Regolarità di una funzione.

[fu^2]

Dato [tex]\Omega \in \mathbb{R}^N[/tex] aperto connesso e limitato, con frontiera [tex]\Partial\Omega[/tex] di classe [tex]C^2[/tex] allora qual'è un modo semplice (un semplice consiglio, che ho un pò di difficoltà nel mostrarlo) per verificare che la funzione [tex]x\mapsto d(x,\partial\Omega)[/tex] (distanza di un punto dal bordo) è di classe [tex]C^2(\Omega)\cap C^1(\bar{\Omega})[/tex]

(se, per esempio, [tex]\Omega=B_1[/tex] o un altro insieme ben preciso, allora ok la funzione si può descrivere esplicitamente, ma per domini astratti ho più difficoltà... )

grazie a tutti!

[dissonance]

Secondo me bisogna fare un discorso locale, sfruttando il fatto che scegliendo opportunamente sistemi di coordinate locali il bordo di $Omega$ si può rettificare attorno ad ogni punto. Ma non lo so, è solo un'idea buttata giù così. Tu che ne pensi?

[fu^2]

quindi tu dici che, moralmente, la funzione distanza diventa la funzione distanza rispetto a un bordo formato da un piano... ho capito bene?

[dissonance]

Si. Cioè, tu puoi dire (se vuoi dettagli su questo vedi l'appendice del libro di Evans): per ogni $x_0 \in partial Omega$ esiste una carta locale in $x_0$ $(W, xi_1 ... xi_n)$ tale che $W nn partial Omega={xi_n=0}$ e $WnnOmega={xi_n>0}$. Chiaramente la regolarità di questa carta è la regolarità del bordo dell'aperto e nel nostro caso è $C^2$. [size=75]Tra l'altro, se ti serve, puoi anche supporre che $xi_1 ldots xi_n$ siano definite su tutto $RR^N$, anche se chiaramente fuori da $W$ non hai nessuna informazione su di esse. [/size]

Si tratta sostanzialmente di una riformulazione della definizione di "aperto regolare". Pensavo che con questo sistema, almeno per $x$ vicine al bordo (ovvero, con le notazioni di sopra, $x \inW$), si riesce a concludere che la regolarità della funzione distanza è uguale alla regolarità della carta $(W, xi_1 ... xi_n)$. Però non lo so, ci sto pensando...

P.S.: No, mi sa che da qua non si arriva da nessuna parte. Perché nel passare ad un sistema di coordinate locali si alterano le traiettorie di minima distanza. Forse è meglio sfruttare direttamente la definizione di aperto regolare, ovvero sfruttare il fatto che localmente esso si può riguardare come grafico di una funzione regolare. Ci penso.

[dissonance]

Ho fatto una piccola ricerca e ho visto che si tratta di una questione non proprio banale, anche se non estremamente difficile. Per esempio se ne parla qui:

http://persweb.wabash.edu/facstaff/foot ... istFun.pdf

[Rigel1]

"fu^2":Dato [tex]\Omega \in \mathbb{R}^N[/tex] aperto connesso e limitato, con frontiera [tex]\Partial\Omega[/tex] di classe [tex]C^2[/tex] allora qual'è un modo semplice (un semplice consiglio, che ho un pò di difficoltà nel mostrarlo) per verificare che la funzione [tex]x\mapsto d(x,\partial\Omega)[/tex] (distanza di un punto dal bordo) è di classe [tex]C^2(\Omega)\cap C^1(\bar{\Omega})[/tex]

(se, per esempio, [tex]\Omega=B_1[/tex] o un altro insieme ben preciso, allora ok la funzione si può descrivere esplicitamente, ma per domini astratti ho più difficoltà... )

Questo risultato è falso: già nel caso di $\Omega = B_1$ vedi subito che la distanza dal bordo non è di classe $C^2(\Omega)$, dal momento che non è nemmeno differenziabile nell'origine.
In generale hai che la distanza è di classe $C^2$ in $\Omega\setminus \Gamma$, dove $\Gamma$ è il cosiddetto cut-locus.
Puoi vedere, ad esempio, qui:
http://arxiv.org/abs/math/0612226