"storia" delle principali funzioni
In un post qualcuno affermava:
"La Matematica nasce sempre da esigenze pratiche, nonostante molti pensino il contrario.".
Premesso questo, qualcuno sa dirmi in maniera abbastanza precisa e dettagliata secondo quali esigenze pratiche e modalità è nata la funzione esponenziale?
P.S: non mi interessa la definizione della funzione esponenziale esposta alla maniera di wikipedia (e cioè definendola tramite dell'altro, come ad esempio tramite la serie di potenze).
Grazie!
"La Matematica nasce sempre da esigenze pratiche, nonostante molti pensino il contrario.".
Premesso questo, qualcuno sa dirmi in maniera abbastanza precisa e dettagliata secondo quali esigenze pratiche e modalità è nata la funzione esponenziale?
P.S: non mi interessa la definizione della funzione esponenziale esposta alla maniera di wikipedia (e cioè definendola tramite dell'altro, come ad esempio tramite la serie di potenze).
Grazie!
Risposte
Qui trovi la costruzione dei logaritmi che, storicamente, ha preceduto la costruzione dell'esponenziale (i testi di Napier sono del 1614 o giù di lì).
L'esponenziale è stata battezzata così solo in seguito, da qualche Bernoulli, che si interessava di problemi finanziari.
Una delle prime descrizioni sufficientemente formali dell'esponenziale con base \(e\) è quella di Eulero, nel classico Introductio in Analysin Infinitorum (1748), in cui per definizione si poneva:
\[
e^x = \lim_n \left( 1+\frac{x}{n}\right)^n\; .
\]
Poi, con l'andare del tempo, si è capito che l'esponenziale \(e^x\) ed uno dei possibili sistemi logaritmici erano funzioni inverse; si è capito che si può definire la funzione esponenziale in dodicimila modi diversi e tutti indifferentemente buoni; e che il logaritmo si definisce più facilmente come funzione inversa di qualche esponenziale.
Per la storia del numero \(e\) e della funzione esponenziale neperiana (che poi si dovrebbe chiamare euleriana!) ti rimando all'interessantissimo ed agile volumetto di Maor, \(e\) - The History of a Number.
L'esponenziale è stata battezzata così solo in seguito, da qualche Bernoulli, che si interessava di problemi finanziari.
Una delle prime descrizioni sufficientemente formali dell'esponenziale con base \(e\) è quella di Eulero, nel classico Introductio in Analysin Infinitorum (1748), in cui per definizione si poneva:
\[
e^x = \lim_n \left( 1+\frac{x}{n}\right)^n\; .
\]
Poi, con l'andare del tempo, si è capito che l'esponenziale \(e^x\) ed uno dei possibili sistemi logaritmici erano funzioni inverse; si è capito che si può definire la funzione esponenziale in dodicimila modi diversi e tutti indifferentemente buoni; e che il logaritmo si definisce più facilmente come funzione inversa di qualche esponenziale.
Per la storia del numero \(e\) e della funzione esponenziale neperiana (che poi si dovrebbe chiamare euleriana!) ti rimando all'interessantissimo ed agile volumetto di Maor, \(e\) - The History of a Number.
E delle funzioni trigonometriche, radice ecc...?
Ci sono anche qui ragioni pratiche?
Ci sono anche qui ragioni pratiche?
Ti ricordi le relazioni tra i lati e gli angoli dei triangoli?
Bene, lì trovi le origini delle funzioni trigonometriche: seno e coseno erano meri fattori di proporzionalità tra i lati dei triangoli.
Poi, come al solito, il processo di revisione periodico della Matematica fa il resto... E adesso abbiamo quattordicimila definizioni di seno e coseno, tutte equivalenti e tutte ugualmente buone.
Per le radici, beh che ne parliamo a fare?
Trovare il lato del quadrato una volta assegnata l'area è un problema di Geometria classico; da lì nasce la radice quadrata.
Duplicare il volume di un cubo è un altro problema classico (legato ad una famosa pestilenza); da lì nasce la radice cubica (perchè?).
Ovviamente, il tutto via il progresso della Matematica fatto in età medioevale e rinascimentale.
Bene, lì trovi le origini delle funzioni trigonometriche: seno e coseno erano meri fattori di proporzionalità tra i lati dei triangoli.
Poi, come al solito, il processo di revisione periodico della Matematica fa il resto... E adesso abbiamo quattordicimila definizioni di seno e coseno, tutte equivalenti e tutte ugualmente buone.
Per le radici, beh che ne parliamo a fare?
