Radice reale di polinomio di grado dispari (prova analitica)

[Sk_Anonymous]

Vorrei provare che ogni polinomio di grado dispari possiede almeno una radice reale mediante il teorema di esistenza degli zeri, ed ho pensato di argomentare in questo modo: sia \(\displaystyle p(x)=a_{0}x^{2n+1}+a_{1}x^{2n}+...+a_{2n} \) con \(\displaystyle a_{i} \in \mathbb{R} \), \(\displaystyle i=0,1,...,2n \) e \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \). Dovrebbe essere sufficiente notare che \(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} p(x)=+ \infty \) e che \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} p(x)=- \infty \) per poter concludere che esiste un punto di \(\displaystyle \mathbb{R} \) in cui il polinomio, in quanto funzione continua, si annulla.

In maniera un po' più elegante, e soprattutto in modo da poter applicare il teorema di cui sopra senza incorrere in pasticci, potrei notare che senz'altro esiste \(\displaystyle M >0 \) t.c. \(\displaystyle \forall \; x > M \quad p(x)>0 \) e che specularmente esiste \(\displaystyle N < 0 \) t.c. \(\displaystyle p(x)<0 \quad \forall x < N \). Nell'intervallo \(\displaystyle [N-1,M+1] \) è presente pertanto un valore che annulla il polinomio in quanto \(\displaystyle p(N-1) \cdot p(M+1)<0 \).

Può andare?

Ringrazio.

[gugo82]

Certo.

Però stai implicitamente supponendo \(a_0>0\)... Per tagliare la testa al toro, basta notare che \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} p(x) = \operatorname{sign} (a_0)\ \infty\) e \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} p(x) = -\operatorname{sign} (a_0)\ \infty\), quindi in ogni caso i segni dei due infiniti sono opposti.

[Sk_Anonymous]

Giusto. Grazie gugo.