"Curiosità" intorno ad aperti e chiusi
Sto iniziando a studiare un po' di Topologia e mi sono domandato: data una funzione continua \(\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), sia \(\displaystyle A \subset \mathbb{R} \). Cosa posso dire su \(\displaystyle f(A) \)?
In generale \(\displaystyle A \) chiuso non implica \(\displaystyle f(A) \) chiuso: infatti \(\displaystyle f:A \to [0,1) \), con \(\displaystyle A=[0, \infty) \) ove \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x} \), è continua nel dominio assegnato e si ha \(\displaystyle f(A)=[0,1) \). Tuttavia \(\displaystyle A \) è chiuso, mentre \(\displaystyle f(A) \) non è né chiuso né aperto.
Allo stesso modo se definisco una \(\displaystyle g:(0,\infty) \to \{1\} \) t.c. \(\displaystyle g(x)=1 \ \forall x \in (0,\infty) \), posto \(\displaystyle B=(0,\infty) \), si ha che \(\displaystyle B \) è aperto mentre \(\displaystyle g(B) \) è chiuso. Quindi non vale \(\displaystyle B \) aperto implica \(\displaystyle f(B) \) aperto.
Quanto invece ad entrambe le implicazioni opposte? Intuitivamente mi parrebbero vere, ma...?
In generale \(\displaystyle A \) chiuso non implica \(\displaystyle f(A) \) chiuso: infatti \(\displaystyle f:A \to [0,1) \), con \(\displaystyle A=[0, \infty) \) ove \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x} \), è continua nel dominio assegnato e si ha \(\displaystyle f(A)=[0,1) \). Tuttavia \(\displaystyle A \) è chiuso, mentre \(\displaystyle f(A) \) non è né chiuso né aperto.
Allo stesso modo se definisco una \(\displaystyle g:(0,\infty) \to \{1\} \) t.c. \(\displaystyle g(x)=1 \ \forall x \in (0,\infty) \), posto \(\displaystyle B=(0,\infty) \), si ha che \(\displaystyle B \) è aperto mentre \(\displaystyle g(B) \) è chiuso. Quindi non vale \(\displaystyle B \) aperto implica \(\displaystyle f(B) \) aperto.
Quanto invece ad entrambe le implicazioni opposte? Intuitivamente mi parrebbero vere, ma...?
Risposte
una funzione è continua se la controimmagine di ogni aperto è un aperto. viceversa, se la controimmagine di ogni chiuso è un chiuso.
inoltre, l'immagine di un connesso è connessa e l'immagine di un compatto è compatta.
di più non puoi dire, perché appunto cadi negli esempi che hai citato tu.
inoltre, l'immagine di un connesso è connessa e l'immagine di un compatto è compatta.
di più non puoi dire, perché appunto cadi negli esempi che hai citato tu.
Ok, ti ringrazio. Ma se io volessi capire se \(\displaystyle f(A) \) aperto implica \(\displaystyle A \) aperto?
Controesempi non me ne vengono, quindi ho il sospetto che questa implicazione possa essere valida.
Controesempi non me ne vengono, quindi ho il sospetto che questa implicazione possa essere valida.
"albertobosia":
una funzione è continua se la controimmagine di ogni aperto è un aperto. viceversa, se la controimmagine di ogni chiuso è un chiuso.
Piccole correzioni: una funzione è continua se e solo se la controimmagine di un aperto è un aperto, o equivalentemente se e solo se la controimmagine di un chiuso è un chiuso.
Il resto delle considerazioni sono corrette: le applicazioni tali che \(A\) aperto (risp. chiuso) \(\Rightarrow\) \(f(A)\) aperto (risp. chiuso) si dicono (ma guarda un po'
) aperte (risp. chiuse) e tutte insieme non raggiungono neanche un millesimo dell'importanza delle funzioni continue. Ultima cosa: attenzione - \(f^{-1}( f(A))\) non necessariamente è uguale ad \(A\) (potrebbe essere più grande). Quindi assegnare condizioni sulle immagini \(f(A)\) potrebbe non significare nulla. Questo per rispondere alla domanda di Delirium
Quanto invece ad entrambe le implicazioni opposte?
Quindi possiamo in definitiva affermare che se \(\displaystyle f(A) \) è aperto allora \(\displaystyle f^{-1}(f(A)) \) è aperto (risp. chiuso); ma poiché vale \(\displaystyle A \subset f^{-1}(f(A)) \), non possiamo dire nulla su \(\displaystyle A \).
Dico bene?
Vi ringrazio molto.
Dico bene?
Vi ringrazio molto.
Se \(f\) è continua si. Per farti un esempio che illustri cosa può essere \(f^{-1}(f(A))\) pensa ad una funzione \(f\) costante. Allora \(f^{-1}(f(A))=\mathbb{R}\) per qualsiasi \(A \subset \mathbb{R}\). Come vedi può ben capitare che \(f^{-1}(f(A))\) non significhi proprio nulla.
forse, se si tratta di una \(f\) in particolare, si può dire di più...
Certo, naturalmente. Facevo un discorso generale.
Queste comunque sono cose che si affrontano in topologia generale, quando si studiano le cosiddette "topologie quoziente". Si tratta di un argomento di livello molto più sofisticato (e anche molto meno importante) rispetto ai concetti base come quello di continuità.
Queste comunque sono cose che si affrontano in topologia generale, quando si studiano le cosiddette "topologie quoziente". Si tratta di un argomento di livello molto più sofisticato (e anche molto meno importante) rispetto ai concetti base come quello di continuità.
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