Trovare il lato del quadrato una volta assegnata l'area è un problema di Geometria classico; da lì nasce la radice quadrata.
Duplicare il volume di un cubo è un altro problema classico (legato ad una famosa pestilenza); da lì nasce la radice cubica (perchè?).
Ovviamente, il tutto via il progresso della Matematica fatto in età medioevale e rinascimentale.
Sulla nascita di queste funzioni avevo un'idea un pò diversa dalla tua, comunque va bene, vedrò di approfondire la questione sulla base degli "input" che mi hai dato.
Quanto alla nascita della funzione "coseno iperbolico" ($cosh$), qualche giorno fa avevo esposto delle idee qui (terzultimo post). Discutere in maniera dettagliata la nascita del coseno iperbolico è per me fondamentale, non solo per chiarire definitivamente l'importanza del concetto di funzione in Matematica ma anche per risolvere altri dubbi che ho in testa.
Non so se il discorso che ho fatto nel post che ho linkato sia corretto. In breve quello che io ho detto per spiegare l'origine del coseno iperbolico è stato:
1) si osserva che se fisso su una parete verticale i due estremi di una catena pesante, questa assumerà una certa configurazione;
2) prendo un piano cartesiano e disegno la curva corrispondente alla forma assunta dalla catena (curva che è molto simile ad una parabola);
3) descrivo matematicamente tale curva elencando le coordinate di ogni suo punto;
4) raggruppo tutte queste coppie ordinate (teoricamente infinite) in un insieme;
5) dico che l'insieme che ho ottenuto è un criterio (una legge) che permette di associare ad un elemento di $RR$ uno ed un solo elemento di $RR$ (cioè è una funzione);
6) chiamo questa funzione "coseno iperbolico".
Grazie a queste cose (grazie al fatto di aver detto che l'insieme di coppie ordinate che ho ottenuto è un criterio che permette di fare un'associazione) posso dire che l'equazione che soddisfa la curva è $y=cosh(x)$.
Qualora la storia che ho raccontato sul coseno iperbolico dovesse essere esatta, mi rimangono questi dubbi:
1) la curva che io disegno sul piano cartesiano è sempre un disegno fatto dall'uomo (quindi impreciso), mentre la Matematica esige precisione: come si spiegano questi fatti?;
2) è umanamente impossibile trovare le coordinate di ogni singolo punto della curva (visto che sono infiniti).
Grazie per l'aiuto.
Quanto alla nascita della funzione "coseno iperbolico" ($cosh$), qualche giorno fa avevo esposto delle idee qui (terzultimo post). Discutere in maniera dettagliata la nascita del coseno iperbolico è per me fondamentale, non solo per chiarire definitivamente l'importanza del concetto di funzione in Matematica ma anche per risolvere altri dubbi che ho in testa.
Non so se il discorso che ho fatto nel post che ho linkato sia corretto. In breve quello che io ho detto per spiegare l'origine del coseno iperbolico è stato:
1) si osserva che se fisso su una parete verticale i due estremi di una catena pesante, questa assumerà una certa configurazione;
2) prendo un piano cartesiano e disegno la curva corrispondente alla forma assunta dalla catena (curva che è molto simile ad una parabola);
3) descrivo matematicamente tale curva elencando le coordinate di ogni suo punto;
4) raggruppo tutte queste coppie ordinate (teoricamente infinite) in un insieme;
5) dico che l'insieme che ho ottenuto è un criterio (una legge) che permette di associare ad un elemento di $RR$ uno ed un solo elemento di $RR$ (cioè è una funzione);
6) chiamo questa funzione "coseno iperbolico".
Grazie a queste cose (grazie al fatto di aver detto che l'insieme di coppie ordinate che ho ottenuto è un criterio che permette di fare un'associazione) posso dire che l'equazione che soddisfa la curva è $y=cosh(x)$.
Qualora la storia che ho raccontato sul coseno iperbolico dovesse essere esatta, mi rimangono questi dubbi:
1) la curva che io disegno sul piano cartesiano è sempre un disegno fatto dall'uomo (quindi impreciso), mentre la Matematica esige precisione: come si spiegano questi fatti?;
2) è umanamente impossibile trovare le coordinate di ogni singolo punto della curva (visto che sono infiniti).
Grazie per l'aiuto.
No, lisdap.
La Matematica non procede affatto come pensi tu.
La Matematica non procede affatto come pensi tu.
"gugo82":
No, lisdap.
La Matematica non procede affatto come pensi tu.
Fantastico, e allora mi diresti come si è arrivati al coseno iperbolico e cosa c'entra l'esperimento pratico della catena?
