Ragionamento sui limiti che non ho capito bene
Salve, volevo chiedere un aiuto su un ragionamento del prof che non mi è chiarissimo. Parto dicendo che è un ragionamento su un grafico frutto di una lezione di fisica.
Senza entrare nel dettaglio fisico si voleva fare un grafico e si aveva una relazione del genere: $y^2=(a^2x^2)(1-c/x^2)$ lo studio è per $x->oo$.
Ora, è evidente che $y^2->oo$
Tuttavia il prof grafica qualcosa del genere: porta a primo membro: $y^2/(a^2x^2)$ e scrive: $y^2/(a^2x^2)=(1-c/x^2)$ (A) a questo punto dice. E' chiaro che per x->oo il secondo membro va a 1, ho quindi una normalizzazione a 1 e poi plotta il grafico.
Dubbi:
1) il mio primo dubbio è che io a secondo membro ho: $(a^2x^2)(1-c/x^2), x->oo$ e come può spezzare il limite portando a primo membro senza fare danni? cioè il limite a pezzi si sa che non è mai corretto come procedra di calcolo. mentre qui spezza proprio $(a^2x^2)->oo$ e $(1-c/x^2)->0$ ed è una forma non spezzabile.
2) dopo il primo dubbio ne ho un secondo: se io ho una $y(x)$ che senso ha graficare un $(y(x))/x$ perché di fatto io porto a primo membro la variabile indipendente e così ho una variabile dipendente fratto la variabile dipendente, che caspita di funzione ho? non capisco che senso abbia.
Come vedete sono un po' confuso, è semplice e vorrei colmare questa mia ignoranza sui DUE dubbi esposti. Grazie mille
PS:
3) in realtà mi accorgo di un terzo dubbio sul ragionamento del prof: mettiamo pure che a secondo membro della (A) io abbia per $x->oo$ che $(1-c/x^2)->1$, però a primo membro ho $y^2/(a^2x^2)$ con denominatore tendente ad infinito. Quindi chi mi assicura il primo membro non sia $y^2/(a^2x^2)->0$ per esempio?
insomma i dubbi sono TRE
Senza entrare nel dettaglio fisico si voleva fare un grafico e si aveva una relazione del genere: $y^2=(a^2x^2)(1-c/x^2)$ lo studio è per $x->oo$.
Ora, è evidente che $y^2->oo$
Tuttavia il prof grafica qualcosa del genere: porta a primo membro: $y^2/(a^2x^2)$ e scrive: $y^2/(a^2x^2)=(1-c/x^2)$ (A) a questo punto dice. E' chiaro che per x->oo il secondo membro va a 1, ho quindi una normalizzazione a 1 e poi plotta il grafico.
Dubbi:
1) il mio primo dubbio è che io a secondo membro ho: $(a^2x^2)(1-c/x^2), x->oo$ e come può spezzare il limite portando a primo membro senza fare danni? cioè il limite a pezzi si sa che non è mai corretto come procedra di calcolo. mentre qui spezza proprio $(a^2x^2)->oo$ e $(1-c/x^2)->0$ ed è una forma non spezzabile.
2) dopo il primo dubbio ne ho un secondo: se io ho una $y(x)$ che senso ha graficare un $(y(x))/x$ perché di fatto io porto a primo membro la variabile indipendente e così ho una variabile dipendente fratto la variabile dipendente, che caspita di funzione ho? non capisco che senso abbia.
Come vedete sono un po' confuso, è semplice e vorrei colmare questa mia ignoranza sui DUE dubbi esposti. Grazie mille
PS:
3) in realtà mi accorgo di un terzo dubbio sul ragionamento del prof: mettiamo pure che a secondo membro della (A) io abbia per $x->oo$ che $(1-c/x^2)->1$, però a primo membro ho $y^2/(a^2x^2)$ con denominatore tendente ad infinito. Quindi chi mi assicura il primo membro non sia $y^2/(a^2x^2)->0$ per esempio?
insomma i dubbi sono TRE
Risposte
"soldatoObrian":
$(1-c/x^2)->0$ ed è una forma non spezzabile.
ma $(1-c/x^2)->1$
Come ti ha già detto ghira, assumendo $c$ costante in $x$ è $1-\frac{c}{x^2} \to 1 $ per $x \to +\infty$; quindi, non c'è alcun abuso sui teoremi algebrici dei limiti. Inoltre, sta prima dividendo per $a^2 x^2$ e poi passando al limite per $x \to +\infty$; dunque, il problema non si pone.
Per il secondo dubbio, non c'è niente di strano nel voler determinare il grafico di $\frac{y(x)}{x}$: $y$ è una funzione di $x$ e puoi concretizzare cosa sta succedendo facendoti degli esempi semplici. Per esempio, se $y(x)=x^2$, nel rapporto $\frac{y(x)}{x}$ stai considerando (per $x \ne 0$) la funzione $\frac{y(x)}{x}=\frac{x^2}{x}=x$. Niente di più profondo di questo: le diciture "variabile dipendente" o "variabile indipendente" ti confondono e basta.
Per il terzo dubbio: $y$ dipende da $x$, quindi senza altre ipotesi su $y$ non puoi conoscere il valore di $\lim_{x \to +\infty} \frac{y^2}{a^2 x^2}$. L'unica cosa che puoi dedurre, dato che il membro di destra di $\frac{y}{a^2 x^2}=\left(1-\frac{c}{x^2}\right)$ tende a $1$ per $x \to +\infty$, concordemente il membro di sinistra deve tendere a $1$ per $x \to +\infty$. Quindi, hai dei vincoli sulla funzione $y$: essa deve essere tale che $\frac{(y(x))^2}{a^2 x^2} \to 1$ per $x \to +\infty$. Un possibile esempio è $y(x)=ax$ (ma anche $y(x)=ax+k$ con $k$ costante qualsiasi). In particolare, quindi, il rapporto $\frac{(y(x))^2}{a^2 x^2}$ non può tendere a $0$ per $x \to +\infty$. Il punto è che trascuri la dipendenza di $y$ da $x$: è vero che $a^2 x^2 \to +\infty$ per $x \to +\infty$, ma $y(x)$ è una generica funzione di $x$ e dunque, in generale, il limite del rapporto $\frac{(y(x))^2}{a^2 x^2}$ può assumere valori diversi a seconda di chi è $y(x)$ (anche se, come detto prima, in questo caso non è propriamente una funzione generica: deve rispettare il fatto di far tendere quel rapporto a $1$. Ma ti ho voluto rispondere così anche per toglierti il dubbio in casi più generali).
Per farti degli esempi più generali (quindi, nel caso in cui non hai la sicurezza che il rapporto sia uguale a $1-\frac{c}{x^2}$):
(i) se $y(x)=\sqrt{x}$ è $\lim_{x \to +\infty} \frac{(y(x))^2}{a^2 x^2}=0$;
(ii) se $y(x)=x$ è $\lim_{x \to +\infty} \frac{(y(x))^2}{a^2 x^2}=\frac{1}{a^2}$;
(iii) se $y(x)=x^2$ è $\lim_{x \to +\infty} \frac{(y(x))^2}{a^2 x^2}=+\infty$;
(iv) se $y(x)=x \sin x$ il limite non esiste.
Per il secondo dubbio, non c'è niente di strano nel voler determinare il grafico di $\frac{y(x)}{x}$: $y$ è una funzione di $x$ e puoi concretizzare cosa sta succedendo facendoti degli esempi semplici. Per esempio, se $y(x)=x^2$, nel rapporto $\frac{y(x)}{x}$ stai considerando (per $x \ne 0$) la funzione $\frac{y(x)}{x}=\frac{x^2}{x}=x$. Niente di più profondo di questo: le diciture "variabile dipendente" o "variabile indipendente" ti confondono e basta.
Per il terzo dubbio: $y$ dipende da $x$, quindi senza altre ipotesi su $y$ non puoi conoscere il valore di $\lim_{x \to +\infty} \frac{y^2}{a^2 x^2}$. L'unica cosa che puoi dedurre, dato che il membro di destra di $\frac{y}{a^2 x^2}=\left(1-\frac{c}{x^2}\right)$ tende a $1$ per $x \to +\infty$, concordemente il membro di sinistra deve tendere a $1$ per $x \to +\infty$. Quindi, hai dei vincoli sulla funzione $y$: essa deve essere tale che $\frac{(y(x))^2}{a^2 x^2} \to 1$ per $x \to +\infty$. Un possibile esempio è $y(x)=ax$ (ma anche $y(x)=ax+k$ con $k$ costante qualsiasi). In particolare, quindi, il rapporto $\frac{(y(x))^2}{a^2 x^2}$ non può tendere a $0$ per $x \to +\infty$. Il punto è che trascuri la dipendenza di $y$ da $x$: è vero che $a^2 x^2 \to +\infty$ per $x \to +\infty$, ma $y(x)$ è una generica funzione di $x$ e dunque, in generale, il limite del rapporto $\frac{(y(x))^2}{a^2 x^2}$ può assumere valori diversi a seconda di chi è $y(x)$ (anche se, come detto prima, in questo caso non è propriamente una funzione generica: deve rispettare il fatto di far tendere quel rapporto a $1$. Ma ti ho voluto rispondere così anche per toglierti il dubbio in casi più generali).
Per farti degli esempi più generali (quindi, nel caso in cui non hai la sicurezza che il rapporto sia uguale a $1-\frac{c}{x^2}$):
(i) se $y(x)=\sqrt{x}$ è $\lim_{x \to +\infty} \frac{(y(x))^2}{a^2 x^2}=0$;
(ii) se $y(x)=x$ è $\lim_{x \to +\infty} \frac{(y(x))^2}{a^2 x^2}=\frac{1}{a^2}$;
(iii) se $y(x)=x^2$ è $\lim_{x \to +\infty} \frac{(y(x))^2}{a^2 x^2}=+\infty$;
(iv) se $y(x)=x \sin x$ il limite non esiste.
E' vero, non so come non mi fossi accorto della scemenza che ho scritto ->0, in realtà siccome sto seguendo anche analisi 1 mi trovo un po' ancora legato nell'uso dei teoremi sui limiti. (corsi paralleli).
Mi è tutto chiaro per gli altri punti:
2) effettivamente non avevo pensato l fatto che $(y(x))/x$ di fatto è ancora una funzione di x. Come dici tu non so perché ma y indipendente mi confondeva. Però di fatto $g(x):=(y(x))/x=x^2/x=x$ è una dignitosissima funzione a sua volta. Boh, che domanda idiota, ogni tanto mi chiedo come le riesca a partorire.
3) In effetti è vero, anzi in modo forse "tautologico" proprio perché $y^2=(a^2x^2)(1-c/x^2)$ ho che $((a^2x^2)(1-c/x^2))/(a^2x^2)=(1-c/x^2)$, cioè insomma non posso dire altro se non che è uno.
Invece mi piacerebbe approfondire meglio il punto 1), in effetti non capisco bene da cosa discenda che avendosi:
$y(x)=y^2=(a^2x^2)(1-c/x^2), x->oo$ cioè ho "$y^2=oo*1$" posso spezzare in "$(y^2)/oo=1$", non capisco bene quale teorema dei limiti che pur sto studiando possa usare. cioè perché quella presenza al limite per infinito di "1" me lo permette? Non sono sicurissimo mi sia chiaro cosa sto usando
.
[A parte che non sono del tutto sicuro di poter scrivere $y(x)^2$ dato che plottandola quella scritta non è propriamente una funzione. Quindi sto usando dei limiti per una NON funzione uhm...]
Mi è tutto chiaro per gli altri punti:
2) effettivamente non avevo pensato l fatto che $(y(x))/x$ di fatto è ancora una funzione di x. Come dici tu non so perché ma y indipendente mi confondeva. Però di fatto $g(x):=(y(x))/x=x^2/x=x$ è una dignitosissima funzione a sua volta. Boh, che domanda idiota, ogni tanto mi chiedo come le riesca a partorire
.3) In effetti è vero, anzi in modo forse "tautologico" proprio perché $y^2=(a^2x^2)(1-c/x^2)$ ho che $((a^2x^2)(1-c/x^2))/(a^2x^2)=(1-c/x^2)$, cioè insomma non posso dire altro se non che è uno.
Invece mi piacerebbe approfondire meglio il punto 1), in effetti non capisco bene da cosa discenda che avendosi:
$y(x)=y^2=(a^2x^2)(1-c/x^2), x->oo$ cioè ho "$y^2=oo*1$" posso spezzare in "$(y^2)/oo=1$", non capisco bene quale teorema dei limiti che pur sto studiando possa usare. cioè perché quella presenza al limite per infinito di "1" me lo permette? Non sono sicurissimo mi sia chiaro cosa sto usando
.[A parte che non sono del tutto sicuro di poter scrivere $y(x)^2$ dato che plottandola quella scritta non è propriamente una funzione. Quindi sto usando dei limiti per una NON funzione uhm...]
"soldatoObrian":
[A parte che non sono del tutto sicuro di poter scrivere $y(x)^2$ dato che plottandola quella scritta non è propriamente una funzione.
Perché no?
"soldatoObrian":
in effetti non capisco bene da cosa discenda che avendosi:
$ y(x)=y^2=(a^2x^2)(1-c/x^2) $
Mi sa che qui manca un quadrato su $y(x) $...
Perché dici che non è una funzione? Se ad esempio $y = ax + b \implies y^2 = (ax + b)^2 = a^2 x^2 + 2abx + b^2 $, per $ax \ne 0 $ si può scrivere $y^2/(a^2 x^2) = 1 + (2b)/(ax) + b^2/(a^2 x^2) = 1 - c/x^2 $
Ponendo per comodità $r := b/a $ si può scrivere:
$f(x) := y^2/(a^2 x^2) = 1 + (2b)/(ax) + b^2/(a^2 x^2) = 1 + (2r)/x + r^2/x^2 = 1 - c/x^2 $
@(gentili)pilloeffe&ghira
dicevo che non è una funzione ($y^2=(a^2x^2)*(1-c/x^2) $) perché mi pare di avere come grafico una iperbole e viene fuori che data una x ho due y corrispondenti (basta tracciare una retta // y per accorgersi che il braccio di iperbole è intersecata in due punti). Insomma non rispetta la definizione di funzione "per ogni x esiste UNICO y tale che f(x)=y".
di solito una funzione è $y=f(x)$, qui ho un $y^2=f(x)$ è il fatto di avere un quadrato sulla y fa si che io abbia per ogni x due valori di y che verificano l'uguaglianza e quindi perdo l'UNICITA' richiesta nella definizione. no?
Cosa ne pensate?
dicevo che non è una funzione ($y^2=(a^2x^2)*(1-c/x^2) $) perché mi pare di avere come grafico una iperbole e viene fuori che data una x ho due y corrispondenti (basta tracciare una retta // y per accorgersi che il braccio di iperbole è intersecata in due punti). Insomma non rispetta la definizione di funzione "per ogni x esiste UNICO y tale che f(x)=y".
di solito una funzione è $y=f(x)$, qui ho un $y^2=f(x)$ è il fatto di avere un quadrato sulla y fa si che io abbia per ogni x due valori di y che verificano l'uguaglianza e quindi perdo l'UNICITA' richiesta nella definizione. no?
Cosa ne pensate?
"soldatoObrian":
dicevo che non è una funzione ($y^2 = (a^2 x^2)⋅(1−c/x^2)$) perché mi pare di avere come grafico una iperbole e viene fuori che data una x ho due y corrispondenti
Dipende: se fai il grafico di $z = z(x) = y^2 = (a^2 x^2)⋅(1−c/x^2) = a^2 x^2 - a^2 c $ (cioè $z$ asse delle ordinate e $x$ asse delle ascisse) si ottiene una parabola, se invece vuoi il grafico di $y = \pm \sqrt{a^2 x^2 - a^2 c} $ in effetti hai due rami di iperbole, ma trattandosi di un problema fisico immagino che la soluzione col segno negativo tu possa anche scartarla, sicché hai in effetti il solo ramo positivo, cioè la funzione $y = g(x) = + \sqrt{a^2 x^2 - a^2 c} $ avente dominio naturale $D = [\sqrt{c}, +\infty) $
"soldatoObrian":
di solito una funzione è $y=f(x)$, qui ho un $y^2 = f(x)$ [...]
Ti stai dannosamente fissando sulla simbologia: sì, di solito $y = f(x) $, ma può anche scriversi $y = g(x) $, come ho fatto poc'anzi, e ponendo $z = z(x) = y^2 $ nulla ci impedisce di usare il piano cartesiano $(x, z) = (x, y^2) $; se invece vuoi mantenere il piano cartesiano $ (x, y) $, allora puoi restringerti al caso $y \ge 0 $ (che probabilmente è il solo caso che ha significato fisico) se proprio desideri l'unicità...
Certo mi è chiaro il tuo ragionamento di spezzare il +- esraendo la radice, e prendendo + ho a conti fatti la funzione voluta. Però dato che sono molto agli inizi volevo capire perché la ritenessi funzione dato che non rispettava la definizione. Mi pare di capire che in effetti non lo sia, ma la posso rendere tale appunto svolgendo quel "trucchetto": prendo solo metà ramo dell'iperbole in pratica.
Avrei solo due dubbi
1)quando dici di usare: $(x,z)=(x,y^2)$ (ad esempio nel nostro caso specifico) in sostanza come funziona? uso un asse z tale che $z = (a^2 x^2)⋅(1−c/x^2)$ e così praticamente ho la funzione f(x)=z se ho ben capito. Mentre appunto $f(x)=y^2$ non lo era -in quanto di fatto non ho appunto unicità).
Spero di aver ben compreso ora
.
2)Il secondo dubbio invece è legato a:
Non credo di afferrare come ti esca:
$1 + (2b)/(ax) + b^2/(a^2 x^2) = 1 - c/x^2 $ tale uguaglianza noto che $y = ax + b \implies y^2 = (ax + b)^2$
grazie di nuovo
Avrei solo due dubbi
1)quando dici di usare: $(x,z)=(x,y^2)$ (ad esempio nel nostro caso specifico) in sostanza come funziona? uso un asse z tale che $z = (a^2 x^2)⋅(1−c/x^2)$ e così praticamente ho la funzione f(x)=z se ho ben capito. Mentre appunto $f(x)=y^2$ non lo era -in quanto di fatto non ho appunto unicità).
Spero di aver ben compreso ora
.2)Il secondo dubbio invece è legato a:
$y = ax + b \implies y^2 = (ax + b)^2 = a^2 x^2 + 2abx + b^2 $, per $ax \ne 0 $ si può scrivere $y^2/(a^2 x^2) = 1 + (2b)/(ax) + b^2/(a^2 x^2) = 1 - c/x^2 $
Non credo di afferrare come ti esca:
$1 + (2b)/(ax) + b^2/(a^2 x^2) = 1 - c/x^2 $ tale uguaglianza noto che $y = ax + b \implies y^2 = (ax + b)^2$
grazie di nuovo
"soldatoObrian":
1)[...] e così praticamente ho la funzione f(x)=z se ho ben capito.
Ti stai fissando con questa $f(x)$, l'ho chiamata apposta $z(x) $ per non confonderla con altre funzioni: si tratta in buona sostanza di fare il grafico nel piano cartesiano della $z = z(x) $ invece che della tua funzione originaria $y $. Qui dipende da cosa vuole mostrarvi il tuo professore, cosa che io non posso sapere...
"soldatoObrian":
2)Il secondo dubbio invece è legato a:
Beh non è complicato, partiamo da qui:
$ y^2=(a^2x^2)(1-c/x^2) $
Ora, se dividiamo tutto per $a^2 x^2 \ne 0 $, si può scrivere
$y^2/(a^2 x^2) = 1 - c/x^2 $
Se ora supponiamo (non lo so, potrebbe anche non essere) che sia $y = y(x) = ax + b \implies y^2 = (ax + b)^2 = a^2 x^2 + 2abx + b^2 $ (sto scegliendo una delle $y$ già proposte da Mephlip) si ha:
$ (a^2 x^2 + 2abx + b^2)/(a^2 x^2) = 1 - c/x^2 $
$ (a^2 x^2)/(a^2 x^2) +(2abx)/(a^2 x^2) + b^2/(a^2 x^2) = 1 - c/x^2 $
$ 1 + (2b)/(ax) + b^2/(a^2 x^2) = 1 - c/x^2 $
Forse perché ti si possa aiutare meglio potresti spiegarci brevemente qual è il problema fisico, il campo al quale appartengono le costanti, etc,
Ti ringrazio, il resto (conti) mi è ora chiaro.
però mi premeva precisare una cosa sulla prima parte:
ceto chiamiamola pure z=z(x) però il punto che volevo sottolineare è che mentre $y^2=(...)*(...)$ graficata non è una "funzione y" (cioè non sono convinto della nomenclatura funzione che usi), sono d'accordo che graficare $z(x)=y^2$ cioè $z(x)=(...)*(...)$ sia una funzione, ma non sono convinto che questa simbologia sia corretta perche se io considero quel prodotto che dicevamo all'inizio che dipende da x: $(...)*(...)$ e lo chiamo z(x) questo prodotto, perché di fatto è una funzione di x, poi però quando scrivo $y^2=z(x)$ questa non mi convince essere una funzione proprio perché se vai a graficare quanto detto trovi una iperbole de facto! che non è affatto una funzione. E' questa che mi sembra una ambiguità.
