Radici complesse
Ciao a tutti! Ho un problema con una dimostrazione, devo dimostrare che se z è una radice di p(z), allora anche il coniugato di z è una radice di p(z).
Non riesco proprio a trovare un modo per dimostrarlo...
Ho provato sostituendo x-iy a x+iy, ma non arrivo da nessuna parte.
Non riesco proprio a trovare un modo per dimostrarlo...
Ho provato sostituendo x-iy a x+iy, ma non arrivo da nessuna parte.
Risposte
non ho capito bene, forse mi sfugge qualcosa...
proviamo con un esempio
$z^2+z(1-3)+3i+2=0$
una delle radici di questa equazione è $z=i$
puoi verificare sostituendo
se però sostituisci il modulo di $i$, cioè $1$ l'equazione non è verificata
proviamo con un esempio
$z^2+z(1-3)+3i+2=0$
una delle radici di questa equazione è $z=i$
puoi verificare sostituendo
se però sostituisci il modulo di $i$, cioè $1$ l'equazione non è verificata
La cosa non è vera nemmeno nel caso di polinomi a coefficienti reali.
Infatti \(-1\) è radice di \(z^2+2z+1\), ma \(1\) non lo è.
Quindi c'è qualche ipotesi che non hai scritto, oppure semplicemente hai sbagliato a scrivere ciò che vuoi dimostrare.
Infatti \(-1\) è radice di \(z^2+2z+1\), ma \(1\) non lo è.
Quindi c'è qualche ipotesi che non hai scritto, oppure semplicemente hai sbagliato a scrivere ciò che vuoi dimostrare.
sì certo mi sono confusa, non so perché ho scritto modulo, intendevo coniugato! Pardon
Ah, ecco... Beh, comunque non è difficile provare che per un polinomio complesso a coefficienti reali vale l'equivalenza:
\[
p(\zeta)=0 \quad \Leftrightarrow \quad p(\bar{\zeta}) =0\; .
\]
Basta tenere presenti le proprietà del coniugio. Quali conosci?
\[
p(\zeta)=0 \quad \Leftrightarrow \quad p(\bar{\zeta}) =0\; .
\]
Basta tenere presenti le proprietà del coniugio. Quali conosci?
Mmm sì, ma non capisco quale applicare.
$ p(z)=a_nz^n+...+a_0=p(bar(z) )=a_nbar(z)^n+...+a_0=0 $
Anche perché l'unica che mi sembra utile è quella che dice che se z è uguale al suo coniugato, allora è z è reale, ma così vado contro al teorema fondamentale dell'algebra...quindi direi che non è la strada giusta
$ p(z)=a_nz^n+...+a_0=p(bar(z) )=a_nbar(z)^n+...+a_0=0 $
Anche perché l'unica che mi sembra utile è quella che dice che se z è uguale al suo coniugato, allora è z è reale, ma così vado contro al teorema fondamentale dell'algebra...quindi direi che non è la strada giusta
Se non riesci a capire come impostare una dimostrazione, non andarti ad impelagare sul caso generale direttamente perché ti incasini solamente (il più delle volte).
All'inizio, prova con un caso banale; poi provi a generalizzare.
Ad esempio, prendi il polinomio di secondo grado:
\[
p(z) = z^2-\pi\ z + 100
\]
e supponi che \(\zeta\) sia una sua radice complessa. Sostituisci \(\bar{\zeta}\) in \(p(z)\): che trovi?
Quali passaggi algebrici con il coniugio puoi fare per cercare di ricondurre tutto ad un'espressione in cui compaia solo \(\zeta\) e non \(\bar{\zeta}\)?
Prova un po' e vedi che ne tiri fuori.
Poi prova a generalizzare.
P.S.: Ti conviene ricordare che il coniugio commuta con tutte le operazioni in campo complesso (e.g. \(\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}\) e \(\overline{z^n}=(\bar{z})^n\)) e che i numeri reali sono autoconiugati (cioè coincidono col proprio coniugato).
All'inizio, prova con un caso banale; poi provi a generalizzare.
Ad esempio, prendi il polinomio di secondo grado:
\[
p(z) = z^2-\pi\ z + 100
\]
e supponi che \(\zeta\) sia una sua radice complessa. Sostituisci \(\bar{\zeta}\) in \(p(z)\): che trovi?
Quali passaggi algebrici con il coniugio puoi fare per cercare di ricondurre tutto ad un'espressione in cui compaia solo \(\zeta\) e non \(\bar{\zeta}\)?
Prova un po' e vedi che ne tiri fuori.
Poi prova a generalizzare.
P.S.: Ti conviene ricordare che il coniugio commuta con tutte le operazioni in campo complesso (e.g. \(\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}\) e \(\overline{z^n}=(\bar{z})^n\)) e che i numeri reali sono autoconiugati (cioè coincidono col proprio coniugato).
Sì ma arrivo sempre allo stesso punto, cioè che
$ z^2-piz=bar(z)^2-pibar(z) $
è l'unico modo affinché questa uguaglianza sia vera è che $ z=bar(z) $ se e solo se $ zin R $
Non trovo altri modi per risolvere la cosa
$ z^2-piz=bar(z)^2-pibar(z) $
è l'unico modo affinché questa uguaglianza sia vera è che $ z=bar(z) $ se e solo se $ zin R $
Non trovo altri modi per risolvere la cosa
Beh, se continui a confondere l'ipotesi \(p(\zeta)=0\) con la tesi \(p(\bar{\zeta})=0\) non vai da nessuna parte... 
Proviamo a seguire la linea che suggerivo prima.
Sostituendo \(z=\bar{\zeta}\) in \(p(z)\) trovi:
\[
p(\bar{\zeta}) = (\bar{\zeta})^2 - \pi\ \bar{\zeta} + 100\ldots
\]
Come puoi manipolare la quantità a destra dell'uguale per "mettere in un posto più conveniente" quei segni di coniugio?
Proviamo a seguire la linea che suggerivo prima.
Sostituendo \(z=\bar{\zeta}\) in \(p(z)\) trovi:
\[
p(\bar{\zeta}) = (\bar{\zeta})^2 - \pi\ \bar{\zeta} + 100\ldots
\]
Come puoi manipolare la quantità a destra dell'uguale per "mettere in un posto più conveniente" quei segni di coniugio?
Posso dire che $ p(bar(zeta))=(bar(zeta))^2-pibar(zeta)+100=bar[(zeta)^2-pizeta+100 $
perché i numeri reali sono uguali al proprio coniugato e la somma di coniugati è il coniugato della somma... ma comunque non ho dimostrato niente così
perché i numeri reali sono uguali al proprio coniugato e la somma di coniugati è il coniugato della somma... ma comunque non ho dimostrato niente così
"Ingy":
Posso dire che $ p(bar(zeta))=(bar(zeta))^2-pibar(zeta)+100=bar[(zeta)^2-pizeta+100 $
perché i numeri reali sono uguali al proprio coniugato e la somma di coniugati è il coniugato della somma... ma comunque non ho dimostrato niente così
Ma come non hai dimostrato nulla!?!
Hai praticamente finito...
Infatti hai fatto vedere che:
\[
p(\bar{\zeta}) = \overline{p(\zeta)}
\]
ed adesso ti basta usare l'ipotesi del teorema, cioè \(p(\zeta)=0\), per concludere.
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