Quesito su un problema di Cauchy

[wanderer1]

Ciao a tutti,
La nostra prof di analisi ci ha dato questo quesito:

Sia dato il problema di Cauchy:
\begin{equation}
\begin{cases}
y' = \arctan(y) + 5y^2\\y(0)=y_0
\end{cases}
\end{equation}
è vero che:
qui ci sono varie opzioni tra cui quella giusta secondo la prof:
"la soluzione è strettamente crescente se e solo se $y_0>0$"

Quello che non mi torna è quel "solo se", perché secondo i miei calcoli (e una buona dose di intuizione) dovrebbe esistere anche un intorno di $-\infty$ tale che la soluzione con $y_0 \in I(-\infty)$ è strettamente crescente.
Infatti la funzione: $\arctan(y)+5y^2$ ha solo un intervallo chiuso e limitato in cui ha segno negativo...
Qualche delucidazione?

[gugo82]

Beh, l'equazione delle soluzioni stazionarie, i.e.:
\[
\arctan y + 5y^2 =0
\]
ha due soluzioni: una è \(y^\star =0\) e l'altra è \(y_\star \in ]-0.25 , -0.1[\) (si trova \(y_\star \approx -0.197\)). Quindi la EDO ha le due soluzioni stazionarie \(y^\star (x) = 0\) ed \(y_\star (x) = y_\star\).
Inoltre si vede che il secondo membro della EDO è positivo per \(y>y^\star =0\) o per \(y
Dato che il secondo membro della EDO è lipschitziano, sei in regime di esistenza ed unicità locale, quindi i grafici delle soluzioni della EDO non possono intersecarsi.
Di conseguenza, il grafico della soluzione massimale che soddisfa la condizione iniziale $y(0)=y_0$ con $y_0>0$ non può attraversare il grafico di \(y^\star(x)\) e rimane confinato nella regione $\{y>0\}$ in cui risulta \(y^\prime >0\), quindi la soluzione è strettamente crescente. In maniera del tutto analoga, il grafico della soluzione massimale che soddisfa la condizione iniziale \(y(0)=y_0\) con \(y_00\), quindi anche in questo caso la soluzione è strettamente crescente.
Al contrario, il grafico della soluzione massimale che soddisfa \(y(0)=y_0\) con \(y_\star < y_0 <0\) deve rimanere confinato nella striscia delimitata dai grafici di \(y_\star (x)\) ed \(y^\star (x)\), regiona in cui risulta \(y^\prime <0\), cosicché la soluzione è strettamente decrescente.

Ricapitolando: la soluzione del PdC è strettamente crescente se e solo se \(y>0\) oppure \(yfalsa.