Rissumendo meglio
- Sia $z(x)=y^2$ (dato che $y^2=(...)*(...)$) ottengo $z(x)=(...)*(...)$ e capisco che è una funzione
- ma scrivere $z(x)=y^2$ vuol anche dire anche (dato che $z(x)=(...)*(...)$[nota]perché il prodotto del contenuto di quelle due parentesi è una funzione[/nota]) scrivere $y^2=(...)*(...)$ ma questa prova a metterla su wolfram e vedrai che non è una funzione il grafico di 'sta roba.
Non so se mi sono spiegato meglio (il dubbio è solo su questa ambivalenza, e non capisco quale delle due letture sia corretta) capito quello sono a cavallo
Nota: $(...)*(...)=(a^2x^2)(1-c/x^2)$
però mi premeva precisare una cosa sulla prima parte:
Ti stai fissando con questa f(x), l'ho chiamata apposta z(x) per non confonderla con altre funzioni: si tratta in buona sostanza di fare il grafico nel piano cartesiano della z=z(x) invece che della tua funzione originaria y.
ceto chiamiamola pure z=z(x) però il punto che volevo sottolineare è che mentre $y^2=(...)*(...)$ graficata non è una "funzione y" (cioè non sono convinto della nomenclatura funzione che usi), sono d'accordo che graficare $z(x)=y^2$ cioè $z(x)=(...)*(...)$ sia una funzione, ma non sono convinto che questa simbologia sia corretta perche se io considero quel prodotto che dicevamo all'inizio che dipende da x: $(...)*(...)$ e lo chiamo z(x) questo prodotto, perché di fatto è una funzione di x, poi però quando scrivo $y^2=z(x)$ questa non mi convince essere una funzione proprio perché se vai a graficare quanto detto trovi una iperbole de facto! che non è affatto una funzione. E' questa che mi sembra una ambiguità.
Rissumendo meglio
- Sia $z(x)=y^2$ (dato che $y^2=(...)*(...)$) ottengo $z(x)=(...)*(...)$ e capisco che è una funzione
- ma scrivere $z(x)=y^2$ vuol anche dire anche (dato che $z(x)=(...)*(...)$[nota]perché il prodotto del contenuto di quelle due parentesi è una funzione[/nota]) scrivere $y^2=(...)*(...)$ ma questa prova a metterla su wolfram e vedrai che non è una funzione il grafico di 'sta roba.
Non so se mi sono spiegato meglio (il dubbio è solo su questa ambivalenza, e non capisco quale delle due letture sia corretta) capito quello sono a cavallo
Nota: $(...)*(...)=(a^2x^2)(1-c/x^2)$
"soldatoObrian":
ma non sono convinto che questa simbologia sia corretta [...]
Sì, la simbologia è corretta, ma da quello che scrivi dopo mi pare di capire che comunque il tuo professore intenda fare il grafico della funzione $y$ (non di $y^2$) che ho già scritto nel mio post precedente:
$ y = g(x) = +\sqrt{a^2 x^2 - a^2 c} $ avente dominio naturale $D=[\sqrt c,+\infty) $
che è il ramo di iperbole che si ottiene per $y \ge 0 $, probabilmente l'unico che ha significato fisico. Ma se la mia interpretazione è corretta devi dirmelo tu: io non posso sapere cosa ha inteso fare il tuo professore in aula, non c'ero...
(provo a reinserire)
Nono la tua interpretazione è assolutamente corretta (il grafico è della funzione) e in generale ho capito tutto il discorso.
Però il mio dubbio si è evoluto e non è più quello di partenza che ormai è chiaro dopo la tua spiegazione.
Cioè, per intendreci, il mio dubbio ora è come interpretare la scrittura, perché mi sembrano parimenti valide e quindi non capisco quale sia corretta:
Ripeto, il resto è più che chiaro ed è risolto, mi manca questa cosetta non tanto sul problema in sé ma proprio sulla simbologia che non capisco appieno.
In altri termini detto, se io assumo la scrittura: $z(x)=y^2$
- ora se sostituisco $y^2=(...)*(...)$ nella precedente mi trovo $z(x)=(...)*(...)$ ed è assolutamente una funzione.
- ma se la interpreto così: alla $z(x)=y^2$ sapendo che $z(x)=(...)*(...)$ posso sostituirla e avrei: $y^2=(...)*(...)$, che come abbiamo ribadito non è più una funzione.
Quindi come va letta $z(x)=y^2$? perché se la vedo alla prima maniera è una funzione, ma se la leggo alla seconda no. Non è ambivalente?
Nono la tua interpretazione è assolutamente corretta (il grafico è della funzione) e in generale ho capito tutto il discorso.
Però il mio dubbio si è evoluto e non è più quello di partenza che ormai è chiaro dopo la tua spiegazione.
Cioè, per intendreci, il mio dubbio ora è come interpretare la scrittura, perché mi sembrano parimenti valide e quindi non capisco quale sia corretta:
Rissumendo meglio
- Sia $z(x)=y^2$ (dato che $y^2=(...)*(...)$) ottengo $z(x)=(...)*(...)$ e capisco che è una funzione
- ma scrivere $z(x)=y^2$ vuol anche dire anche (dato che $z(x)=(...)*(...)$[nota]perché il prodotto del contenuto di quelle due parentesi è una funzione[/nota]) scrivere $y^2=(...)*(...)$ ma questa prova a metterla su wolfram e vedrai che non è una funzione il grafico di 'sta roba.
