=\mathbb{R}$.
Posso vedere $f(x)$ come $g \circ h(x)$ dove $g(x)=e^x$ con $Dom(g)=\mathbb{R}$ ed $h(x)=|x|$ con $Dom(h)=\mathbb{R}$ e $Im(h)=[0,+\infty)$.
Per prima cosa verifico dove $f(x)$ è continua perché nei punti in cui non è continua è sicuramente non derivabile.
$g(x)$ è continua $\forall x \in Dom(g)$.
$h(x)$ è continua $\forall x \in Dom(h)$.
Dato che $\forall x \in \mathbb{R} \quad h(x)$ è continua e dato che $\forall x \in \Im(h) \quad g(x)$ è continua, grazie al teorema della composizione di funzioni continue posso concludere che $f(x)=g \circ h(x)$ è continua $\forall x \in \mathbb{R}=Dom(f)$, quindi $f(x)$ è continua in tutto il proprio dominio.
Ora passo alla verifica della derivabilità:
$g(x)$ è derivabile $\forall x \in Dom(g)$.
$h(x)$ è derivabile $\forall x \in Dom(h)-\{0\}$.
Dato che $\forall x \in \mathbb{R}-\{0\} \quad h(x)$ è derivabile e dato che $\forall x \in \Im(h) \quad g(x)$ è derivabile, grazie al teorema della composizione di funzioni derivabili posso concludere che $f(x)=g \circ h(x)$ è derivabile $\forall x \in \mathbb{R}-\{0\}=Dom(f)-\{0\}$.
Verifico quindi tramite il limite del rapporto incrementale se $f(x)$ è derivabile in $x=0$:
$\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{|h|}-e^0}{h}$
Calcolo il limite sinistro:
$\lim_{h \to 0^-} \frac{e^{|h|}-e^0}{h}=\lim_{h \to 0^-} \frac{e^{-h}-1}{h}=\lim_{h \to 0^-} -\frac{e^{-h}-1}{-h}=-1$.
Calcolo il limite destro:
$\lim_{h \to 0^+} \frac{e^{|h|}-e^0}{h}=\lim_{h \to 0^+} \frac{e^{h}-1}{h}=1$.
Essendo i due limiti sinistro e destro finiti e diversi tra loro posso concludere che in $x=0 \quad f(x)$ ha un punto angoloso e di conseguenza in quel punto non è derivabile.[/quote]
Ok.

"alfred douglas":[quote="gugo82"]E dove lo è $f(x) = x *|x|$?
E la funzione $f(x) = arccos(x^2/(x^2 + 1))$?

Con un procedimento simile potrei verificare la derivabilità delle altre due funzioni tenendo conto che $|x|$ non è derivabile in $x=0$ e $\arccos(x)$ non è derivabile in $x=\pm1$.[/quote]
Ma sarebbe stato più utile se ti fossi concentrato su questi ultimi due esempi... Prova.

"alfred douglas":Erroneamente per "funzioni elementari" intendevo ciò che @Mephlip ha chiamato "componenti".
[quote="Mephlip"]Tuttavia, ciò è laborioso e, fortunatamente, esistono dei teoremi base che permettono di stabilire la derivabilità di una funzione in maniera non olistica (ossia, solo dalle sue "componenti"; da qui in avanti, con componente intendo, informalmente, le singole funzioni che compaiono in una somma/prodotto/composizione di funzioni)

Ciò che mi domando io quindi è come verificare dove non sono derivabili le varie "componenti".
Ad esempio per $\arcsin$, $\arccos$ posso dedurre che non sono derivabili nei punti che coincidono con gli estremi inclusi del loro dominio.
Ma per $f(x)=|x|$ come posso identificare eventuali punti di non derivabilità se nessuno mi dicesse che in $x=0 \quad f(x)$ non è derivabile? Posso dedurlo a partire dal limite del rapporto incrementale calcolato in un punto generico (dato che sarebbe impraticabile calcolare il limite del rapporto incrementale per ogni punto del dominio)? E per $root(n){x}$ ad esempio?[/quote]
Il limite del rapporto incrementale va calcolato solo nei punti in cui non puoi applicare alcun teorema per sapere cosa succede, ovviamente.

