Quesito integrali

[ila19871]

salve a tutti, non riesco proprio a risolvere questo quesito...

si dia l'esempio di una funzione f per cui esiste finito l'integrale in senso improprio tra a e +infinito di f, mentre l'integrale tra a e +infinito di valore assoluto di f diverge


qualcuno può aiutarmi ??? grazie!!!!

[Principe2]

Prova con la funzione definita per $x\ge1$ nella seguente maniera:

$f(x)=(-1)^n1/n$ se $n\lex\len+1$

L'integrale di $f$ è la serie $1-1/2+1/3-1/4...$ che converge. Invece l'integrale di $|f|$ è maggiorato
da quello di $1/x$ che non converge.

P.s. forse c'è da fare qualche traslazione... vedi un pò te.

[Lorenzo Pantieri]

"ila1987":salve a tutti, non riesco proprio a risolvere questo quesito...

si dia l'esempio di una funzione f per cui esiste finito l'integrale in senso improprio tra a e +infinito di f, mentre l'integrale tra a e +infinito di valore assoluto di f diverge


qualcuno può aiutarmi ??? grazie!!!!

Direi che la funzione $frac{\sin x}{x}$ fa al caso tuo!

[Principe2]

ci avevo pensato anche io... ma temo che la dimostrazione che faccia al caso suo sia un pò troppo complicata.

[ila19871]

avevo provato con sinx /x ma nn riesco a risolvere l'integrale!! grazie comunque!!

[_Tipper]

"ila1987":avevo provato con sinx /x ma nn riesco a risolvere l'integrale!! grazie comunque!!

Be', se riesci a trovare una primitiva in forma chiusa sei proprio brava...

[Principe2]

infatti come abbiamo detto $(sinx)/x$ va sicuramente bene, ma dimostrarlo è un pò complicato appunto perchè non esiste una primitiva elementare. Prova a vedere con la funzione che ti ho scritto... una volta che la disegni è molto intuitivo... sono tutti segmenti.. per cui l'integrale si riduce alla somma delle aree di rettangoli.. l'integrale del modulo invece lo puoi facilmente "minorare" con qualcosa che diverge, cioè $1/x$, a meno di traslazioni.