Non so se mi sono spiegato meglio (il dubbio è solo su questa ambivalenza, e non capisco quale delle due letture sia corretta) capito quello sono a cavallo
Nota: $(...)*(...)=(a^2x^2)(1-c/x^2)$
Ripeto, il resto è più che chiaro ed è risolto, mi manca questa cosetta non tanto sul problema in sé ma proprio sulla simbologia che non capisco appieno.
In altri termini detto, se io assumo la scrittura: $z(x)=y^2$
- ora se sostituisco $y^2=(...)*(...)$ nella precedente mi trovo $z(x)=(...)*(...)$ ed è assolutamente una funzione.
- ma se la interpreto così: alla $z(x)=y^2$ sapendo che $z(x)=(...)*(...)$ posso sostituirla e avrei: $y^2=(...)*(...)$, che come abbiamo ribadito non è più una funzione.
Quindi come va letta $z(x)=y^2$? perché se la vedo alla prima maniera è una funzione, ma se la leggo alla seconda no. Non è ambivalente?
Non ci sono ambivalenze. Ti deve essere chiara la differenza tra relazione e funzione: dati due insiemi $A$ e $B$ non vuoti, una relazione $r$ è un sottoinsieme di $A \times B$. In altre parole, dati due insiemi non vuoti $r$ è semplicemente un sottoinsieme del prodotto cartesiano di tali insiemi. Una funzione è una particolare relazione, in cui si richiede che per ogni $x \in A$ e per ogni $y_1,y_2 \in B$ si ha $\left[\left((x,y_1) \in r\right) \wedge \left((x,y_2) \in r\right)\right] \implies [y_1=y_2]$. Ciò detto, nel tuo esempio è $y$ a non essere una funzione in quanto, nel suo dominio naturale, è:
$$\left[y^2(x)=a^2 x^2 \left(1-\frac{c}{x^2}\right)\right] \iff \left[\left(y(x)=|ax|\sqrt{1-\frac{c}{x^2}}\right) \vee \left(y(x)=-|ax|\sqrt{1-\frac{c}{x^2}}\right)\right]$$
Come puoi vedere, e detto in termini informali, ad ogni elemento del dominio naturale di $y$ vengono associati due valori (in particolare, tali valori sono opposti). Quindi, $y$ è una relazione ma non una funzione perché, seppur essendo un sottoinsieme del prodotto cartesiano $\text{dom}(y^2) \times \mathbb{R}$, non vale l'implicazione che caratterizza la definizione di funzione.
Invece, $y^2$ è una funzione perché lo è $x \mapsto a^2 x^2 \left(1-\frac{c}{x^2}\right)$. Conseguentemente, avendo posto $z(x)=y^2 (x)$ per ogni $x$ nel dominio naturale di $y^2$, anche $z$ è una funzione.
Come ha già detto pilloeffe, restringendosi opportunamente (ossia, considerando solo una delle due condizioni nella disgiunzione logica $\vee$) la $y$ così ristretta è una funzione.
$$\left[y^2(x)=a^2 x^2 \left(1-\frac{c}{x^2}\right)\right] \iff \left[\left(y(x)=|ax|\sqrt{1-\frac{c}{x^2}}\right) \vee \left(y(x)=-|ax|\sqrt{1-\frac{c}{x^2}}\right)\right]$$
Come puoi vedere, e detto in termini informali, ad ogni elemento del dominio naturale di $y$ vengono associati due valori (in particolare, tali valori sono opposti). Quindi, $y$ è una relazione ma non una funzione perché, seppur essendo un sottoinsieme del prodotto cartesiano $\text{dom}(y^2) \times \mathbb{R}$, non vale l'implicazione che caratterizza la definizione di funzione.
Invece, $y^2$ è una funzione perché lo è $x \mapsto a^2 x^2 \left(1-\frac{c}{x^2}\right)$. Conseguentemente, avendo posto $z(x)=y^2 (x)$ per ogni $x$ nel dominio naturale di $y^2$, anche $z$ è una funzione.
Come ha già detto pilloeffe, restringendosi opportunamente (ossia, considerando solo una delle due condizioni nella disgiunzione logica $\vee$) la $y$ così ristretta è una funzione.
"soldatoObrian":
non capisco quale sia corretta:
Sono entrambe corrette. In una nell'asse delle ordinate consideri $y^2$ invece di $y$, tutto qui, sicché in pratica fai il grafico di $y^2 $ in funzione di $x$ che è la funzione (parabola) $y^2 = z(x) = a^2 x^2 - a^2 c $ che ovviamente è diversa da quella che si ottiene considerando $y = g(x) = \sqrt{a^2 x^2 - a^2 c} $ (ramo positivo o al più nullo di iperbole) dove invece sull'asse delle ordinate c'è la consueta $y$. Se torni a $y^2 = a^2 x^2 (1 - c/x^2) $ e la inserisci in Wolfram Alpha gli stai dicendo di farti il consueto grafico con in ordinata $y$ ed in ascissa $x$ dell'equazione iniziale: $y^2 = a^2 x^2 - a^2 c \implies a^2 x^2 - y^2 = a^2 c \implies x^2/(\sqrt c)^2 - y^2/(a\sqrt c)^2 = 1 $ (iperbole), $c > 0 $
Rispondo a entrambi perché alla fine il concetto è quello e in realtà penso di averlo capito. In particolare ringrazio anche mephlip perché ha formalizzato perfettamente l'idea più intuitiva che avevo riportando alla definizione chiara e inequivocabile di funzione come relazione e sottoinsieme del prodotto cartesiano.
