"Iniettività Vs. Biettività"
Ciao a tutti avrei bisogno di capire a "FONDO" il concetto di invertibilità perchè FORSE qualcosa mi sfugge.
Ora, dati due insiemi $X$ e $Y$ una funzione $f\ :\ X\ \rightarrow\ Y$ è una legge che associa a ogni elemento $x\in X$ AL PIU' un elemento $y\in Y$; l'insieme degli elementi che possono essere trasformati è detto dominio della funzione $dom\ f$, mentre l'insieme dei trasformati è detto immagine della funzione $Im\ f$, e quindi si può scrivere in modo piu preciso $f\ :\ dom\ f\ \rightarrow\ Im\ f$.
Se per ogni coppia di elementi $x_{1}, x_{2}\in dom\ f$ (con $x_{1}\ne x_{2}$) si ha che $f(x_{1})\ne f(x_{2})$, $f$ è detta iniettiva, se $Im\ f=Y$, $f$ è detta suriettiva, se $f$ è contemporaneamente iniettiva e suriettiva allora è detta biiettiva.
Ora date le definizioni mi sembra chiaro che l'iniettività è condizione necessaria affinchè $f$ sia invertibile. Perchè su molti libri di testo che ho spulciato (specialmente algebra lineare) viene richiesto che $f$ sia biiettiva per essere invertibile???
Ora, dati due insiemi $X$ e $Y$ una funzione $f\ :\ X\ \rightarrow\ Y$ è una legge che associa a ogni elemento $x\in X$ AL PIU' un elemento $y\in Y$; l'insieme degli elementi che possono essere trasformati è detto dominio della funzione $dom\ f$, mentre l'insieme dei trasformati è detto immagine della funzione $Im\ f$, e quindi si può scrivere in modo piu preciso $f\ :\ dom\ f\ \rightarrow\ Im\ f$.
Se per ogni coppia di elementi $x_{1}, x_{2}\in dom\ f$ (con $x_{1}\ne x_{2}$) si ha che $f(x_{1})\ne f(x_{2})$, $f$ è detta iniettiva, se $Im\ f=Y$, $f$ è detta suriettiva, se $f$ è contemporaneamente iniettiva e suriettiva allora è detta biiettiva.
Ora date le definizioni mi sembra chiaro che l'iniettività è condizione necessaria affinchè $f$ sia invertibile. Perchè su molti libri di testo che ho spulciato (specialmente algebra lineare) viene richiesto che $f$ sia biiettiva per essere invertibile???
Risposte
Perché se non fosse suriettiva esisterebbe qualche elemento di $Y$ che non é "coinvolto" nella trasformazione, requisito necessario perché l'inversa sia una funzione ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
da cosa partiamo?
da una funzione $f:X->Y$ tale che se ho $x$ trovo $y$
dove vogliamo arrivare?
ad una funzione $f^(-1):Y->X$ tale che se ho $y$(immagine di $x$), trovo $x$.
qual è il problema? che questa inversione di marcia deve essere sempre una funzione
quindi dovrà valere: $forally inYexists!x inX:f^(-1)(y)=x$
ad esempio..
se ho $f:X->Y$ tale che se ho l'angolo $x$, il suo seno sarà $y=sinx$
ed io voglio $f^(-1):Y->X$ tale che se ho il seno dell'angolo $x$, voglio l'angolo $x$
il problema che sussiste è che la funzione $f^(-1)$ inversa di $f$ deve essere sempre una funzione..
Al momento non ho abbastanza tempo per qualcosa di più approfondito
da una funzione $f:X->Y$ tale che se ho $x$ trovo $y$
dove vogliamo arrivare?
ad una funzione $f^(-1):Y->X$ tale che se ho $y$(immagine di $x$), trovo $x$.
qual è il problema? che questa inversione di marcia deve essere sempre una funzione
quindi dovrà valere: $forally inYexists!x inX:f^(-1)(y)=x$
ad esempio..
se ho $f:X->Y$ tale che se ho l'angolo $x$, il suo seno sarà $y=sinx$
ed io voglio $f^(-1):Y->X$ tale che se ho il seno dell'angolo $x$, voglio l'angolo $x$
il problema che sussiste è che la funzione $f^(-1)$ inversa di $f$ deve essere sempre una funzione..
Al momento non ho abbastanza tempo per qualcosa di più approfondito
"Karima":
Ora, dati due insiemi $X$ e $Y$ una funzione $f\ :\ X\ \rightarrow\ Y$ è una legge che associa a ogni elemento $x\in X$ AL PIU' un elemento $y\in Y$; l'insieme degli elementi che possono essere trasformati è detto dominio della funzione $dom\ f$, mentre l'insieme dei trasformati è detto immagine della funzione $Im\ f$, e quindi si può scrivere in modo piu preciso $f\ :\ dom\ f\ \rightarrow\ Im\ f$.
Tanto per iniziare, posso chiedere la fonte di questa "definizione"?
"axpgn":
Perché se non fosse suriettiva esisterebbe qualche elemento di $ Y $ che non é "coinvolto" nella trasformazione, requisito necessario perché l'inversa sia una funzione ...
Cordialmente, Alex
Non capisco.. saresti in grado di trovare una funzione iniettiva che non sia invertibile???
"G.D.":
[quote="Karima"]
Ora, dati due insiemi $X$ e $Y$ una funzione $f\ :\ X\ \rightarrow\ Y$ è una legge che associa a ogni elemento $x\in X$ AL PIU' un elemento $y\in Y$; l'insieme degli elementi che possono essere trasformati è detto dominio della funzione $dom\ f$, mentre l'insieme dei trasformati è detto immagine della funzione $Im\ f$, e quindi si può scrivere in modo piu preciso $f\ :\ dom\ f\ \rightarrow\ Im\ f$.
Tanto per iniziare, posso chiedere la fonte di questa "definizione"?[/quote]
Il primo pezzettino (def. funzione) analisi I Canuto-Tabacco, l'altra parte l'ho scritta io "alla veloce"
Nemmeno per far scomodare axpgn
$f: RR -> RR$ definita come $f: x |-> e^x$
È iniettiva, ma non invertibile
$f:RR^+ ->RR$ definita come $f: x |-> x^2$
La stessa cosa.
iniettività condizione necessaria per la invertibilità
suriettività condizione necessaria per la invertibilità
biiettività condizione N&S per la invertibilità
$f: RR -> RR$ definita come $f: x |-> e^x$
È iniettiva, ma non invertibile
$f:RR^+ ->RR$ definita come $f: x |-> x^2$
La stessa cosa.
iniettività condizione necessaria per la invertibilità
suriettività condizione necessaria per la invertibilità
biiettività condizione N&S per la invertibilità
"anto_zoolander":
Nemmeno per far scomodare axpgn
$f: RR -> RR$ definita come $f: x |-> e^x$
È iniettiva, ma non invertibile
$f:RR^+ ->RR$ definita come $f: x |-> x^2$
La stessa cosa.
iniettività condizione necessaria per la invertibilità
suriettività condizione necessaria per la invertibilità
biiettività condizione N&S per la invertibilità
Scusate io ancora non ci arrivo..
Se io ho due insiemi $X=\{1,2,3,4\}$ e $Y=\{a,b,c,d\}$ e i primi tre elementi del primo sono associati rispettivamente con i primi tre del secondo, allora dovrei dire che questa funzione non è invertibile???
Anche se non è suriettiva io posso sempre associare "al contrario" i diversi elementi e come nella funzione di "andata" c'è l'elemento $4$ che non è definito, cosi' al ritorno ho l'elemento $d$ che non è definito, e dov'è il problema? sempre una funzione sono riuscita a costruire a prescindere dalla suriettività.
Cosa non torna in questo ragionamento???
"Karima":
Scusate io ancora non ci arrivo..
Se io ho due insiemi $X=\{1,2,3,4\}$ e $Y=\{a,b,c,d\}$ e i primi tre elementi del primo sono associati rispettivamente con i primi tre del secondo, allora dovrei dire che questa funzione non è invertibile???
Anche se non è suriettiva io posso sempre associare "al contrario" i diversi elementi e come nella funzione di "andata" c'è l'elemento $4$ che non è definito, cosi' al ritorno ho l'elemento $d$ che non è definito, e dov'è il problema? sempre una funzione sono riuscita a costruire a prescindere dalla suriettività.
Cosa non torna in questo ragionamento???
Nulla.
Infatti l'errore non sta nel tuo modo di ragionare ma nella definizione di funzione che ti è stata data.
Mi potresti scrivere quella corretta cosi posso confrontarle e cercare l'errore???
Prima di rispondere mi serve qualche altra informazione poiché qui il problema non sta nella tua testa ma nella letteratura che stai usando per preparare gli esami.
Come testo di riferimento per Analisi Matematica stai usando il Canuto-Tabacco per tua scelta o perché ti è stato suggerito dal tuo decente? Sei per caso uno studente di uno dei due autori del testo in questione?
Per Algebra e per Geometria che testo stai usando?
Come testo di riferimento per Analisi Matematica stai usando il Canuto-Tabacco per tua scelta o perché ti è stato suggerito dal tuo decente? Sei per caso uno studente di uno dei due autori del testo in questione?
Per Algebra e per Geometria che testo stai usando?
Io ho già sostenuto l'esame di analisi I: avevo già seguito un corso con Paolo Boieri (poli. torino) e lui suggeriva questo, poi per motivi dovuti alle difficoltà di viaggio ho cambiato università e il mio nuovo docente suggeriva mi sembra un testo dell'apogeo.
Ho anche già sostenuto l'esame di algebra lineare usando principalmente BiancaZucchetti-MarisaGrieco e Aristide Sanini.
Questo mio problema è saltato fuori adesso che sto studiando analisi II, formalizzando il concetto di cambiamento di variabili che richiede appunto che il campo tra le regioni sia biunivoco.
Invece io pensavo fosse sufficiente per l'invertibilità l'iniettività dello stesso.
Il testo base che sto seguendo perchè mi sono trovata bene è ancora Canuto-Tabacco. Comunque come per tutti gli esami non uso mai un solo testo, ma scarico pdf, leggo wiki, vedo altri testi etc etc...
ma in questo caso non "riesco a vedere" dove mi sono incartata..
Ho anche già sostenuto l'esame di algebra lineare usando principalmente BiancaZucchetti-MarisaGrieco e Aristide Sanini.
Questo mio problema è saltato fuori adesso che sto studiando analisi II, formalizzando il concetto di cambiamento di variabili che richiede appunto che il campo tra le regioni sia biunivoco.
Invece io pensavo fosse sufficiente per l'invertibilità l'iniettività dello stesso.
Il testo base che sto seguendo perchè mi sono trovata bene è ancora Canuto-Tabacco. Comunque come per tutti gli esami non uso mai un solo testo, ma scarico pdf, leggo wiki, vedo altri testi etc etc...
ma in questo caso non "riesco a vedere" dove mi sono incartata..
Ha ragione G.D. il problema di fondo è il concetto di funzione che ti è stato introdotto.
Questa è la definizione 'matematica' di funzione. Che in parole povere di traduce in
"per ogni elemento $x$ dell'insieme $X$ esiste l'unico elemento $y$ dell'insieme $Y$ tale che $y$ è funzione di $x$"
Riprendendo l'esempio che hai scritto:
$X={1,2,3,4}, Y={a,b,c,d}$
dalla definizione sappiamo che TUTTI gli elementi dell'insieme $X$ devono essere usati.
Quindi se definisci solo 3 elementi dell'insieme $X$ su 4, di fatto non hai definito una funzione.
Ora definiamo tutti e 4 gli elementi:
$f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c, f(4)=a$
di fatto la funzione non è suriettiva(se per questo nemmeno iniettiva), perché l'elemento $d$ non è immagine di nulla.
Perché la suriettivitá è importante? Perché quando 'vai al contrario, tutti gli elementi dell'insieme $Y$ devono poter essere usati, per definizione di funzione.
$forallx inXexists!y inY: f(x)=y$
Questa è la definizione 'matematica' di funzione. Che in parole povere di traduce in
"per ogni elemento $x$ dell'insieme $X$ esiste l'unico elemento $y$ dell'insieme $Y$ tale che $y$ è funzione di $x$"
Riprendendo l'esempio che hai scritto:
$X={1,2,3,4}, Y={a,b,c,d}$
dalla definizione sappiamo che TUTTI gli elementi dell'insieme $X$ devono essere usati.
Quindi se definisci solo 3 elementi dell'insieme $X$ su 4, di fatto non hai definito una funzione.
Ora definiamo tutti e 4 gli elementi:
$f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c, f(4)=a$
di fatto la funzione non è suriettiva(se per questo nemmeno iniettiva), perché l'elemento $d$ non è immagine di nulla.
Perché la suriettivitá è importante? Perché quando 'vai al contrario, tutti gli elementi dell'insieme $Y$ devono poter essere usati, per definizione di funzione.
Ah dimenticavo, non sono stata allieva degli autori in questione.
Allora secondo questo ragionamento l'applicazione $f\ :\ RR\ \rightarrow\ \RR$ definita come $f(x)=\frac{1}{x}$ non è un funzione, perchè non posso associare all'elemento $x=0$ alcun elemento $y$?
Sì, non lo è.
Allora per poter dire che una applicazione $f\ :\ X\ \rightarrow\ Y$ è una funzione devo aggiungere la condizione $\ dom\ f=X$ ?
Per me no perché è implicito nella definizione di funzione ... una volta almeno era così ... 
Allora: anto_zoolander ha capito dove volevo arrivare a parare.
Ciò che generato in te confusione è il modo all'apparenza strano del Canuto-Tabacco di affrontare l'argomento funzioni. E dico all'apparenza perché non sarei così drastico com'è stato anto_zoolander nel fornire la definizione "giusta" di funzione: è vero che la definizione abituale di funzione è quella che ha fornito lui ma è anche vero che si può approcciare all'argomento anche in altro modo (utile per altro in svariati ambiti). L'errore di fondo è dunque in vero un errore di coerenza.
Partiamo da qui.
Di solito (come ricordava anto_zoolander) la definizione di funzione che si fornisce è la seguente: dati due insiemi \( S \) e \( T \) non vuoti, una funzione di \( S \) in \( T \) è una regola/legge che associa ad ogni \( x \in S \) uno ed un solo \( y \in T \).
È bene notare che questa definizione in realtà non è una definizione poiché di fatto il concetto di regola/legge non è stato a sua volta definito ed infatti coloro che affrontano il corso di laurea in Matematica incontrano (o per lo meno dovrebbero incontrare) una definizione corretta di funzione:
1. dati due insiemi \( S \) e \( T \) non vuoti, si dice corrispondenza o relazione tra \( S \) e \( T \) ogni coppia ordinata \( \left ( S \times T, G \right ) \) dove \( G \subseteq S \times T \) si dice grafico della corrispondenza: dati \( x \in S \) e \( y \in T \), se \( (x;y) \in G \) si dice che \( x \) è in corrispondenza con \( y \) e se \( f \) è il nome della corrispondenza si scrive \( x f y \);
2. dati due insiemi \( S \) e \( T \) non vuoti, si dice applicazione o funzione di \( S \) in \( T \) ogni corrispondenza tra \( S \) e \( T \) il cui grafico \( G \) verifichi la condizione \( \forall x \in S, \exists ! y \in T : (x;y) \in G \), dove tale condizione traduce il modo rigoroso (anche se stringato: volendo essere pignoli, da un punto di vista Logico si commettono un bel po' di abusi di notazione ma in questa sede si può soprassedere) il fatto che ad ogni elemento di \( S \) debba essere associato uno ed un solo elemento di \( T \): a questo punto, se \( f \) è il nome dell'applicazione, si scrive \( f \colon S \to T \) e se \( y \in T \) è il corrispondente di \( x \) secondo \( f \) si scrive \( y = f(x) \) in luogo di \( x f y \).
In ogni caso, al netto di quanto "rigorosamente" si fornisca la definizione di funzione, questa definizione è quella seguita dalla maggior parte dei testi.
Il Canuto-Tabacco segue invece un approccio diverso. Cito testualmente a beneficio di chi non può consultare il testo in questione.
A pag. 32 si dice che:
La differenza tra questa definizione e quella utilizzata di solito non è che un'applicazione \( f \colon X \to Y \) per essere una funzione deve essere tale per cui \( \text{dom} f = X \) (infatti i termini applicazione e funzione sono sinonimi, di cui, di solito, il primo è usato dagli algebristi per riferirsi alle applicazioni in generale e il secondo è usato di solito dagli analisti); la differenza è che quella che il Canuto-Tabacco definisce come funzione in \( X \) è, secondo la definizione comune, null'altro che una corrispondenza univoca e quella che il Canuto-Tabacco definisce come funzione su \( X \) è, secondo la definizione comune, per l'appunto un'applicazione o funzione.
È ovvio che, secondo l'approccio del Canuto-Tabacco, l'unica condizione determinante per l'invertibilità è l'iniettività della funzione: anzi, di più, i due concetti si sovrappongono. Difatti a pag. 41 si dice:
L'approccio del Canuto-Tabacco non è tuttavia del tutto folle. E qui vengo alla tassatività con cui anto_zoolander ha bocciato la definizione della discordia.
Dati due insiemi \( S \) e \( T \) non vuoti, si definisce il concetto di corrispondenza così come sopra. A questo punto, data una corrispondenza \( f \), si dice dominio della corrispondenza e si indica con \( \text{dom} f \) la parte di \( S \) costituita da quegli elementi \( x \) di \( S \) che hanno almeno un corrispondente in \( T \) secondo \( f \). Data una corrispondenza \( f \), se questa verifica la condizione \( \forall x \in \text{dom}f, \forall y \in T, \forall z \in T, (x;y) \in G \land (x;z) \in G \implies y = z \) (questa condizione rende in modo formale il seguente fatto: gli elementi \( x \in \text{dom}f \) hanno un unico corrispondente) allora la corrispondenza si dice funzionale. Data una corrispondenza funzionale, se \( \text{dom} f \neq S \), allora la corrispondenza si dice una funzione parziale; se \( \text{dom} f = S \) allora la corrispondenza si dice una funzione totale.
La funzione parziale è quella che il Canuto-Tabacco chiama funzione in mentre la funzione totale è quella che il Canuto-Tabacco chiama funzione su.
Questo approccio non è del tutto insolito: in molte situazione esso è utile. Inoltre si può avere un approccio simile anche sul codominio che porta alla distinzione tra le funzioni univoche e quelle multivoche o plidorme o multivalore: un esempio importantissimo di funzione multivalore è il logaritmo in \( \mathbb{C} \).
Consiglio la lettura di questo thread e di quest'altro.
Ma come detto la maggior parte dei testi usa la definizione di funzione come da me data sopra o come da anto_zoolander data prima, da cui l'incoerenza con quanto tu sapevi dal Canuto-Tabacco.
Ciò che generato in te confusione è il modo all'apparenza strano del Canuto-Tabacco di affrontare l'argomento funzioni. E dico all'apparenza perché non sarei così drastico com'è stato anto_zoolander nel fornire la definizione "giusta" di funzione: è vero che la definizione abituale di funzione è quella che ha fornito lui ma è anche vero che si può approcciare all'argomento anche in altro modo (utile per altro in svariati ambiti). L'errore di fondo è dunque in vero un errore di coerenza.
Partiamo da qui.
Di solito (come ricordava anto_zoolander) la definizione di funzione che si fornisce è la seguente: dati due insiemi \( S \) e \( T \) non vuoti, una funzione di \( S \) in \( T \) è una regola/legge che associa ad ogni \( x \in S \) uno ed un solo \( y \in T \).
È bene notare che questa definizione in realtà non è una definizione poiché di fatto il concetto di regola/legge non è stato a sua volta definito ed infatti coloro che affrontano il corso di laurea in Matematica incontrano (o per lo meno dovrebbero incontrare) una definizione corretta di funzione:
1. dati due insiemi \( S \) e \( T \) non vuoti, si dice corrispondenza o relazione tra \( S \) e \( T \) ogni coppia ordinata \( \left ( S \times T, G \right ) \) dove \( G \subseteq S \times T \) si dice grafico della corrispondenza: dati \( x \in S \) e \( y \in T \), se \( (x;y) \in G \) si dice che \( x \) è in corrispondenza con \( y \) e se \( f \) è il nome della corrispondenza si scrive \( x f y \);
2. dati due insiemi \( S \) e \( T \) non vuoti, si dice applicazione o funzione di \( S \) in \( T \) ogni corrispondenza tra \( S \) e \( T \) il cui grafico \( G \) verifichi la condizione \( \forall x \in S, \exists ! y \in T : (x;y) \in G \), dove tale condizione traduce il modo rigoroso (anche se stringato: volendo essere pignoli, da un punto di vista Logico si commettono un bel po' di abusi di notazione ma in questa sede si può soprassedere) il fatto che ad ogni elemento di \( S \) debba essere associato uno ed un solo elemento di \( T \): a questo punto, se \( f \) è il nome dell'applicazione, si scrive \( f \colon S \to T \) e se \( y \in T \) è il corrispondente di \( x \) secondo \( f \) si scrive \( y = f(x) \) in luogo di \( x f y \).
In ogni caso, al netto di quanto "rigorosamente" si fornisca la definizione di funzione, questa definizione è quella seguita dalla maggior parte dei testi.
