"Surrogato" del teorema di Lagrange
Supponiamo $f:\Omega \sub RR^n\toRR^m$, con $\Omega$ aperto, f differenziabile in $\Omega$.
Possiamo dire che, posto $M:=text(sup){\||J_{f} (x)|| : x in \Omega}$
(dove la norma sulla matrice Jacobiana è quella indotta dalle norme vettoriali, ovvero $\forall A in M_{m\timesn}(RR) : ||A||=max{||A*x|| : ||x||=1}$ ) risulta:
$\forall x,y in \Omega : ||f(x)-f(y)||<=M||x-y||$? Come $||\cdot||$ vanno bene norme vettoriali qualsiasi?
ciao e grazie anticipate!
Possiamo dire che, posto $M:=text(sup){\||J_{f} (x)|| : x in \Omega}$
(dove la norma sulla matrice Jacobiana è quella indotta dalle norme vettoriali, ovvero $\forall A in M_{m\timesn}(RR) : ||A||=max{||A*x|| : ||x||=1}$ ) risulta:
$\forall x,y in \Omega : ||f(x)-f(y)||<=M||x-y||$? Come $||\cdot||$ vanno bene norme vettoriali qualsiasi?
ciao e grazie anticipate!
Risposte
Temo sia falso per motivi di natura geometrica. Cerco di spiegarmi (se ho tempo provero' poi a fabbricare un controesempio).
Se $\Omega$ fosse convesso l'enunciato sarebbe vero e per dimostrarlo si prenderebbe il segmento che congiunge $x$ a $y$,
parametrizzato per esempio con una $\gamma:[0,1]\to\Omega$ e si applicherebbe Lagrange unidimensionale (in partenza)
a $f\circ\gamma$ su $[0.1]$.
Se $\Omega$ non è convesso (ma è connesso), dati $x$ e $y$ in $\Omega$ puoi sempre trovare una curva $\gamma$ che li congiunge e
applicare Lagrange a $f\circ\gamma$; facendo i conti trovi
\[
\|f(x)-f(y)\|\leq M\ \text{lunghezza}(\gamma)
\]
Purtroppo la lunghezza di $\gamma$ non è maggiorata da $||x-y||$, come avviene nel caso convesso - puoi avere punti vicini tra loro come norma ma tali che per andare dall'uno all'altro in $\Omega$ devi fare una strada lunghissima.
La tesi è vera se al posto di $||x-y||$ prendi la "distanza geodetica", cioè l'estremo inferiore delle lunghezze delle curve in $\Omega$ congiungenti
$x$ e $y$
Spero di aver reso l'idea
Se $\Omega$ fosse convesso l'enunciato sarebbe vero e per dimostrarlo si prenderebbe il segmento che congiunge $x$ a $y$,
parametrizzato per esempio con una $\gamma:[0,1]\to\Omega$ e si applicherebbe Lagrange unidimensionale (in partenza)
a $f\circ\gamma$ su $[0.1]$.
Se $\Omega$ non è convesso (ma è connesso), dati $x$ e $y$ in $\Omega$ puoi sempre trovare una curva $\gamma$ che li congiunge e
applicare Lagrange a $f\circ\gamma$; facendo i conti trovi
\[
\|f(x)-f(y)\|\leq M\ \text{lunghezza}(\gamma)
\]
Purtroppo la lunghezza di $\gamma$ non è maggiorata da $||x-y||$, come avviene nel caso convesso - puoi avere punti vicini tra loro come norma ma tali che per andare dall'uno all'altro in $\Omega$ devi fare una strada lunghissima.
La tesi è vera se al posto di $||x-y||$ prendi la "distanza geodetica", cioè l'estremo inferiore delle lunghezze delle curve in $\Omega$ congiungenti
$x$ e $y$
Spero di aver reso l'idea
"ViciousGoblinEnters":
Spero di aver reso l'idea
L'hai resa!
Hai reso perfettamente l'idea. Forse un controesempio potrebbe essere:
$f(x,y)={0, text(nel 2°, 3°. 4° quadrante), y^2, text(nel 1° quadrante)}$, lasciando non definita la semiretta corrispondente al semiasse positivo delle y. Intuitivamente, partendo dal piano -in $RR^3$- ${z=0}$, "tagliamo" lungo il semiasse y positivo, e "alziamo" il primo quadrante come $y^2$. Allora vicino allo "strappo" la proposizione sarà falsa. E' qualcosa del genere che intendi?
(edit)
$f(x,y)={0, text(nel 2°, 3°. 4° quadrante), y^2, text(nel 1° quadrante)}$, lasciando non definita la semiretta corrispondente al semiasse positivo delle y. Intuitivamente, partendo dal piano -in $RR^3$- ${z=0}$, "tagliamo" lungo il semiasse y positivo, e "alziamo" il primo quadrante come $y^2$. Allora vicino allo "strappo" la proposizione sarà falsa. E' qualcosa del genere che intendi?
(edit)
Il controesempio è perfetto.
Io stavo pensando al logaritmo complesso definito per esempio su $CC\setminus i RR^-$ (identificato con $RR^2$ meno la semiretta delle $x$ negative).
Ma la tua funzione segue esattamente lo stesso spirito e mostra come punti vicinissimi (uno al di qua e uno al di là dello strappo) possano avere scarto tra i
valori della funzione molto elevati.
Io stavo pensando al logaritmo complesso definito per esempio su $CC\setminus i RR^-$ (identificato con $RR^2$ meno la semiretta delle $x$ negative).
Ma la tua funzione segue esattamente lo stesso spirito e mostra come punti vicinissimi (uno al di qua e uno al di là dello strappo) possano avere scarto tra i
valori della funzione molto elevati.
Allora, abbiamo visto che se il dominio non è convesso la nostra disuguaglianza non sussiste di sicuro.
Supponiamo allora il dominio convesso: in queste condizioni, presi $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \gamma(t)=(1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{a}$, otteniamo $f\circ\gamma$ di una variabile. Se usiamo la norma euclidea abbiamo finito: c'è un teorema sulle curve derivabili(mi pare che si chiami "degli accrescimenti finiti") che ci garantisce $||f\circ\gamma(1)-f\circ\gamma(0)||<=||(f\circ\gamma)'(\xi)||(1-0)=||J_{f}(\gamma(\xi))(\mathbf{b-a})||$ e quindi la tesi. Questo passaggio mi sembra abbastanza semplice.
Il dubbio è: questa cosa funziona anche con un altra norma, che non sia quella euclidea?
E' sufficiente considerare questo: se una curva $\phi$ è derivabile, è vero che $||\phi(b)-\phi(a)||<=text(sup){||\phi'(x)|| : x in [a,b]}\ |b-a|$(teorema degli accrescimenti finiti) con una norma qualsiasi? Sarei tentato di rispondere sì, ma proprio recentemente abbiamo parlato di norme "strane", che non verificano alcune proprietà standard di $||\cdot||_2$.
P.S.:per V.G.E. : recentemente sembri aver preso l'abitudine di togliermi le castagne dal fuoco!!! grazie mille
Supponiamo allora il dominio convesso: in queste condizioni, presi $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \gamma(t)=(1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{a}$, otteniamo $f\circ\gamma$ di una variabile. Se usiamo la norma euclidea abbiamo finito: c'è un teorema sulle curve derivabili(mi pare che si chiami "degli accrescimenti finiti") che ci garantisce $||f\circ\gamma(1)-f\circ\gamma(0)||<=||(f\circ\gamma)'(\xi)||(1-0)=||J_{f}(\gamma(\xi))(\mathbf{b-a})||$ e quindi la tesi. Questo passaggio mi sembra abbastanza semplice.
Il dubbio è: questa cosa funziona anche con un altra norma, che non sia quella euclidea?
E' sufficiente considerare questo: se una curva $\phi$ è derivabile, è vero che $||\phi(b)-\phi(a)||<=text(sup){||\phi'(x)|| : x in [a,b]}\ |b-a|$(teorema degli accrescimenti finiti) con una norma qualsiasi? Sarei tentato di rispondere sì, ma proprio recentemente abbiamo parlato di norme "strane", che non verificano alcune proprietà standard di $||\cdot||_2$.
P.S.:per V.G.E. : recentemente sembri aver preso l'abitudine di togliermi le castagne dal fuoco!!! grazie mille
"dissonance":
Allora, abbiamo visto che se il dominio non è convesso la nostra disuguaglianza non sussiste di sicuro.
Supponiamo allora il dominio convesso: in queste condizioni, presi $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \gamma(t)=(1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{a}$, otteniamo $f\circ\gamma$ di una variabile. Se usiamo la norma euclidea abbiamo finito: c'è un teorema sulle curve derivabili(mi pare che si chiami "degli accrescimenti finiti") che ci garantisce $||f\circ\gamma(1)-f\circ\gamma(0)||<=||(f\circ\gamma)'(\xi)||(1-0)=||J_{f}(\gamma(\xi))(\mathbf{b-a})||$ e quindi la tesi. Questo passaggio mi sembra abbastanza semplice.
Il dubbio è: questa cosa funziona anche con un altra norma, che non sia quella euclidea?
E' sufficiente considerare questo: se una curva $\phi$ è derivabile, è vero che $||\phi(b)-\phi(a)||<=text(sup){||\phi'(x)|| : x in [a,b]}\ |b-a|$(teorema degli accrescimenti finiti) con una norma qualsiasi? Sarei tentato di rispondere sì, ma proprio recentemente abbiamo parlato di norme "strane", che non verificano alcune proprietà standard di $||\cdot||_2$.
Dovrebbe funzionare purché tutte le norme vadano d'accordo tra loro ...
Mi spiego: Abbiamo $\phi:\Omega\to X_1$ dove $\Omega$ è un convesso in $X$, $X$ è dotato di norma $||\cdot||$ mentre $X_1$ è dotato
di norma $||\cdot||_1$. $\phi$ è differenziabile e quindi possiamo considerare
$M="sup"{||d\phi(x)||_{X,X_1} : x\in\Omega}$
che supponiamo finito. Nota che per ogni $x$ in $\Omega$ $d\phi(x):X\to X_1$ è lineare, continua (siamo in dimensione finita altrimenti è un'ipotesi) e
$||d\phi(x)||_{X,X_1}="sup"{||d\phi(x)\xi||_1/||\xi|| : \xi\in X, \xi\ne0}$
Prendiamo ora $x$ e $y$ in $X$ e consideriamo il segmento tra $x$ e $y$ che per ipotesi sta tutto in $\Omega$. Posssiamo parametrizzare il
segmento mediante $\gamma(t)=x+t(y-x)$, $0\leq t\leq 1$ di modo che $\gamma'(t)=y-x$.
Allora
$||\phi(x)-\phi(y)||_1=||\int_0^1\frac{d}{dt}\phi(\gamma(t)) dt||_1\leq \int_0^1||d\phi(\gamma(t))\gamma'(t) ||_1 dt\leq$
$\int_0^1||d\phi(\gamma(t))||_{X,X_1}||\gamma'(t) || dt\leq M\int_0^1||y-x|| dt=M ||y-x|| $
Torna, no?
P.S.:per V.G.E. : recentemente sembri aver preso l'abitudine di togliermi le castagne dal fuoco!!! grazie mille
Ho installato uno script che seleziona e mi presenta in evidenza tutti i tuoi messaggi...
Non solo torna ma è anche molto più "straightforward" rispetto alla dimostrazione di prima! Questa me la devo segnare
Quindi, dicendo che le norme devono "andare d'accordo" intendevi dire che dobbiamo usare per $d\phi$ una norma compatibile con tutt'e due, se non ho capito male. tutto sommato non mi pare chiedere troppo!
L'unica cosa che mi sfugge (ma è proprio un dettaglio eh) è il motivo per cui $d/dt\phi\circ\gamma$ sia integrabile. E' necessario supporre $\phi$ di classe $C^1$?
In realtà è un mio vecchio dubbio: esisteranno funzioni derivabili, ma con derivata non integrabile?
Quindi, dicendo che le norme devono "andare d'accordo" intendevi dire che dobbiamo usare per $d\phi$ una norma compatibile con tutt'e due, se non ho capito male. tutto sommato non mi pare chiedere troppo!
L'unica cosa che mi sfugge (ma è proprio un dettaglio eh) è il motivo per cui $d/dt\phi\circ\gamma$ sia integrabile. E' necessario supporre $\phi$ di classe $C^1$?
In realtà è un mio vecchio dubbio: esisteranno funzioni derivabili, ma con derivata non integrabile?
ma se invece di una funzione differenziabile la funzione fosse olomorfa?
cioe se avessi A un aperto convesso di $CC$ ed f olomorfa allora vale ancora il risultato?
e in caso mi sapete dare un contro esempio?
grazie mille.
cioe se avessi A un aperto convesso di $CC$ ed f olomorfa allora vale ancora il risultato?
e in caso mi sapete dare un contro esempio?
grazie mille.
Beh ma se una funzione $CC\toCC$ è olomorfa, allora vedendola come una funzione $RR^2\toRR^2$ certamente è differenziabile. Anzi, che io sappia le funzioni $CC\toCC$ olomorfe sono precisamente quelle che, viste come funzioni $RR^2\toRR^2$, sono differenziabili e verificano le condizioni di Cauchy-Riemann.
si ma nn capisco come l'ipotesi di convessità su $A$ debba essere necessaria.
Eppure proprio in questa discussione c'è un controesempio (quello con il grafico). In quel caso parliamo di una funzione reale di due variabili reali, non costante e quindi certamente non una funzione olomorfa. Ma il principio è quello: se vedi bene poi V.G.E. proponeva un controesempio basato sulla funzione logaritmo complessa.
Il punto è che questo teorema si dimostra valutando la funzione di più variabili lungo un segmento e applicando a questa restrizione il teorema di Lagrange unidimensionale. Rileggi bene i post precedenti e trovi la risposta al tuo dubbio.
Il punto è che questo teorema si dimostra valutando la funzione di più variabili lungo un segmento e applicando a questa restrizione il teorema di Lagrange unidimensionale. Rileggi bene i post precedenti e trovi la risposta al tuo dubbio.
si si ho capito quello del log che è olomorfa sulla retta complessa a cui si toglie la semiretta dei numeri reali negativi... e quel dominio non è più convesso e punti che sono simmetrici rispetto alla semiretta dei numeri reali negativi se li prendo abbastnza vicini l'immagine tramite il log può essere grande.
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