[rsmanio]

"Mephlip":Non devi scusarti di niente, anzi, chiedi pure fino a che i tuoi dubbi non sono scomparsi del tutto!

Ti ringrazio infinitamente

"Mephlip":
Perché dici che con l'arcoseno e l'arcocoseno puoi dedurlo, mentre col valore assoluto no? Ti posso chiedere di esplicitare il ragionamento che fai per affermare ciò, per favore? Giusto per capire meglio come mai ti si è generata confusione, perché per me la logica è identica.

Nel caso di $f(x)=arcsin(x)$ o $f(x)=arccos(x)$ posso dedurlo facilmente perché, essendo il dominio $Dom(f)=[-1,1]$, dato che non è possibile calcolare il limite sinsitro del rapporto incrementale in $x=-1$ e nemmeno il limite destro del rapporto incrementale in $x=1$ ne consegue che $f(x)$ non è derivabile in $x=\pm1$.
La stessa cosa vale, ad esempio, per $f(x)=root(2){x}$ poiché $Dom(f)=[0,+\infty)$ per cui in $x=0 \quad f(x)$ non è derivabile.

Per quanto riguarda $f(x)=|x|$, il suo dominio è $Dom(f)=\mathbb{R}$ per cui così, a prima vista, non riesco a dire nulla su eventuali punti di non derivabilità.
Provo a verificarne la derivabilità calcolando il limite del rapporto incrementale:

$
\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =
\lim_{h \to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h} =
$

A questo punto moltiplicando e dividendo per $|x+h|+|x|$ (che è "consentito", dato che $h \to 0 rArr h \ne 0$ e quindi $|x+h|+|x| ne 0$) posso ricondurmi ad una differenza di quadrati e sfruttare il fatto che $|x|^2=x^2$ per poter rimuovere il valore assoluto.

$
\lim_{h \to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h} \times \frac{|x+h|+|x|}{|x+h|+|x|} =
\lim_{h \to 0}\frac{|x+h|^2-|x|^2}{h(|x+h|+|x|)} =
\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-(x)^2}{h(|x+h|+|x|)} =
\lim_{h \to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h(|x+h|+|x|)} =
\lim_{h \to 0}\frac{2xh+h^2}{h(|x+h|+|x|)} =
\lim_{h \to 0}\frac{h(2x+h)}{h(|x+h|+|x|)} =
\lim_{h \to 0}\frac{(2x+h)}{(|x+h|+|x|)}
$

Dato che $h \to 0$ ho che

$
\lim_{h \to 0}\frac{2x+h}{|x+h|+|x|} =
\frac{2x}{|x|+|x|} =
\frac{2x}{2|x|} =
\frac{x}{|x|} =
f\prime(x)
$

Essendo $Dom(f)=\mathbb{R}$ e $Dom(f\prime)=\mathbb{R}-\{0\}$ ne deduco che $f(x)$ non è derivabile in $x=0$.
Come ulteriore conferma posso andare a calcolare il limite del rapporto incrementale di $f(x)$ in $x=0$ e ottengo:

$
\lim_{h \to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{|h|}{h}
$

Ora considero il limite sinistro del rapporto incrementale in $x=0$:

$
\lim_{h \to 0^-}\frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-}\frac{-h}{h} = -1
$
Ed infine il limite destro del rapporto incrementale in $x=0$

$
\lim_{h \to 0^+}\frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+}\frac{h}{h} = 1
$

Essendo i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale finiti, ma diversi posso concludere che $x=0$ è un punto di non derivabilità, più nello specifico è un punto angoloso.

Il ragionamento da me fatto segue appunto questa logica:

"alfred douglas":
Così di primo impatto mi verrebbe da dire che una volta identificata la derivata di una funzione elementare tramite il calcolo del limite del rapporto incrementale in un generico punto, confrontando dominio della funzione e dominio della derivata, posso individuare i punti di non derivabilità poiché tecnicamente dovrebbero coincidere con i punti che fanno parte del dominio della funzione, ma non fanno parte del dominio della derivata. Potresti gentilmente confermarmi se ciò è corretto?

"Mephlip":Quando puoi, prova a fare anche gli altri esercizi proposti da gugo82.

