Radici polinomi complessi
Ciao, avrei dei dubbi sui numeri complessi, in particolare sulle radici dei polinomi.
So che per il teorema fondamentale dell'algebra per ogni polinomio di grado n avrò esattamente n radici complesse, e per ogni radice complessa avrò anche la sua coniugata.
Il mio dubbio riguarda equazioni del tipo: $ bar(z)z^4 = 32i $. In questo caso:
So che per il teorema fondamentale dell'algebra per ogni polinomio di grado n avrò esattamente n radici complesse, e per ogni radice complessa avrò anche la sua coniugata.
Il mio dubbio riguarda equazioni del tipo: $ bar(z)z^4 = 32i $. In questo caso:
- [*:15v815c4]è possibile stabilirne il grado e quindi il numero di soluzioni?[/*:m:15v815c4]
[*:15v815c4]le soluzioni vengono sempre a coppie complesse coniugate?[/*:m:15v815c4]
[*:15v815c4]le soluzioni sono equipartite sul piano?[/*:m:15v815c4][/list:u:15v815c4]
Per risolvere l'esempio io trasformerei entrambi i membri in forma trigonometrica e calcolerei le radici. Il problema è che non so quante soluzioni dovrei aspettarmi.
Risposte
Se usi la rappresentazione polare vedrai che è semplice capire quante sono le soluzioni, che non devono per forza essere a coppie complesse coniugate in quanto in questo caso il polinomio non è a coefficienti reali.
Spannometricamente parlando diciamo che in questo caso il coniugato di z, comparendo come prodotto, "assorbe" uno dei quattro gradi di z, in quanto $z\barz=|z|^2$ e quindi avremo tre radici.
Spannometricamente parlando diciamo che in questo caso il coniugato di z, comparendo come prodotto, "assorbe" uno dei quattro gradi di z, in quanto $z\barz=|z|^2$ e quindi avremo tre radici.
Se usi la rappresentazione polare vedrai che è semplice capire quante sono le soluzioni, che non devono per forza essere a coppie complesse coniugate in quanto in questo caso il polinomio non è a coefficienti reali.
Questa cosa non mi è chiara: se ho una radice complessa non devo per forza avere la sua coniugata? Oppure è una regola che vale solo per i polinomi a coefficienti reali tipo $ x^4 + 1 $?
I miei dubbi comunque sono principalmente:
- [*:1thswt04]è sempre possibile stabilire il grado di un polinomio complesso? ad esempio il grado di $ |z|z^4 $ oppure $ z^4/bar(z) $ [/*:m:1thswt04]
[*:1thswt04]quando le soluzioni di un'equazione complessa possono essere equipartite su una circonferenza del piano di Gauss?[/*:m:1thswt04][/list:u:1thswt04]
"raxell":
... se ho una radice complessa non devo per forza avere la sua coniugata?
No, in generale per un polinomio a coefficienti complessi la coniugata può non esserci.
"raxell":
... Oppure è una regola che vale solo per i polinomi a coefficienti reali tipo $ x^4 + 1 $?
Si, per quel che ricordo.
"raxell":
... è sempre possibile stabilire il grado di un polinomio complesso? ad esempio il grado di $ |z|z^4 $ oppure $ z^4/bar(z) $
Premesso che non so se è ancora lecito parlare di "polinomio" (e quindi di "grado" dello stesso), per quanto riguarda il numero di radici, direi di sì, per la particolare forma
$az^n\bar z^m+b=0$
con a e b coefficienti complessi, in quanto usando il metodo che ti ho indicato, direi che si possa affermare che il numero di radici sarà $|m-n|$; ne segue che per $ |z|z^4 $ ne avremo 4, mentre per $ z^4/bar(z) $ ne avremo 5.
"raxell":
... quando le soluzioni di un'equazione complessa possono essere equipartite su una circonferenza del piano di Gauss?
Se l'equazione si presenta nella precedente forma direi di si, ma in generale una equazione complessa in $z$ e $\bar z$ non avrà ne soluzioni equiripartite come argomento ne sarà possibile prevederne il numero.
Già per una forma del tipo
$az^n+b\bar z^m+c=0$
il numero di soluzioni viene a dipendere anche dai coefficienti.
Ma ovviamente aspettiamo il parere di un matematico, non di un idraulico come il sottoscritto.
Ho chiesto a un professore della mia università e avevi ragione su tutti i punti: le soluzioni coniugate si hanno solo con i coefficienti reali e sono equipartite solo se si tratta di equazioni pure. Grazie ancora 
Posso chiederti una cosa un po' OT? Da quanti anni studi matematica? Perchè io vorrei imparare a utilizzarla concretamente (al di là dei semplici esercizi) per formalizzare e risolvere problemi, solo che ho l'impressione che serva molto di più di qualche semestre universitario.
Posso chiederti una cosa un po' OT? Da quanti anni studi matematica? Perchè io vorrei imparare a utilizzarla concretamente (al di là dei semplici esercizi) per formalizzare e risolvere problemi, solo che ho l'impressione che serva molto di più di qualche semestre universitario.
"raxell":
... Da quanti anni studi matematica?
Diciamo che dalla prima elementare non ho mai smesso di studiarla, pur non essendo un matematico di professione ...
"raxell":
... Perchè io vorrei imparare a utilizzarla ...
... per imparare ad utilizzarla dovrai fare tanto ma Tanto esercizio, come quello che sta ancora continuando a fare il sottoscritto ...
"raxell":
... solo che ho l'impressione che serva molto di più di qualche semestre universitario.
... mi sa proprio di si, visto che dopo diversi decenni sono ancora qui che studio ... pur con scarsi risultati.
BTW Posso chiederti cosa stai studiando?
BTW Posso chiederti cosa stai studiando?
Informatica, non è matematica pura però mi sto rendendo conto che la maggior parte dei concetti vengono formalizzati in linguaggio logico-matematico. Quindi se non voglio diventare un semplice smanettone mi conviene capirla a fondo per poterla poi usare concretamente (cosa che purtroppo all'università non insegnano
).
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