Il bramanti dice che si è arrivati alla funzione coseno iperbolico a partire dall'esecuzione dell'esperimento della catena che ho citato (o almeno credo).
lis ti ho mandato un mex privato
Sicuro? A me non compare nulla!
provo a rinviare
"lisdap":
Sulla nascita di queste funzioni avevo un'idea un pò diversa dalla tua, comunque va bene, vedrò di approfondire la questione sulla base degli "input" che mi hai dato.
Mi farebbe piacere leggere la tua idea.
Per quanto riguarda il resto, non cercherò nemmeno di fare un tentativo, dati i precedenti del tutto infruttuosi.
Tuttavia ti rimando (e ti consiglio vivamente di leggere) al classico Boyer, Storia della Matematica, Mondadori; oppure alle Notizie Storiche, sintetiche e preziose, in coda ai capitoli di Giusti, Analisi Matematica I e Analisi Matematica II, Boringhieri (edizioni pre-riforma, cioè stampate prima del 2000).
P.S.: Mi auguro che tu stia usando per Analisi II un libro pre-riforma...
Sto usando il bramanti pagani salsa, consigliato dalla mia professoressa.
Se è una ristampa pubblicata dopo il 2000, riponilo nello scaffale e prendi un'edizione pre-riforma.
Inoltre, attendo di leggere le tue idee in merito alle altre funzioni.
Inoltre, attendo di leggere le tue idee in merito alle altre funzioni.
Quel libro è nato nel 2008.
Comunque, riguardo le altre funzioni, la mia idea era questa (idea che giustificherebbe anche la necessità del concetto di funzione).
Consideriamo un certo fenomeno fisico e decidiamo di descriverlo ricorrendo a due grandezze fisiche. Durante lo svolgimento del fenomeno si verifica che i valori assunti da queste grandezze fisiche variano in continuazione: cioè, queste due grandezze fisiche sono delle variabili.
Qual è il primo passo che si fa per "matematizzare" il fenomeno in questione? Il primo passo consiste nel misurare ad un certo momento il valore della prima grandezza fisica e contemporaneamente quello della seconda; compiendo queste misurazioni a distanza ravvicinata, si ottiene un insieme di coppie ordinate. Tale insieme di tanti "numeri" è il primo passo verso la descrizione in termini matematici del fenomeno fisico. Tuttavia, una simile matematizzazione è molto poco sintetica ed efficiente. Descrivere in termini matematici un fenomeno elencando un numero molto elevato di coppie di valori (assunti dalle grandezze che sono state scelte) è una cosa troppo poco sintetica. Allora uno si potrebbe chiedere: c'è un modo più efficiente per matematizzare il fenomeno in questione? Si, il modo c'è, e consiste in questo: si vede l'insieme di coppie ordinate appena ottenuto come una funzione in $RR$, cioè come una legge che permette di associare ad ogni elemento di un sottoinsieme di $RR$ uno ed un solo elemento di $RR$, e si indica tale funzione con un simbolo, ad esempio $log$. Grazie al concetto di funzione, abbiamo trovato la risposta al nostro problema. Infatti è evidente che quell'insieme di coppie ordinate deve soddisfare l'equazione $y=log(x)$. L'equazione $y=log(x)$ dunque rappresenta il fenomeno fisico in modo molto più efficiente rispetto all'insieme di coppie ordinate, ma per arrivare a questo è stato necessario introdurre il concetto di funzione. Questo discorso, se hai notato, è molto simile a quello sul coseno iperbolico.
Sbaglio?
Comunque, riguardo le altre funzioni, la mia idea era questa (idea che giustificherebbe anche la necessità del concetto di funzione).
Consideriamo un certo fenomeno fisico e decidiamo di descriverlo ricorrendo a due grandezze fisiche. Durante lo svolgimento del fenomeno si verifica che i valori assunti da queste grandezze fisiche variano in continuazione: cioè, queste due grandezze fisiche sono delle variabili.
