"Strana" disuguaglianza triangolare complessa
Ciao a tutti!
Devo mostrare che vale: $|z|-|w|<=|z-w|$, con $z$ e $w$ numeri complessi.
Io ho proceduto così:
$|z|=|(z-w)+w|<=|z-w|+|w|$ per la disuguaglianza triangolare, valida nel campo complesso. Da questo ottengo: $|z|-|w|<=|z-w|$. A me la dimostrazione sembra fatta e finita, però la soluzione dell'esercizio dice che, per verificare la disuguaglianza, è necessario mostrare anche che:
$|w|=|w-z+z|<=|w-z|+|z|=|z-w|+|z|$, sempre per la disuguaglianza triangolare. Dopodiché si ottiene che: $|w|-|z|<=|z-w|$. Algebricamente il discorso mi fila anche in testa, ma non capisco il senso di questo secondo passaggio per dimostrare la disuguaglianza! Qualcuno sa spiegarmelo?
Grazie mille a chi risponderà!
Devo mostrare che vale: $|z|-|w|<=|z-w|$, con $z$ e $w$ numeri complessi.
Io ho proceduto così:
$|z|=|(z-w)+w|<=|z-w|+|w|$ per la disuguaglianza triangolare, valida nel campo complesso. Da questo ottengo: $|z|-|w|<=|z-w|$. A me la dimostrazione sembra fatta e finita, però la soluzione dell'esercizio dice che, per verificare la disuguaglianza, è necessario mostrare anche che:
$|w|=|w-z+z|<=|w-z|+|z|=|z-w|+|z|$, sempre per la disuguaglianza triangolare. Dopodiché si ottiene che: $|w|-|z|<=|z-w|$. Algebricamente il discorso mi fila anche in testa, ma non capisco il senso di questo secondo passaggio per dimostrare la disuguaglianza! Qualcuno sa spiegarmelo?
Grazie mille a chi risponderà!
Risposte
Anche secondo me hai già finito quando sei arrivato a metà, forse il libro voleva in realtà dimostrare una cosa diversa, cioè che $||z|-|w||<=|z-w|$, è l'unica cosa che giustificherebbe il libro e mi sembra che sia anche abbastanza sensata.
Grazie mille! Probabilmente si tratta di un refuso, ora è tutto più chiaro.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo