Quesito su successione

[Gmork]

Ho la successione $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ tale che $a_n=a_{n+1999}\ \forall n\in \mathbb{N}$ e devo dire quali delle seguenti affermazioni è vera e quale è falsa motivandone la risposta:

1) La serie $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^na_n$ è convergente.

2) $\lim a_n=+\infty$

3) Non esiste il $\lim a_n$

4)La successione $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ha massimo.

A riguardo il prof ci ha detto che i primi $1999$ termini sono un insieme finito di numeri reali e quindi la successione non è convergente, ma io non capisco il perchè dato che

$a_n={a_{1+1999},\ a_{2+1999},\ ...,\ a_{n+1999},\ ...}$ non vedo dov'è questo insieme finito

[Gmork]

"YetNow":La condizione di periodicità data nel testo implica che il codominio è finito, in quanto a partire dal 1999-esimo termine i valori della successione si ripetono. I termini della successione restano infiniti, ma i valori che assumono appartengono ad un insieme, il codominio della successione, che conta, al massimo, 1999 termini. E qualunque insieme finito è dotato di massimo e minimo. Quindi la quarta affermazione è vera. La seconda è sicuramente falsa: un insieme finito non può avere un punto di accumulazione, neanche in R esteso. La terza è falsa solo se il codominio conta un solo elemento.
Per la prima, forse servono altre info, ma devo rifletterci

Ci sono alcune cose ancora poco chiare. Per esempio, se io ho appunto tale successione periodica (e dunque a codominio finito), come potrei fare a stabilire se esiste o meno il suo limite visto che il codominio è finito per i primi $1999$ termini?