Qual è il primo passo che si fa per "matematizzare" il fenomeno in questione? Il primo passo consiste nel misurare ad un certo momento il valore della prima grandezza fisica e contemporaneamente quello della seconda; compiendo queste misurazioni a distanza ravvicinata, si ottiene un insieme di coppie ordinate. Tale insieme di tanti "numeri" è il primo passo verso la descrizione in termini matematici del fenomeno fisico. Tuttavia, una simile matematizzazione è molto poco sintetica ed efficiente. Descrivere in termini matematici un fenomeno elencando un numero molto elevato di coppie di valori (assunti dalle grandezze che sono state scelte) è una cosa troppo poco sintetica. Allora uno si potrebbe chiedere: c'è un modo più efficiente per matematizzare il fenomeno in questione? Si, il modo c'è, e consiste in questo: si vede l'insieme di coppie ordinate appena ottenuto come una funzione in $RR$, cioè come una legge che permette di associare ad ogni elemento di un sottoinsieme di $RR$ uno ed un solo elemento di $RR$, e si indica tale funzione con un simbolo, ad esempio $log$. Grazie al concetto di funzione, abbiamo trovato la risposta al nostro problema. Infatti è evidente che quell'insieme di coppie ordinate deve soddisfare l'equazione $y=log(x)$. L'equazione $y=log(x)$ dunque rappresenta il fenomeno fisico in modo molto più efficiente rispetto all'insieme di coppie ordinate, ma per arrivare a questo è stato necessario introdurre il concetto di funzione. Questo discorso, se hai notato, è molto simile a quello sul coseno iperbolico.
Sbaglio?
Ciao Lisdap.
Secondo me, tu mescoli troppo Fisica e Matematica:
pensi sempre ad un approccio alla materia troppo fisico, troppo "pratico" (ed anche abbastanza sempliciotto...). Personalmente, vedo il concetto di funzione come un qualcosa di più astratto di tutto questo, ma allo stesso tempo molto più intuitivo*. Non riesco a capacitarmi del fatto che per te possa essere più semplice pensare in questo modo
E soprattutto: perché ti pare così assurdo che una mattina Napier si sia alzato dal letto ed abbia trovato la fantasia di "inventare" la funzione logaritmo, senza avere una motivazione che avesse a che vedere con grandezze e fenomeni fisici?
(Napier è un esempio, che ho tirato fuori giacché hai parlato di $\log$, ma a quanto pare questo è un ragionamento che fai spesso).
Sforzati di ascoltare Gugo qualche volta**, che ne sa qualcos"ina" di più...
________________________________________
*anzi, direi primitivo. Purtroppo hanno bloccato il tuo topic sulle funzioni, altrimenti avrei detto anch'io la mia.
**soprattutto quando ti dice di riporre nello scaffale il Bramanti Pagani Salsa
Secondo me, tu mescoli troppo Fisica e Matematica:
Qual è il primo passo che si fa per "matematizzare" il fenomeno in questione? Il primo passo consiste nel misurare ad un certo momento il valore della prima grandezza fisica e contemporaneamente quello della seconda; compiendo queste misurazioni a distanza ravvicinata, si ottiene un insieme di coppie ordinate. Tale insieme di tanti "numeri" è il primo passo verso la descrizione in termini matematici del fenomeno fisico.
pensi sempre ad un approccio alla materia troppo fisico, troppo "pratico" (ed anche abbastanza sempliciotto...). Personalmente, vedo il concetto di funzione come un qualcosa di più astratto di tutto questo, ma allo stesso tempo molto più intuitivo*. Non riesco a capacitarmi del fatto che per te possa essere più semplice pensare in questo modo
E soprattutto: perché ti pare così assurdo che una mattina Napier si sia alzato dal letto ed abbia trovato la fantasia di "inventare" la funzione logaritmo, senza avere una motivazione che avesse a che vedere con grandezze e fenomeni fisici?
(Napier è un esempio, che ho tirato fuori giacché hai parlato di $\log$, ma a quanto pare questo è un ragionamento che fai spesso).Sforzati di ascoltare Gugo qualche volta**, che ne sa qualcos"ina" di più...
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*anzi, direi primitivo. Purtroppo hanno bloccato il tuo topic sulle funzioni, altrimenti avrei detto anch'io la mia.
**soprattutto quando ti dice di riporre nello scaffale il Bramanti Pagani Salsa
Plepp, gugo stesso ha detto che la matematica nasce sempre da esigenze pratiche. Quindi non posso credere al fatto che Napier un giorno si è alzato e ha "fondato" il logaritmo.
Napier, te l'ho detto, era un esempio: quel che voglio dire è che per me non sarebbe stata affatto strana una cosa del genere. E comunque, "pratiche" è una cosa, "fisiche" è un'altra: a quanto ne so, il logaritmo è nato per "semplificare i conti". Tu, invece, cerchi di ricondurre l'origine di ogni oggetto matematico alla Fisica! 
