"Scambio" sommatoria/integrale
Salve, sto per porre una domanda ahimé imprecisa
Non sono riuscito a recuperare il file dove l'ho visto, ma da una foto leggo
Secondo voi, da dove nasce quest'uguaglianza?
Inoltre, mi ricorda molto l'uguaglianza ricavata qui da @anto_zoolander
viewtopic.php?f=36&t=199071
Grazie in anticipo
Non sono riuscito a recuperare il file dove l'ho visto, ma da una foto leggo
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x}{1+n^{2}x^{2}} = \int_{1}^{+\infty} \frac{x}{1+[y]^{2}x^{2}}dy
\]
Secondo voi, da dove nasce quest'uguaglianza?
Inoltre, mi ricorda molto l'uguaglianza ricavata qui da @anto_zoolander
viewtopic.php?f=36&t=199071
Grazie in anticipo
Risposte
Le parentesi \([\cdot ]\) denotano parte intera.
Disegna il diagramma del grafico di $f_x(y) := x/(1+x^2 [y]^2)$ (per fissato $x in RR$) e constata che la somma parziale $N$-esima della serie uguaglia l'integrale di $f_x(y)$ su $[1,N+1]$.
Disegna il diagramma del grafico di $f_x(y) := x/(1+x^2 [y]^2)$ (per fissato $x in RR$) e constata che la somma parziale $N$-esima della serie uguaglia l'integrale di $f_x(y)$ su $[1,N+1]$.
In pratica l'uguaglianza discende dal "criterio integrale" (http://www-dimat.unipv.it/fornaro/docs/crit_confr_serie_int.pdf) delle serie, giusto?
Il grafico $f_{x}(y):=\frac{x}{1+x^{2}[y]^{2}}$ è una funzione a tratti. Se $n< y< n+1$ risulta
\[
f_{x}(n) \le \int_{n}^{n+1} f_{x}(y)dy \le f_{x}(n+1)
\]
Sommando, dovrei ottenere per ogni $N\ge 1$
\[
\sum_{n=1}^{N} f_{x}(n)\le \int_{1}^{N}f_{x}(y)dy\le \sum_{n=1}^{N}f_{x}(n+1)
\]
Se mando $N\to +\infty$ ottengo la mia uguaglianza
Il grafico $f_{x}(y):=\frac{x}{1+x^{2}[y]^{2}}$ è una funzione a tratti. Se $n< y< n+1$ risulta
\[
f_{x}(n) \le \int_{n}^{n+1} f_{x}(y)dy \le f_{x}(n+1)
\]
Sommando, dovrei ottenere per ogni $N\ge 1$
\[
\sum_{n=1}^{N} f_{x}(n)\le \int_{1}^{N}f_{x}(y)dy\le \sum_{n=1}^{N}f_{x}(n+1)
\]
Se mando $N\to +\infty$ ottengo la mia uguaglianza
Il criterio non c'entra. Quella roba lì viene fuori proprio dall'uguaglianza:
\[
\sum_{n=1}^N \frac{x}{1+n^2x^2} = \int_1^{N+1} \frac{x}{1+x^2[y]^2}\ \text{d} y\; ,
\]
che vale per tutti gli $N$, e dal fatto che la serie converge.
\[
\sum_{n=1}^N \frac{x}{1+n^2x^2} = \int_1^{N+1} \frac{x}{1+x^2[y]^2}\ \text{d} y\; ,
\]
che vale per tutti gli $N$, e dal fatto che la serie converge.
Ho capito. Quando citavo il criterio integrale, tiravo in ballo la disuguaglianza
\[
\sum_{n=1}^{N} a_{n+1}\le\int_{1}^{N}f(x)dx \le \sum_{n=1}^{N} a_{n}
\]
dove $a_{n}$ è una successione decrescente infinitesima e $f:[1,+\infty)\to \mathbb{R}$ $(a_{n})_{n}=(f(n))_{n}$.
Se quello che ho scritto nel precedente messaggio è corretto, ho ripercorso questa dimostrazione. E' sbagliato quello che dico? Grazie per la disponibilità
\[
\sum_{n=1}^{N} a_{n+1}\le\int_{1}^{N}f(x)dx \le \sum_{n=1}^{N} a_{n}
\]
dove $a_{n}$ è una successione decrescente infinitesima e $f:[1,+\infty)\to \mathbb{R}$ $(a_{n})_{n}=(f(n))_{n}$.
Se quello che ho scritto nel precedente messaggio è corretto, ho ripercorso questa dimostrazione. E' sbagliato quello che dico? Grazie per la disponibilità
Il passaggio al limite nelle due disuguaglianze non ti fornisce uguaglianza, semplicemente perché in una delle due serie manca un'addendo non nullo di quella originaria.
Hai ragione. Quindi è possibile generalizzare quell'uguaglianza? Per dire, vale
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} xe^{-n^{2}x^{2}}=\int_{1}^{+\infty} xe^{-x^{2}[y]^{2}}dy
\]
Ps: se vero, trovo queste uguaglianze molto utili. Ad esempio, ho usato questo fatto per far vedere che $F(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} xe^{-n^{2}x^{2}}$ non è continua per $x=0$
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} xe^{-n^{2}x^{2}}=\int_{1}^{+\infty} xe^{-x^{2}[y]^{2}}dy
\]
Ps: se vero, trovo queste uguaglianze molto utili. Ad esempio, ho usato questo fatto per far vedere che $F(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} xe^{-n^{2}x^{2}}$ non è continua per $x=0$
Beh, per ogni funzione $f$ costante a tratti hai un uguaglianza di quel tipo lì quando consideri estremi di integrazione (finiti) che intercettano interamente tratti in cui $f$ è costante: infatti, in tali casi, l'integrale definito è una somma.
Poi, il problema è vedere sotto quali ipotesi e con quele tipo di intergale quelle uguaglianze passano impunemente al limite.
Poi, il problema è vedere sotto quali ipotesi e con quele tipo di intergale quelle uguaglianze passano impunemente al limite.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo