"Iniettività Vs. Biettività"
Ciao a tutti avrei bisogno di capire a "FONDO" il concetto di invertibilità perchè FORSE qualcosa mi sfugge.
Ora, dati due insiemi $X$ e $Y$ una funzione $f\ :\ X\ \rightarrow\ Y$ è una legge che associa a ogni elemento $x\in X$ AL PIU' un elemento $y\in Y$; l'insieme degli elementi che possono essere trasformati è detto dominio della funzione $dom\ f$, mentre l'insieme dei trasformati è detto immagine della funzione $Im\ f$, e quindi si può scrivere in modo piu preciso $f\ :\ dom\ f\ \rightarrow\ Im\ f$.
Se per ogni coppia di elementi $x_{1}, x_{2}\in dom\ f$ (con $x_{1}\ne x_{2}$) si ha che $f(x_{1})\ne f(x_{2})$, $f$ è detta iniettiva, se $Im\ f=Y$, $f$ è detta suriettiva, se $f$ è contemporaneamente iniettiva e suriettiva allora è detta biiettiva.
Ora date le definizioni mi sembra chiaro che l'iniettività è condizione necessaria affinchè $f$ sia invertibile. Perchè su molti libri di testo che ho spulciato (specialmente algebra lineare) viene richiesto che $f$ sia biiettiva per essere invertibile???
Ora, dati due insiemi $X$ e $Y$ una funzione $f\ :\ X\ \rightarrow\ Y$ è una legge che associa a ogni elemento $x\in X$ AL PIU' un elemento $y\in Y$; l'insieme degli elementi che possono essere trasformati è detto dominio della funzione $dom\ f$, mentre l'insieme dei trasformati è detto immagine della funzione $Im\ f$, e quindi si può scrivere in modo piu preciso $f\ :\ dom\ f\ \rightarrow\ Im\ f$.
Se per ogni coppia di elementi $x_{1}, x_{2}\in dom\ f$ (con $x_{1}\ne x_{2}$) si ha che $f(x_{1})\ne f(x_{2})$, $f$ è detta iniettiva, se $Im\ f=Y$, $f$ è detta suriettiva, se $f$ è contemporaneamente iniettiva e suriettiva allora è detta biiettiva.
Ora date le definizioni mi sembra chiaro che l'iniettività è condizione necessaria affinchè $f$ sia invertibile. Perchè su molti libri di testo che ho spulciato (specialmente algebra lineare) viene richiesto che $f$ sia biiettiva per essere invertibile???
Risposte
Onestamente se utilizzo il criterio geometrico è molto più intuitiva la cosa.
@volaff
"Onestamente se utilizzo il criterio geometrico è molto più intuitiva la cosa."
Interessante informazione sui tuoi stati mentali, però il punto è un altro.
O fai l'eremita, o sennò comunichi con altri, e per comunicare in modo sensato occorre condividere un codice di codifica/decodifica. Quindi, tu usa pure la definizione che più ti aggrada, ma quando "parli" con qualcun altro (ad esempio, scrivendo in un forum), sincerati che stiate usando lo stesso significato della parola "invertibile". Nulla ti vieta di fare propaganda per la tua definizione, anche se dubito che tu possa avere successo a livello internazionale (lo stesso dicasi per chi volesse fare propaganda per l'altra definizione): ci sono forze poderose in atto, e con continuità, il che rende molto difficile "deviare il corso del fiume".
nota personale...
"Onestamente se utilizzo il criterio geometrico è molto più intuitiva la cosa."
Interessante informazione sui tuoi stati mentali, però il punto è un altro.
O fai l'eremita, o sennò comunichi con altri, e per comunicare in modo sensato occorre condividere un codice di codifica/decodifica. Quindi, tu usa pure la definizione che più ti aggrada, ma quando "parli" con qualcun altro (ad esempio, scrivendo in un forum), sincerati che stiate usando lo stesso significato della parola "invertibile". Nulla ti vieta di fare propaganda per la tua definizione, anche se dubito che tu possa avere successo a livello internazionale (lo stesso dicasi per chi volesse fare propaganda per l'altra definizione): ci sono forze poderose in atto, e con continuità, il che rende molto difficile "deviare il corso del fiume".
nota personale...
Io mi riferivo al criterio geometrico per capire "rapidamente", nel caso di funzioni elementari (di cui conosci il grafico), se la funzione è iniettiva oppure suriettiva o magari, entrambe.
Se ho urtato la tua sensibilità, chiedo venia!
Se ho urtato la tua sensibilità, chiedo venia!
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