Però la mia domanda era più semplice. Quello che volevo dire era se io mi trovassi scritto $z(x)= a^2 x^2 (1 - c/x^2) =y^2 <=>z(x)=y^2$ con i valori come nel nostro esempio specifico.
Io chiedo semplicmente, data quella scrittura come devo leggerla, dato che
Dovrei capirlo dal contesto? In sostanza se mi si chiede di interpretarla come 1 o come 2..
Però la mia domanda era più semplice. Quello che volevo dire era se io mi trovassi scritto $z(x)= a^2 x^2 (1 - c/x^2) =y^2 <=>z(x)=y^2$ con i valori come nel nostro esempio specifico.
Io chiedo semplicmente, data quella scrittura come devo leggerla, dato che
sono valide entrambe?!
abbiamo: $z(x)=y^2$
1- ora se sostituisco $y^2= a^2 x^2 (1 - c/x^2) $ nella precedente mi trovo $z(x)=y^2= a^2 x^2 (1 - c/x^2) => z(x)= a^2 x^2 (1 - c/x^2) $ ed è assolutamente una funzione.
2- ma se la interpreto così: alla $z(x)=y^2$ sapendo che $z(x)= a^2 x^2 (1 - c/x^2) $ posso sostituirla e avrei: $y^2= a^2 x^2 (1 - c/x^2) $, che come abbiamo ribadito non è più una funzione.
Dovrei capirlo dal contesto? In sostanza se mi si chiede di interpretarla come 1 o come 2..
"soldatoObrian":
che come abbiamo ribadito non è più una funzione.
Non è più una funzione se la pensi come $y = y(x) $, cioè se fai il consueto grafico con assi $x$ e $y$. In tal caso abbiamo visto che si tratta di un'iperbole. Torna però ad essere una funzione a tutti gli effetti se ci restringiamo al caso $y \ge 0 $
"soldatoObrian":
sono valide entrambe?!
Sì. Solo che nel primo caso è già di per sè una funzione (grafico con assi cartesiani $x$ e $y^2$), nel secondo ridiventa una funzione solo se ci restringiamo al caso $y \ge 0 $
"soldatoObrian":
Dovrei capirlo dal contesto?
Non capisco cosa ci sia da capire: occorre solo vedere quali sono le intenzioni, se si vuole il grafico tradizionale con assi cartesiani $x$ e $y$ oppure se si vuole il grafico di $y^2$ in funzione di $x$ (assi cartesiani $x$ e $y^2$)
Non capisco cosa ci sia da capire: occorre solo vedere quali sono le intenzioni, se si vuole il grafico tradizionale con assi cartesiani x e y oppure se si vuole il grafico di y2 in funzione di x (assi cartesiani x e y2)
Più che altro pensavo che se uno scriveva$ z(x)=y^2$ dovesse esserci univocità di interpretazione. Invece ora ho capito che posso leggerla nei due modi sopra. Era una domanda stupidotta ma questo volevo capire.
Comunque a parte tutto questo prolungamento sulla discussione (pur molto interessante) erano rimaste aperte le domande @Mephlip in quella discussione in cui poi è originato tutto il resto....
E' vero, non so come non mi fossi accorto della scemenza che ho scritto ->0, in realtà siccome sto seguendo anche analisi 1 mi trovo un po' ancora legato nell'uso dei teoremi sui limiti. (corsi paralleli).
Mi è tutto chiaro per gli altri punti:
2) effettivamente non avevo pensato l fatto che $(y(x))/x$ di fatto è ancora una funzione di x. Come dici tu non so perché ma y indipendente mi confondeva. Però di fatto $g(x):=(y(x))/x=x^2/x=x$ è una dignitosissima funzione a sua volta. Boh, che domanda idiota, ogni tanto mi chiedo come le riesca a partorire
3) In effetti è vero, anzi in modo forse "tautologico" proprio perché $y^2=(a^2x^2)(1-c/x^2)$ ho che $((a^2x^2)(1-c/x^2))/(a^2x^2)=(1-c/x^2)$, cioè insomma non posso dire altro se non che è uno.
Invece mi piacerebbe approfondire meglio il punto 1), in effetti non capisco bene da cosa discenda che avendosi:
$y(x)=y^2=(a^2x^2)(1-c/x^2), x->oo$ cioè ho "$y^2=oo*1$" posso spezzare in "$(y^2)/oo=1$", non capisco bene quale teorema dei limiti che pur sto studiando possa usare. cioè perché quella presenza al limite per infinito di "1" me lo permette? Non sono sicurissimo mi sia chiaro cosa sto usando
Vorrei comunque chiarirmele se aveste voglia
Dipende che informazione vuoi dedurre. Se vuoi dedurre che $y^2(x) \to +\infty$ per $x \to +\infty$, passi semplicemente al limite per $x \to +\infty$ in $y^2(x)=a^2 x^2 \left(1-\frac{c}{x^2}\right)$. Se invece vuoi dedurre che $\frac{y^2(x)}{a^2 x^2} \to 1$ per $x \to +\infty$, come già detto prima si divide per $a^2 x^2$ ambo i membri e poi si passa al limite per $x \to +\infty$. In entrambi i casi, gli unici teoremi algebrici sui limiti usati sono quelli "intuitivi" (il prodotto tra una cosa che tende a $+\infty$ e una che tende a $1$ tende a $+\infty$); il rapporto tra una costante e qualcosa che tende all'infinito tende a $0$). Cosa non ti torna, nello specifico? Non si sta spezzando alcun limite. Non si mischiano i due approcci (ossia, non si sta "passando al limite e poi dividendo per $+\infty$": frase che farebbe diventare campione di invettive celesti qualunque docente all'esame di analisi $1$ 
). Se è stata detta una cosa del genere, ricorda che è un corso di fisica: non si cerca il rigore e a volte si fanno questi abusi di notazione.
