Quesito teorico sugli integrali
Salve!
Da un pò di tempo c'è una cosa che mi lascia perplesso.
A volte risolvendo gli integrali di certe funzioni razionali capita di dover mettere il simbolo di modulo ma il libro che ho per gli esercizi (Demidovic) . Riporta solo la soluzione positiva. Come mai questa scelta? Forse perchè risponde proprio alla definizione di integrale indefinito o cosa? In un compito di esame non sarebbe più corretto riportare le due discussioni del modulo.
A volte l'introduzione del modulo capita quando si tratta di risolvere integrali del tipo:
radice quadrata di (x^2-a^2),(x^2+a^2),(a^2-x^2)
Grazie infinite per la risposta.-))
Da un pò di tempo c'è una cosa che mi lascia perplesso.
A volte risolvendo gli integrali di certe funzioni razionali capita di dover mettere il simbolo di modulo ma il libro che ho per gli esercizi (Demidovic) . Riporta solo la soluzione positiva. Come mai questa scelta? Forse perchè risponde proprio alla definizione di integrale indefinito o cosa? In un compito di esame non sarebbe più corretto riportare le due discussioni del modulo.
A volte l'introduzione del modulo capita quando si tratta di risolvere integrali del tipo:
radice quadrata di (x^2-a^2),(x^2+a^2),(a^2-x^2)
Grazie infinite per la risposta.-))
Risposte
esempio (ometto il segno d'integrale):
sqrt(x^2-a^2) dx
Intanto dev'essere x<-a vel x>a per l'esistenza dell'integranda. Supponiamo a>0, non perdiamo di generalità.
Sostituzione:
x=a*Ch(t)
Il Ch(t) però è sempre positivo. Quindi questa sostituzione è valida per x>0. Dividiamo il problema in due:
x=a*Ch(t) x>0
x=-a*Ch(t) x<0
Cominciamo con x<0.
dx=-a*Sh(t)dt
L'integrale diventa:
-a^2 * sqrt(Ch(t)^2 - 1) * Sh(t) dt
= -a^2 * |Sh(t)| * Sh(t) dt =
ma se x<0 il Sh(t)<0 quindi:
= a^2 * Sh(t)^2 dt =
= (a^2 / 2) * (Sh(t)Ch(t)-t) + C =
= (a^2 / 2) * (-(x/a) * (-sqrt((x/a)^2-1)) - arcCh(-x/a) ) + C
In rosso c'è il Ch(t) e in verde il Sh(t). Occhio ai segni!
Per x>0 il risultato è:
(a^2 / 2) * (x/a * sqrt((x/a)^2-1) - arcCh(x/a) ) + C
I due risultati sono uguali. L'arcCh(-x/a) per x<0 è = all'arcCh(x/a) per x>0.
In definitiva puoi assumere l'ultima espressione come risultato dell'integrale per ogni x.
Morale: i moduli si mettono eccome! però può essere che nel risultato finale non ce ne sia + bisogno. I problemi nascono dalla sostituzione che si adopera. Stai sempre attento al segno dell'espressione che usi per fare la sostituzione!!!
ciao
Modificato da - goblyn il 16/11/2003 14:10:02
Modificato da - goblyn il 17/11/2003 13:29:12
sqrt(x^2-a^2) dx
Intanto dev'essere x<-a vel x>a per l'esistenza dell'integranda. Supponiamo a>0, non perdiamo di generalità.
Sostituzione:
x=a*Ch(t)
Il Ch(t) però è sempre positivo. Quindi questa sostituzione è valida per x>0. Dividiamo il problema in due:
x=a*Ch(t) x>0
x=-a*Ch(t) x<0
Cominciamo con x<0.
dx=-a*Sh(t)dt
L'integrale diventa:
-a^2 * sqrt(Ch(t)^2 - 1) * Sh(t) dt
= -a^2 * |Sh(t)| * Sh(t) dt =
ma se x<0 il Sh(t)<0 quindi:
= a^2 * Sh(t)^2 dt =
= (a^2 / 2) * (Sh(t)Ch(t)-t) + C =
= (a^2 / 2) * (-(x/a) * (-sqrt((x/a)^2-1)) - arcCh(-x/a) ) + C
In rosso c'è il Ch(t) e in verde il Sh(t). Occhio ai segni!
Per x>0 il risultato è:
(a^2 / 2) * (x/a * sqrt((x/a)^2-1) - arcCh(x/a) ) + C
I due risultati sono uguali. L'arcCh(-x/a) per x<0 è = all'arcCh(x/a) per x>0.
In definitiva puoi assumere l'ultima espressione come risultato dell'integrale per ogni x.
Morale: i moduli si mettono eccome! però può essere che nel risultato finale non ce ne sia + bisogno. I problemi nascono dalla sostituzione che si adopera. Stai sempre attento al segno dell'espressione che usi per fare la sostituzione!!!
ciao
Modificato da - goblyn il 16/11/2003 14:10:02
Modificato da - goblyn il 17/11/2003 13:29:12
All'inizio del calcolo del primo integrale mi sembra sia :
L'integrale diventa :
-a^2*sqrt( Ch(t)^2 -1) * Sh(t) dt e poi fila tutto liscio.
ciao
Camillo
L'integrale diventa :
-a^2*sqrt( Ch(t)^2 -1) * Sh(t) dt e poi fila tutto liscio.
ciao
Camillo
Sì esatto, grazie Camillo. Ora correggo il post.
Allora ecco un esempio più concreto:
1 tutto fratto x che moltiplica radice quadrata di (x^2-2)
risolvo questo integrale ponendo x=1/t
applicando questa sostituzione ad un certo punto viene:
- simbolo di integrale 1 tutto fratto t che moltiplica radice quadrata di [(1-2t^2)/t^2]
mi sa che devo cambiare sostituzione... Forse bisogna anche trovare la sostituzione più opportuna per raggirare queste indecisioni...
Ciao e grazie ragazzi:-))
1 tutto fratto x che moltiplica radice quadrata di (x^2-2)
risolvo questo integrale ponendo x=1/t
applicando questa sostituzione ad un certo punto viene:
- simbolo di integrale 1 tutto fratto t che moltiplica radice quadrata di [(1-2t^2)/t^2]
mi sa che devo cambiare sostituzione... Forse bisogna anche trovare la sostituzione più opportuna per raggirare queste indecisioni...
Ciao e grazie ragazzi:-))
quello che scrivi
- simbolo di integrale 1 tutto fratto t che moltiplica radice quadrata di [(1-2t^2)/t^2]
è
int[1/radq(1-2t^2) = arcsen (t/a) + c con |x|
WonderP.
- simbolo di integrale 1 tutto fratto t che moltiplica radice quadrata di [(1-2t^2)/t^2]
è
int[1/radq(1-2t^2) = arcsen (t/a) + c con |x|
WonderP.
OK.
Grazie a tutti ragazzi;-))
Grazie a tutti ragazzi;-))
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