Rapporto tra arco e corda di una curva generica

[qwertyuio1]

Data una GENERICA curva di R^n di classe C1, come si dimostra che il rapporto tra la lungezza di un arco PQ e la lunghezza della corda sottesa tende a 1, quando Q tende a P ?
Grazie!

[Lord K]

Io penso sia da ricercarsi in questo, la lunghezza della corda è:

$C=[sum_(k=0)^n (x_k-y_k)^2]^(1/2)$

Se $x_k \to y_k$ allora posso scrivere:

$lim_(x_k \to y_k) [sum_(k=0)^n (x_k-y_k)^2]^(1/2) = int [sum_(k=0)^k dx^2]^(1/2) = int [sum_(k=0)^k ((dx)/(dt))^2]^(1/2)dt$

Che è la lunghezza della curva.

[qwertyuio1]

Scusa sai, ma non riesco a capire perchè il limite della sommatoria è quell'integrale e neanche quali sono gli estremi dell'integrale..
Grazie!

[Lord K]

Faccio vedere in due dimensioni:

$C = sqrt((x_p-x_q)^2+(y_p-y_q)^2)$

con $x_p \to x_q$

otteniamo che:

$x_p-x_q = dx$
$y_p-y_q = dy$

allora la lunghezza di un tratto infinitesimale della curva è:

$dL(gamma)^2 = dx^2+dy^2$

ovvero:

$dL(gamma) = sqrt(dx^2+dy^2)$

quindi se mi interessa la lunghezzqa della curva $gamma=f(x)$ in un intervallo $I=[a,b]$ di $RR^2$

$L(gamma) = int_I sqrt(dx^2+dy^2) = int_a^b sqrt(1+[f'(x)]^2) dx

[Lord K]

"Lord K":Io penso sia da ricercarsi in questo, la lunghezza della corda è:

$C=[sum_(k=0)^n (x_k-y_k)^2]^(1/2)$

Se $x_k \to y_k$ allora posso scrivere:

$lim_(x_k \to y_k) [sum_(k=0)^n (x_k-y_k)^2]^(1/2) = int_I [sum_(k=0)^k dx^2]^(1/2) = int_I [sum_(k=0)^k ((dx)/(dt))^2]^(1/2)dt$

Che è la lunghezza della curva.

Qui in $RR^n$ mi serve una parametrizzazione con variabile $t$ delle varie coordinate, sostanzialmente però la situazione rimane invariata. Ho aggiunto l'intervallo che mi ero dimenticato nel post precedente

[qwertyuio1]

Grazie! Molto gentile!