Certamente, oggi proverò a farli.

[rsmanio]

"gugo82":
E dove lo è $f(x) = x *|x|$?

$f(x)=x*|x|$
$Dom(f)=\mathbb{R}$
$f$ è una funzione continua in tutto il suo dominio poiché è prodotto di due funzioni continue $\forall x \in \mathbb{R}$
Per il teorema della derivabilità della funzione prodotto $f$ è derivabile in $\mathbb{R}-\{0\}$, infatti:
$x$ è derivabile $\forall x \in \mathbb{R}$
$|x|$ è derivabile $\forall x \in \mathbb{R}-\{0\}$
L'unico punto che rimane da verificare è $x=0$ per cui calcolo il limite del rapporto incrementale in $x=0$.
$
\lim_{h \to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =
\lim_{h \to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} =
\lim_{h \to 0}\frac{h|h|}{h} =
\lim_{h \to 0} |h|
$
Calcolo il limite sinistro: $\lim_{h \to 0^-}\ |h| = \lim_{h \to 0^-} -h = 0^+$
Calcolo il limite destro : $\lim_{h \to 0^+}\ |h| = \lim_{h \to 0^+} h = 0^+$
Essendo che il limite del rapporto incrementale in $x=0$ esiste ed è finito posso concludere che $f(x)$ è derivabile in $x=0$ e che quindi $f(x)$ è derivabile in tutto il suo dominio.

"gugo82":
E la funzione $f(x) = arccos(x^2/(x^2 + 1))$?

$f(x)=\arccos(\frac{x^2}{x^2+1})$
$Dom(f)=\mathbb{R}$ poiché $\forall x \in \mathbb{R} \quad -1<\frac{x^2}{x^2+1}<1$.
Continuità:
$x^2$ è continua in tutto $\mathbb{R}$
$x^2+1$ è continua in tutto $\mathbb{R}$
$\frac{x^2}{x^2+1}$ è continua in tutto $\mathbb{R}$
$\arccos(x)$ è continua in $(-1,1)$
Dato che $\forall x \in \mathbb{R} \quad -1<\frac{x^2}{x^2+1}<1$, per il teorema della composizione di funzioni continue si ha che $arccos(\frac{x^2}{x^2+1})$ è continua in tutto $\mathbb{R}$ ovvero in tutto il suo dominio.
Derivabilità:
$x^2$ è derivabile in tutto $\mathbb{R}$
$x^2+1$ è derivabile in tutto $\mathbb{R}$
$\frac{x^2}{x^2+1}$ è derivabile in tutto $\mathbb{R}$
$\arccos(x)$ è derivabile in $(-1,1)$
Dato che $\forall x \in \mathbb{R} \quad -1<\frac{x^2}{x^2+1}<1$, per il teorema della composizione di funzioni derivabili si ha che $arccos(\frac{x^2}{x^2+1})$ è derivabile in tutto $\mathbb{R}$ ovvero in tutto il suo dominio.

[gugo82]

@alfred douglas: Tutto giusto, tranne il fatto che avevo scritto $arccos$ al posto di $arcsin$, quindi ho banalizzato l'esercizio.

Prova con $f(x) = arcsin(x^2/(x^2 + 1))$.

[rsmanio]

"gugo82":@alfred douglas: Tutto giusto, tranne il fatto che avevo scritto $arccos$ al posto di $arcsin$, quindi ho banalizzato l'esercizio.

Prova con $f(x) = arcsin(x^2/(x^2 + 1))$.

Avendo lo stesso dominio di $\arccos(\frac{x^2}{x^2+1})$ ed essendo a sua volta continua e derivabile in $(-1,1)$ non si giunge allo stesso risultato? Ovvero che $f(x) = arcsin(x^2/(x^2 + 1))$ è derivabile $\forall x \in \mathbb{R}=Dom(f)$.
Sto sbagliando qualcosa?

[gugo82]

Sì, hai ragione... Mi sono rincretinito io.

Per quello che volevo proporti, in effetti, serviva una funzione con il grafico avente una tangente verticale. Tanto valeva proporti $f(x) := sqrt(x^2/(x^2 + 1))$ e $f(x) := sqrt(x^4/(x^4 + 1))$.