). Se è stata detta una cosa del genere, ricorda che è un corso di fisica: non si cerca il rigore e a volte si fanno questi abusi di notazione.
Beh, magari mi sbaglio, ma direi che qui l'idea sottesa sia la seguente:
$y^2 = a^2 x^2 (1 - c/x^2) $
Chiaramente se $ax \ne 0 $ si può scrivere:
$y^2/(a^2 x^2) = 1 - c/x^2 $
Quindi
$\lim_{x \to \pm \infty} y^2/(a^2 x^2) = \lim_{x \to \pm \infty} (1 - c/x^2) = 1 $
Dunque $y^2 $ è un polinomio di secondo grado (una parabola): le scelte potrebbero essere $z(x) = y^2 = a^2 x^2 $, oppure $z(x) = y^2 = a^2 x^2 - a^2c $
O magari si vuole semplicemente studiare l'iperbole
$ x^2/(\sqrt c)^2 - y^2/(a\sqrt c)^2 = 1 $
$ c > 0 $
In particolare gli asintoti obliqui sono $y = \pm \frac{a\sqrt c}{\sqrt c} x = \pm a x $
Per $x = \pm \sqrt c $ si ha $y = 0 $, sicché i due vertici sono $V_{1}(\sqrt c, 0) $ e $V_{2}(- \sqrt c, 0) $
Se prendiamo solo il ramo di iperbole nel primo quadrante chiaramente ci interessa solo $V_{1}(\sqrt c, 0) $
Insomma, anche qui dovrebbe essere prima chiaro dove si vuole andare a parare...
$y^2 = a^2 x^2 (1 - c/x^2) $
Chiaramente se $ax \ne 0 $ si può scrivere:
$y^2/(a^2 x^2) = 1 - c/x^2 $
Quindi
$\lim_{x \to \pm \infty} y^2/(a^2 x^2) = \lim_{x \to \pm \infty} (1 - c/x^2) = 1 $
Dunque $y^2 $ è un polinomio di secondo grado (una parabola): le scelte potrebbero essere $z(x) = y^2 = a^2 x^2 $, oppure $z(x) = y^2 = a^2 x^2 - a^2c $
O magari si vuole semplicemente studiare l'iperbole
$ x^2/(\sqrt c)^2 - y^2/(a\sqrt c)^2 = 1 $
$ c > 0 $
In particolare gli asintoti obliqui sono $y = \pm \frac{a\sqrt c}{\sqrt c} x = \pm a x $
Per $x = \pm \sqrt c $ si ha $y = 0 $, sicché i due vertici sono $V_{1}(\sqrt c, 0) $ e $V_{2}(- \sqrt c, 0) $
Se prendiamo solo il ramo di iperbole nel primo quadrante chiaramente ci interessa solo $V_{1}(\sqrt c, 0) $
Insomma, anche qui dovrebbe essere prima chiaro dove si vuole andare a parare...
Siccome sto seguendo i due corsi analisi 1 e questo in parallelo ogni tanto ho dei dubbi enormi sull'utilizzo fisico della matematica.
In particolare in effetti mi spaventava un uso del genere:
Però, di fatto come dite tu e pilloeffe nel post sotto al tuo in pratica divido prima di operare il limite, in quel caso sono d'accordo.
Siccome siamo in argomento, volevo chiederti:
Devo dire che io li uso intuitivamente come dici tu, ma non capisco benissimo da cosa discendano (cioè come formalizzarli al meglio) e già che sto seguendo anche A1 ne approfitto a chiederlo.
Mi piacerebbe chiarirmeli meglio nella testa, ma non trovo una fonte dove capirli appieno, cioè mi sembra che negli esercizi uso l'intuito come dici tu e non sono soddisfatto.
In particolare in effetti mi spaventava un uso del genere:
(ossia, non si sta "passando al limite e poi dividendo per +∞": frase che farebbe diventare campione di invettive celesti qualunque docente all'esame di analisi 1
Però, di fatto come dite tu e pilloeffe nel post sotto al tuo in pratica divido prima di operare il limite, in quel caso sono d'accordo.
Siccome siamo in argomento, volevo chiederti:
In entrambi i casi, gli unici teoremi algebrici sui limiti usati sono quelli "intuitivi" (il prodotto tra una cosa che tende a +∞ e una che tende a 1 tende a +∞)
Devo dire che io li uso intuitivamente come dici tu, ma non capisco benissimo da cosa discendano (cioè come formalizzarli al meglio) e già che sto seguendo anche A1 ne approfitto a chiederlo.
Mi piacerebbe chiarirmeli meglio nella testa, ma non trovo una fonte dove capirli appieno, cioè mi sembra che negli esercizi uso l'intuito come dici tu e non sono soddisfatto.
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