Radici

[Ariz93]

Ecco qui un problema semplici sule radici,il problema è che la mia soluzione è più semplice del libro, posto qui il problema :
siano \(\displaystyle m,n\in \mathbb{N} \) tali che almeno uno dei due non sia il quadrato di un numero intero.Dimostrare che allora un numero reale : \(\displaystyle \sqrt m +\sqrt n \) è irrazionale.

[gio73]

"Ariz93":Ecco qui un problema semplici sule radici,il problema è che la mia soluzione è più semplice del libro, posto qui il problema :
siano \(\displaystyle m,n\in \mathbb{N} \) tali che almeno uno dei due non sia il quadrato di un numero intero.Dimostrare che allora un numero reale : \(\displaystyle \sqrt m +\sqrt n \) è irrazionale.

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[Ariz93]

Grazie per il benvenuto ,la metto nascosta almeno se qualcuno si vuol divertire non sbircia :

ammettiamo per assurdo: \(\displaystyle \sqrt n +\sqrt m= r \) con \(\displaystyle r \in \mathbb{Q}\)
allora elevando al quadrato : \(\displaystyle m+n+\sqrt{mn} =r^2\) ma quindi dato che la radice di un numero può essere o u intero o un irrazionale(l'ho dimostrato) \(\displaystyle mn = k^2 \) con \(\displaystyle k\in \mathbb{N} \), perciò sviluppando i calcoli esce fuori \(\displaystyle r=\sqrt m +\sqrt{\frac{k^2}{m}}=\frac{m+k}{\sqrt m} \) ma quindi per essere r razionale m dev'essere per forza quadrato di un intero, perciò n non può essere quadrato di un intero per ipotesi ma \(\displaystyle \sqrt n= r-\sqrt m \) ma questo è un assurdo perché \(\displaystyle \sqrt n \) no può essere razionale e neanche intero.