Il Canuto-Tabacco segue invece un approccio diverso. Cito testualmente a beneficio di chi non può consultare il testo in questione.
A pag. 32 si dice che:
"Canuto-Tabacco":
Siano \( X \) e \( Y \) due insiemi. Una funzione \( f \) definita in \( X \) a valori in \( Y \) è una corrispondenza che associa ad ogni elemento \( x \in X \) al più un elemento \( y \in Y \). L'insieme degli \( x \in X \) a cui \( f \) associa un elemento di \( Y \) forma il dominio di \( f \); esso è dunque un sottoinsieme di \( X \), che indicheremo con \( \text{dom} f \). Scriveremo quindi \( f \colon \text{dom} f \subseteq X \to Y \). Se \( \text{dom} f = X \), diremo che \( f \) è definita su \( X \) e scriveremo più semplicemente \( f \colon X \to Y \). L'elemento \( y \in Y \) associato ad un elemento \( x \in \text{dom} f \) si dice l'immagine di \( x \) attraverso \( f \) e si indica con \( y = f(x) \). Talvolta si scrive \( f \colon x \mapsto f(x) \). L'insieme degli elementi \( y \) di tipo \( y = f (x) \) forma l'immagine di \( f \); esso è dunque
un sottoinsieme di \( Y \) che indicheremo con \( \text{im} f \).
La differenza tra questa definizione e quella utilizzata di solito non è che un'applicazione \( f \colon X \to Y \) per essere una funzione deve essere tale per cui \( \text{dom} f = X \) (infatti i termini applicazione e funzione sono sinonimi, di cui, di solito, il primo è usato dagli algebristi per riferirsi alle applicazioni in generale e il secondo è usato di solito dagli analisti); la differenza è che quella che il Canuto-Tabacco definisce come funzione in \( X \) è, secondo la definizione comune, null'altro che una corrispondenza univoca e quella che il Canuto-Tabacco definisce come funzione su \( X \) è, secondo la definizione comune, per l'appunto un'applicazione o funzione.
È ovvio che, secondo l'approccio del Canuto-Tabacco, l'unica condizione determinante per l'invertibilità è l'iniettività della funzione: anzi, di più, i due concetti si sovrappongono. Difatti a pag. 41 si dice:
"Canuto-Tabacco":
Una funzione iniettiva è dunque invertibile; i due concetti (iniettività e invertibilità) coincidono.
L'approccio del Canuto-Tabacco non è tuttavia del tutto folle. E qui vengo alla tassatività con cui anto_zoolander ha bocciato la definizione della discordia.
Dati due insiemi \( S \) e \( T \) non vuoti, si definisce il concetto di corrispondenza così come sopra. A questo punto, data una corrispondenza \( f \), si dice dominio della corrispondenza e si indica con \( \text{dom} f \) la parte di \( S \) costituita da quegli elementi \( x \) di \( S \) che hanno almeno un corrispondente in \( T \) secondo \( f \). Data una corrispondenza \( f \), se questa verifica la condizione \( \forall x \in \text{dom}f, \forall y \in T, \forall z \in T, (x;y) \in G \land (x;z) \in G \implies y = z \) (questa condizione rende in modo formale il seguente fatto: gli elementi \( x \in \text{dom}f \) hanno un unico corrispondente) allora la corrispondenza si dice funzionale. Data una corrispondenza funzionale, se \( \text{dom} f \neq S \), allora la corrispondenza si dice una funzione parziale; se \( \text{dom} f = S \) allora la corrispondenza si dice una funzione totale.
La funzione parziale è quella che il Canuto-Tabacco chiama funzione in mentre la funzione totale è quella che il Canuto-Tabacco chiama funzione su.
Questo approccio non è del tutto insolito: in molte situazione esso è utile. Inoltre si può avere un approccio simile anche sul codominio che porta alla distinzione tra le funzioni univoche e quelle multivoche o plidorme o multivalore: un esempio importantissimo di funzione multivalore è il logaritmo in \( \mathbb{C} \).
Consiglio la lettura di questo thread e di quest'altro.
Ma come detto la maggior parte dei testi usa la definizione di funzione come da me data sopra o come da anto_zoolander data prima, da cui l'incoerenza con quanto tu sapevi dal Canuto-Tabacco.
Grazie a tutti voi axpgn, anto_zoolander, e sopratutto G.D e Fioravante Patrone!!!
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