Il discorso che ho fatto qui non vuole essere generale, cioè applicabile ad ogni funzione. Come giustamente affermi, ci sono alcune funzioni che sono nate per motivi non fisici, ma comunque pratici, come il logaritmo ad esempio. Tuttavia è anche lecito affermare che ci sono funzioni la cui origine è da ricondurre alla Fisica. Bene, io volevo capire il meccanismo attraverso il quale sono nate questo tipo di funzioni (cioè quelle che sono nate per motivi legati alla Fisica). Ho fatto un ipotesi circa la natura di questo meccanismo, e attendo pareri più esperti per sapere se sia corretta o meno.
Quello che descrivi è uno dei modi in cui, sperimentalmente, si associa una determinata funzione (già esistente) all'andamento di certi dati.
Quello che devi capire è che le modalità di "creazione" delle funzioni sono state e sono differenti, non c'è una genesi comune... Insomma, non è come gli uomini, che nascono tutti alla stessa maniera.
Le operazioni elementari, vabbé, sono nate davvero da esigenze pratiche (tipo quelle del contadino nei problemi delle elementari).
Ma le altre funzioni hanno storie davvero disparate.
In particolare, uno non definisce il coseno iperbolico come la forma che assume una corda appesa, ma lo fa in altro modo.
Poi ci si accorge, dopo dovuti esperimenti e calcoli, che tale funzione è quella giusta per descrivere un dato fenomeno.
Ti rimando a Bradley, D'Antonio & Sandifer, Euler at 300: an Appreciation, cap. 7, pp. 85 - 104.
Poi, non parliamo delle funzioni speciali...
Si ritorna ad una vecchia questione, cui già avevo accennato in passato: cioè un certo fondamentalismo, una certa voglia di uniformare tutto, che ritrovo in alcuni utenti del forum e che non mi piace affatto (in quanto suppone una profonda ignoranza o un'interpretazione dogmatica della Storia della Matematica).
Come detto, il rimedio migliore non è tanto leggersi libri di Algebra; piuttosto, va' a comprare il Boyer o a fare fotocopie dai testi del Giusti, e leggi.
Quello che devi capire è che le modalità di "creazione" delle funzioni sono state e sono differenti, non c'è una genesi comune... Insomma, non è come gli uomini, che nascono tutti alla stessa maniera.
Le operazioni elementari, vabbé, sono nate davvero da esigenze pratiche (tipo quelle del contadino nei problemi delle elementari).
Ma le altre funzioni hanno storie davvero disparate.
In particolare, uno non definisce il coseno iperbolico come la forma che assume una corda appesa, ma lo fa in altro modo.
Poi ci si accorge, dopo dovuti esperimenti e calcoli, che tale funzione è quella giusta per descrivere un dato fenomeno.
Ti rimando a Bradley, D'Antonio & Sandifer, Euler at 300: an Appreciation, cap. 7, pp. 85 - 104.
Poi, non parliamo delle funzioni speciali...
Si ritorna ad una vecchia questione, cui già avevo accennato in passato: cioè un certo fondamentalismo, una certa voglia di uniformare tutto, che ritrovo in alcuni utenti del forum e che non mi piace affatto (in quanto suppone una profonda ignoranza o un'interpretazione dogmatica della Storia della Matematica).
Come detto, il rimedio migliore non è tanto leggersi libri di Algebra; piuttosto, va' a comprare il Boyer o a fare fotocopie dai testi del Giusti, e leggi.
"gugo82":
Quello che devi capire è che le modalità di "creazione" delle funzioni sono state e sono differenti, non c'è una genesi comune... Insomma, non è come gli uomini, che nascono tutti alla stessa maniera.
Le operazioni elementari, vabbé, sono nate davvero da esigenze pratiche (tipo quelle del contadino nei problemi delle elementari).
Ma le altre funzioni hanno storie davvero disparate.
In particolare, uno non definisce il coseno iperbolico come la forma che assume una corda appesa, ma lo fa in altro modo.
Poi ci si accorge, dopo dovuti esperimenti e calcoli, che tale funzione è quella giusta per descrivere un dato fenomeno.
Ti rimando a Bradley, D'Antonio & Sandifer, Euler at 300: an Appreciation, cap. 7, pp. 85 - 104.
Poi, non parliamo delle funzioni speciali...
Si, capisco perfettamente. Mi procurerò questo libro al più presto. Grazie davvero
"gugo82":
Come detto, il rimedio migliore non è tanto leggersi libri di Algebra; piuttosto, va' a comprare il Boyer o a fare fotocopie dai testi del Giusti, e leggi.
D'accordo, prometto che farò come mi hai detto
Sei d'accordo comunque sul fatto che il concetto di funzione (di una variabile) si è reso necessario per poter scrivere l'equazione che regola il fenomeno fisico?
Thanks!
Thanks!
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