Quesito su successione
Ho la successione $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ tale che $a_n=a_{n+1999}\ \forall n\in \mathbb{N}$ e devo dire quali delle seguenti affermazioni è vera e quale è falsa motivandone la risposta:
1) La serie $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^na_n$ è convergente.
2) $\lim a_n=+\infty$
3) Non esiste il $\lim a_n$
4)La successione $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ha massimo.
A riguardo il prof ci ha detto che i primi $1999$ termini sono un insieme finito di numeri reali e quindi la successione non è convergente, ma io non capisco il perchè dato che
$a_n={a_{1+1999},\ a_{2+1999},\ ...,\ a_{n+1999},\ ...}$ non vedo dov'è questo insieme finito
1) La serie $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^na_n$ è convergente.
2) $\lim a_n=+\infty$
3) Non esiste il $\lim a_n$
4)La successione $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ha massimo.
A riguardo il prof ci ha detto che i primi $1999$ termini sono un insieme finito di numeri reali e quindi la successione non è convergente, ma io non capisco il perchè dato che
$a_n={a_{1+1999},\ a_{2+1999},\ ...,\ a_{n+1999},\ ...}$ non vedo dov'è questo insieme finito

Risposte
"YetNow":
La condizione di periodicità data nel testo implica che il codominio è finito, in quanto a partire dal 1999-esimo termine i valori della successione si ripetono. I termini della successione restano infiniti, ma i valori che assumono appartengono ad un insieme, il codominio della successione, che conta, al massimo, 1999 termini. E qualunque insieme finito è dotato di massimo e minimo. Quindi la quarta affermazione è vera. La seconda è sicuramente falsa: un insieme finito non può avere un punto di accumulazione, neanche in R esteso. La terza è falsa solo se il codominio conta un solo elemento.![]()
Per la prima, forse servono altre info, ma devo rifletterci
Ci sono alcune cose ancora poco chiare. Per esempio, se io ho appunto tale successione periodica (e dunque a codominio finito), come potrei fare a stabilire se esiste o meno il suo limite visto che il codominio è finito per i primi $1999$ termini?