Questioni di Limite
Ieri su questo forum si studiava una funzione. Ho capito quasi tutto di ciò che è stato spiegato ma ho dei problemi con i limiti...
$f(x)=(x^2-x+1)/(x+1) $
Dovevamo trovare, tra le altre cose, degli asintoti obliqui:
-----
$m=lim_(x->+-infty)f(x)/x=1$ e $q=lim_(x->+-infty)f(x)-mx= lim_(x->+-infty)(-2x)/(x+1)=-2$ per cui
$y=x-2$ è asintoto obliquo doppio
-----
Perché $lim_(x->+-infty)(x^2-x+1)/(x^2+x) $ risulta $= 1$ ?
Perché $lim_(x->+-infty)(-2x+1)/(x+1)$ risulta $= -2$ ?
Come si deve ragionare per avere il risultato giusto e non cadere in errori grossolani?
Grazie
$f(x)=(x^2-x+1)/(x+1) $
Dovevamo trovare, tra le altre cose, degli asintoti obliqui:
-----
$m=lim_(x->+-infty)f(x)/x=1$ e $q=lim_(x->+-infty)f(x)-mx= lim_(x->+-infty)(-2x)/(x+1)=-2$ per cui
$y=x-2$ è asintoto obliquo doppio
-----
Perché $lim_(x->+-infty)(x^2-x+1)/(x^2+x) $ risulta $= 1$ ?
Perché $lim_(x->+-infty)(-2x+1)/(x+1)$ risulta $= -2$ ?
Come si deve ragionare per avere il risultato giusto e non cadere in errori grossolani?
Grazie
Risposte
Raccogli sopra e sotto le potenze massime, poi vedrai che succede.
Consideriamo il $lim_(x rarr +- oo)(x^2-x+1)/(x^2+2) $ ; abbiamo due polinomi a numeratore e denominatore , conviene raccogliere $x$ con il grado massimo , cioè $ x^2 $ e otterrai
$lim_(x rarr +-oo)[x^2(1-1/x+1/x^2)]/[x^2(1+1/x)] = lim_(x rarr +-oo)(1-1/x+1/x^2)/(1+1/x) $, ma questo limite vale $1/1 = 1 $ in quanto gli altri elementi tendono tutti a $0$ .
In questo caso è stato possibile calcolare contemporaneamente il limite per $ x rarr +-oo $ ; in genere vanno calcolati separatamente ( tipicamente quando sono coinvolti valori assoluti).
Si può dedurre da questo esempio, generalizzandolo che nel caso di rapporto tra due polinomi di pari grado e per $ x rarr +-oo$ il limite cercato è pari al rapporto dei coefficienti di grado massimo del numeratore e del denominatore.
Adesso è immediato calcolare il secondo limite.
$lim_(x rarr +-oo)[x^2(1-1/x+1/x^2)]/[x^2(1+1/x)] = lim_(x rarr +-oo)(1-1/x+1/x^2)/(1+1/x) $, ma questo limite vale $1/1 = 1 $ in quanto gli altri elementi tendono tutti a $0$ .
In questo caso è stato possibile calcolare contemporaneamente il limite per $ x rarr +-oo $ ; in genere vanno calcolati separatamente ( tipicamente quando sono coinvolti valori assoluti).
Si può dedurre da questo esempio, generalizzandolo che nel caso di rapporto tra due polinomi di pari grado e per $ x rarr +-oo$ il limite cercato è pari al rapporto dei coefficienti di grado massimo del numeratore e del denominatore.
Adesso è immediato calcolare il secondo limite.
Capito benissimo!
Grazie 1000!
Devo ripassare un bel po' di cosette che non ricordo più....
Un'altra cosa:
per i limiti come ad es:
$ lim_(x->-1^-)(x^2-x+1)/(x^2+x) $
$ lim_(x->-1^+)(x^2-x+1)/(x^2+x) $
Devo per forza provare ad inserire dei numeri prossimi a $Xo$?
Nei casi sopra nel lim dx ho inserito -0,99999 e nel lim sx -1,00001.
Così ho visto che tendevano a $+infty$ e $-infty$
C'é un modo veloce di calcolarli?
Grazie 1000!
Devo ripassare un bel po' di cosette che non ricordo più....
Un'altra cosa:
per i limiti come ad es:
$ lim_(x->-1^-)(x^2-x+1)/(x^2+x) $
$ lim_(x->-1^+)(x^2-x+1)/(x^2+x) $
Devo per forza provare ad inserire dei numeri prossimi a $Xo$?
Nei casi sopra nel lim dx ho inserito -0,99999 e nel lim sx -1,00001.
Così ho visto che tendevano a $+infty$ e $-infty$
C'é un modo veloce di calcolarli?
Quello che hai fatto tu può solo dare un'idea del risultato, ma il limite va calcolato esattamente, non per approssimazione.
Tieni presente a riguardo un po' di algebra dei limiti; per esempio "$1/(0^+)=+\infty$", oppure "$1/(0^-)=-\infty$".
Tieni presente a riguardo un po' di algebra dei limiti; per esempio "$1/(0^+)=+\infty$", oppure "$1/(0^-)=-\infty$".
Sapete dove posso trovare un po' di appunti sull'algebra dei limiti?
Sul mio libro non c'é una mazza...
Grazie ancora ragazzi!
Sul mio libro non c'é una mazza...
Grazie ancora ragazzi!
Calcola a cosa tende il numeratore; per il denominatore prima fattorizzalo e poi calcola a cosa tende e poi trai le conseguenze..
"Giova411":
Sapete dove posso trovare un po' di appunti sull'algebra dei limiti?
Sul mio libro non c'é una mazza...
Grazie ancora ragazzi!
Non saprei... prova a dare un'occhiata all'homepage di questo sito. O a un qualsiasi buon libro di analisi I
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo