Quesito su successione
Ho la successione $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ tale che $a_n=a_{n+1999}\ \forall n\in \mathbb{N}$ e devo dire quali delle seguenti affermazioni è vera e quale è falsa motivandone la risposta:
1) La serie $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^na_n$ è convergente.
2) $\lim a_n=+\infty$
3) Non esiste il $\lim a_n$
4)La successione $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ha massimo.
A riguardo il prof ci ha detto che i primi $1999$ termini sono un insieme finito di numeri reali e quindi la successione non è convergente, ma io non capisco il perchè dato che
$a_n={a_{1+1999},\ a_{2+1999},\ ...,\ a_{n+1999},\ ...}$ non vedo dov'è questo insieme finito
1) La serie $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^na_n$ è convergente.
2) $\lim a_n=+\infty$
3) Non esiste il $\lim a_n$
4)La successione $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ha massimo.
A riguardo il prof ci ha detto che i primi $1999$ termini sono un insieme finito di numeri reali e quindi la successione non è convergente, ma io non capisco il perchè dato che
$a_n={a_{1+1999},\ a_{2+1999},\ ...,\ a_{n+1999},\ ...}$ non vedo dov'è questo insieme finito
Risposte
E' una successione periodica, di periodo $T=1999$, un esempio di successione del genere potrebbe essere $a_n=sin((2pin)/(1999))$...
E perchè il suo codominio è finito?
Quello che ho dato io è solo un esempio di successione che verifica quella condizione...
Continuo a non vedere in che modo quel codominio è finito. Cioè, come dovrebbe essere scritto il codominio di quella successione allora?
Scusami, mi sa che ho detto una sciocchezza riguardo il codominio...
Comunque se è periodica già si può rispondere ad alcuni quesiti...
Comunque se è periodica già si può rispondere ad alcuni quesiti...
No, forse no. Ho trovato su altri testi che una successione periodica è limitata, ma non ho ancora capito il perchè.
La condizione di periodicità data nel testo implica che il codominio è finito, in quanto a partire dal 1999-esimo termine i valori della successione si ripetono. I termini della successione restano infiniti, ma i valori che assumono appartengono ad un insieme, il codominio della successione, che conta, al massimo, 1999 termini. E qualunque insieme finito è dotato di massimo e minimo. Quindi la quarta affermazione è vera. La seconda è sicuramente falsa: un insieme finito non può avere un punto di accumulazione, neanche in R esteso. La terza è falsa solo se il codominio conta un solo elemento. 
Per la prima, forse servono altre info, ma devo rifletterci
Per la prima, forse servono altre info, ma devo rifletterci
IN merito alla prima affermazione, se la serie converge allora converge a zero. Viceversa, se $ sum_(n = 0)^(n = 1999) (-1)^(n)(an) $, è una quantità diversa da zero, la serie diverge positivamente o negativamente, a seconda se questa somma n-esima viene positiva o negativa.
Faccio un esempio esplicito di successione periodica che spero complementi le osservazioni di fireball e Y.N. :
$(1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, ..., 1, 2, 3, ...)$
@Orlok: Quali sono i valori assunti da questa successione?
$(1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, ..., 1, 2, 3, ...)$
@Orlok: Quali sono i valori assunti da questa successione?
Azzardo una dimostrazione che una successione periodica è limitata per assurdo. Ditemi se è sbagliata.
Supponiamo che sia illimitata; l'unica possibilità, in questo caso, sarebbe che $lim_(n->+oo) a_n = +oo$ oppure $-oo$, il che
vuol dire, per definizione di limite, che per ogni costante $M>0$ esiste un certo $n$ che chiameremo $n_M$ tale che per ogni $n>n_M$ si ha $|a_n|>M$.
Ma questo contraddice l'ipotesi di periodicità per $a_n$, dunque se $a_n$ è periodica dev'essere per forza limitata.
Supponiamo che sia illimitata; l'unica possibilità, in questo caso, sarebbe che $lim_(n->+oo) a_n = +oo$ oppure $-oo$, il che
vuol dire, per definizione di limite, che per ogni costante $M>0$ esiste un certo $n$ che chiameremo $n_M$ tale che per ogni $n>n_M$ si ha $|a_n|>M$.
Ma questo contraddice l'ipotesi di periodicità per $a_n$, dunque se $a_n$ è periodica dev'essere per forza limitata.
@dissonance: solamente 1,2,3. E questo è chiaro. Ma nel caso della mia successione il suo codominio come lo scrivo (per rendermi conto della limitatezza del codominio) ?
@fireball: Troppo complicato. Io farei così:
Sia $a_n$ la successione periodica in questione e sia $T$ un suo periodo ("un" periodo, non "il" periodo perché non è unico: ad esempio $(1, 2, 3, 1, 2, 3, ...)$ ha periodo $3$ ma anche $6$). Essendo $a_{n+T}=a_n$ per ogni $n$, l'insieme dei valori assunti dalla successione è
$S={a_1, a_2, ..., a_T}$
ed essendo un insieme finito, è automaticamente limitato: se proprio vogliamo essere puntigliosi, prendendo $M="max"(|a_1|...|a_T|)$ si ha subito che $|a_n|<=M$ per ogni $a_n\inS$ (e quindi, per ogni termine della successione).
Sia $a_n$ la successione periodica in questione e sia $T$ un suo periodo ("un" periodo, non "il" periodo perché non è unico: ad esempio $(1, 2, 3, 1, 2, 3, ...)$ ha periodo $3$ ma anche $6$). Essendo $a_{n+T}=a_n$ per ogni $n$, l'insieme dei valori assunti dalla successione è
$S={a_1, a_2, ..., a_T}$
ed essendo un insieme finito, è automaticamente limitato: se proprio vogliamo essere puntigliosi, prendendo $M="max"(|a_1|...|a_T|)$ si ha subito che $|a_n|<=M$ per ogni $a_n\inS$ (e quindi, per ogni termine della successione).
@Orlok: Con le notazioni del post precedente, per la tua successione è $T=1999$. Allora l'insieme dei valori assunti dalla successione è
$S={a_1, a_2, ..., a_{1999}}$.
E' un insieme di 2000 elementi: magari potresti anche considerarlo "grosso", ma di sicuro è limitato.
$S={a_1, a_2, ..., a_{1999}}$.
E' un insieme di 2000 elementi: magari potresti anche considerarlo "grosso", ma di sicuro è limitato.
Quando possibile la semplicità paga sempre.
fireball puoi sempre ricondurre ad assurdo utilizzando la condizione di periodicità. Ipotizzando la periodicità, an+N=an, e supponendo la divergenza positiva, se nk è il più piccolo naturale tale che ank>K, si ha già l'assurdo: perchè per nj=nk-mNk. Quindi la periodicità implica la non divergenza positiva, e analogamente, quella negativa.
Ma le considerazioni sulla cardinalità del codominio tagliano la testa al toro prima che entri nell'arena.
fireball puoi sempre ricondurre ad assurdo utilizzando la condizione di periodicità. Ipotizzando la periodicità, an+N=an, e supponendo la divergenza positiva, se nk è il più piccolo naturale tale che ank>K, si ha già l'assurdo: perchè per nj=nk-mN
Ma le considerazioni sulla cardinalità del codominio tagliano la testa al toro prima che entri nell'arena.
Allora il codominio lo potrei scrivere anche come:
${a_{1+1},...,a_{1+1999}, a_{2+1},..., a_{2+1999},..., a_{n+1},..., a_{n+1999},...}$ ???
${a_{1+1},...,a_{1+1999}, a_{2+1},..., a_{2+1999},..., a_{n+1},..., a_{n+1999},...}$ ???
Si, volendo si, ma così scrivi ogni elemento infinite volte. Nel caso della successione $(1, 2, 3, 1, 2, 3, ...)$, con questo sistema scrivi come insieme dei valori assunti
${1, 2, 3, 1, 2, 3, ...}$.
Questo è tecnicamente giusto, visto che come saprai le ripetizioni in un insieme si "assorbono":
${"cane", "gatto", "cavallo", "cavallo", "cavallo"}={"cane", "gatto", "cavallo"}$
ma è palesemente ridondante, molto meglio scrivere ${1, 2, 3}$.
${1, 2, 3, 1, 2, 3, ...}$.
Questo è tecnicamente giusto, visto che come saprai le ripetizioni in un insieme si "assorbono":
${"cane", "gatto", "cavallo", "cavallo", "cavallo"}={"cane", "gatto", "cavallo"}$
ma è palesemente ridondante, molto meglio scrivere ${1, 2, 3}$.
"dissonance":
@fireball: Troppo complicato. Io farei così:
Sia $a_n$ la successione periodica in questione e sia $T$ un suo periodo ("un" periodo, non "il" periodo perché non è unico: ad esempio $(1, 2, 3, 1, 2, 3, ...)$ ha periodo $3$ ma anche $6$). Essendo $a_{n+T}=a_n$ per ogni $n$, l'insieme dei valori assunti dalla successione è
$S={a_1, a_2, ..., a_T}$
ed essendo un insieme finito, è automaticamente limitato: se proprio vogliamo essere puntigliosi, prendendo $M="max"(|a_1|...|a_T|)$ si ha subito che $|a_n|<=M$ per ogni $a_n\inS$ (e quindi, per ogni termine della successione).
Giusto... Purtroppo, da ingegnere quale sono, ho l'abitudine di usare bombe atomiche per ammazzare formiche...
Rimane però un punto: chi mi dice che $a_{1+1}$ coincide per esempio con $a_{2+1}$ ?
Ipotizzando la periodicità, an+N=an, e supponendo la divergenza positiva, se nk è il più piccolo naturale tale che ank>K, si ha già l'assurdo: perchè per nj=nk-mNk. Quindi la periodicità implica la non divergenza positiva, e analogamente, quella negativa.
Lo dico sempre che non mi riesce di pensare a due cose contemporaneamente... al pranzo ed alla matematica sicuramente!:wink:
"Orlok":?
Rimane però un punto: chi mi dice che $a_{1+1}$ coincide per esempio con $a_{2+1}$ ?
Non te lo dice nessuno perché è falso: ad esempio in $(1,2,3,1,2,3...)$ hai che
$a_{1+1}=2$
$a_{2+1}=3$.
Ma perché non lasci perdere questa notazione con $a_{1+1}, a_{1+2}...$ che ti sta facendo confondere? I termini della successione che ti servono sono $a_1, a_2, ..., a_T$. Per indici più alti i termini si ripetono ciclicamente. Fine.
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