Queste maledette serie! Non riesco!
Ragazzi c'è una tipologia di esercizio sulle serie che non so risolvere.
Quelli che seguono sono tre esempi.
Vi prego aiutatemi perchè proprio non so come si fa!
Si chiede di trovare i valori reali di x per cui converge la serie:
1) serie da 1 a infinito di (((n^3)+x)/((n^3)+5))^n^4
2) serie da 1 a infinito di ((-1)^n)*((x-3)^n)/(2+ radice(n))
3) serie da 1 a infinito di (n*((x+1)/(2x-1))^n)
La questione è che non posso usare criteri come quello della radice perchè si applicano solo a serie con termini positivi.
Qui le serie non è detto che abbiano tutti i termini positivi... ...dipende dalla x!!!
Quelli che seguono sono tre esempi.
Vi prego aiutatemi perchè proprio non so come si fa!
Si chiede di trovare i valori reali di x per cui converge la serie:
1) serie da 1 a infinito di (((n^3)+x)/((n^3)+5))^n^4
2) serie da 1 a infinito di ((-1)^n)*((x-3)^n)/(2+ radice(n))
3) serie da 1 a infinito di (n*((x+1)/(2x-1))^n)
La questione è che non posso usare criteri come quello della radice perchè si applicano solo a serie con termini positivi.
Qui le serie non è detto che abbiano tutti i termini positivi... ...dipende dalla x!!!
Risposte
Quando la serie non e' a termini positivi in genere si studia la convergenza assoluta, cosicche' la serie diventa a termini positivi.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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La serie (2) e' a termini positivi o a segni alterni a seconda del segno di (x-3):
Se (x-3) < 0 allora la serie e' a termini positivi perche' il (-1) si semplifica col segno di (x-3).
Se (x-3) > 0 allora la serie e' a segni alterni.
Discuti separatamente i due casi.
La serie (3) e' anche quella o a segni alterni o a termini positivi a seconda del segno di (x+1)/(2x-1).
Per la prima serie puoi usare il criterio delle serie a termini positivi. Infatti:
[IMG=left]http://img159.imageshack.us/img159/633/uno5xf.jpg[/IMG=left]
Se (x-3) < 0 allora la serie e' a termini positivi perche' il (-1) si semplifica col segno di (x-3).
Se (x-3) > 0 allora la serie e' a segni alterni.
Discuti separatamente i due casi.
La serie (3) e' anche quella o a segni alterni o a termini positivi a seconda del segno di (x+1)/(2x-1).
Per la prima serie puoi usare il criterio delle serie a termini positivi. Infatti:
[IMG=left]http://img159.imageshack.us/img159/633/uno5xf.jpg[/IMG=left]
PS: Ho fatto partire le serie da 0 invece che da 1... ma non cambia nulla rispetto alla convergenza.
X Luca: se studio la convergenza assoluta, trovo i valori di x per cui la serie è assolutamente convergente (e anche convergente), ma mi perdo tutti i valori di x per cui la serie converge ma non è assolutamente convergente.
Vi prego se il mio ragionamento qui sopra è sbagliato aiutatemi a capire!
X David_e: provo a fare come mi hai detto e vedo se riesco. Mi faccio risentire presto.
Vi prego se il mio ragionamento qui sopra è sbagliato aiutatemi a capire!
X David_e: provo a fare come mi hai detto e vedo se riesco. Mi faccio risentire presto.
Per i valori di x per i quali hai convergenza assoluta hai anche convergenza. Per i valori di x che rendono la serie a termini di segno alterno, devi cercare di usare Leibniz o qualche maggiorazione.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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DAvid_e, nella prima era tutto elevato alla n alla 4 e non solo il denominatore!
Anche nella 2 mi hai detto una cavolata!
Quel -1 è elevato a n!!! Quindi il suo segno si alterna anch'esso!
Quel -1 è elevato a n!!! Quindi il suo segno si alterna anch'esso!
Per la (1) se e' elevato tutto alla 4 allora che problema c'e'? E' una serie a termini positivi non occorre nemmeno fare il casino che ho fatto io!!!
Per la (2):
Se (x-3) e' negativo possiamo chiamarlo -a (per semplicita') con a positivo. Allora si ha al numeratore:
(-1)^n (-a)^n = ( -1 * -a)^n = a^n
Per cui la serie e' tutta a termini positivi!
Se (x-3)>0 abbiamo una serie a segni alterni.
Per la (2):
Se (x-3) e' negativo possiamo chiamarlo -a (per semplicita') con a positivo. Allora si ha al numeratore:
(-1)^n (-a)^n = ( -1 * -a)^n = a^n
Per cui la serie e' tutta a termini positivi!
Se (x-3)>0 abbiamo una serie a segni alterni.
Hai ragione David_e!
Sulla (1) il problema non sorgeva (sono stato scemo io)!^^
Anche la (2) l'ho risolta.
La (3) invece no.
Ho capito il tuo ragionamento, ma per x tali che la serie diventa a segno alternato non riesco a risolverla!!!
Sulla (1) il problema non sorgeva (sono stato scemo io)!^^
Anche la (2) l'ho risolta.
La (3) invece no.
Ho capito il tuo ragionamento, ma per x tali che la serie diventa a segno alternato non riesco a risolverla!!!
Per la serie (3), se la frazione sotto esponente n e' positiva usi il criterio della radice. Se e' nulla viene la serie nulla. Se e' negativa ti viene una serie a termini di segno alternato. Prova Leibniz, anche se la serie e' di potenze, per cui c'e' il Teorema generale.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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E' a segno alterno per x compreso tra -1 e 1/2.
In pratica non riesco ad applicare Leibnitz con questa x di mezzo!
In pratica non riesco ad applicare Leibnitz con questa x di mezzo!
Si tratta di fare il limite di:
n*a^n
Con a compreso fra 0 e 1 e vedere se e' zero e per quali a. Con:
a = | x + 1 ) / ( 2x - 1 |
Infatti puoi scrivere il termine in x come a * (-1) ( (-1) rappresenta il segno )
Discuti il limite al variare di a. (non e' molto difficile) poi guarda per gli a per cui esso va a zero quali sono le x corrispondenti.
n*a^n
Con a compreso fra 0 e 1 e vedere se e' zero e per quali a. Con:
a = | x + 1 ) / ( 2x - 1 |
Infatti puoi scrivere il termine in x come a * (-1) ( (-1) rappresenta il segno )
Discuti il limite al variare di a. (non e' molto difficile) poi guarda per gli a per cui esso va a zero quali sono le x corrispondenti.
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