Quesito integrale definito funzione valore assoluto
ho $f(x)= -ln|x|$
stabilire se è integrabile e calcolare l'integrale definito in $ -1,-1/2$
infine
Determinare l'area di piano compresa tra l'asse delle $x$ il gra co di $f$ e le rette
$x =- 1$ e$ x =- 1/2$ . Esiste una relazione con i risultati del punto precedente? Motivare la risposta!
ora senza scimunirsi troppo $ln|x|$ è una funzione pari...per cui posso studiare il tutto per $ln(-x)$???
che differenze ci sono nel secondo punto? se ce ne sono...
Qual'è il giusto approccio alla soluzione del quesito?
grazie
stabilire se è integrabile e calcolare l'integrale definito in $ -1,-1/2$
infine
Determinare l'area di piano compresa tra l'asse delle $x$ il gra co di $f$ e le rette
$x =- 1$ e$ x =- 1/2$ . Esiste una relazione con i risultati del punto precedente? Motivare la risposta!
ora senza scimunirsi troppo $ln|x|$ è una funzione pari...per cui posso studiare il tutto per $ln(-x)$???
che differenze ci sono nel secondo punto? se ce ne sono...
Qual'è il giusto approccio alla soluzione del quesito?
grazie
Risposte
Che l'integrale
[tex]$\int_{-1}^{-1/2} -\log|x|\ dx=\int_{-1}^{-1/2} -\log(-x)\ dx$[/tex]
non ci sono dubbi, così come il fatto che sia integrabile (i punti estremali tengono fuori il punto $x=0$ che sarebbe l''unico a causare problemi).
Per quanto riguarda la seconda domanda, pensa a cosa è uguale, per definizione, l'area richiesta e come devi calcolarla usando gli integrali (ricorda che l'integrale, inteso come area sottesa da una curva, dipende dal segno della curva stessa).
[tex]$\int_{-1}^{-1/2} -\log|x|\ dx=\int_{-1}^{-1/2} -\log(-x)\ dx$[/tex]
non ci sono dubbi, così come il fatto che sia integrabile (i punti estremali tengono fuori il punto $x=0$ che sarebbe l''unico a causare problemi).
Per quanto riguarda la seconda domanda, pensa a cosa è uguale, per definizione, l'area richiesta e come devi calcolarla usando gli integrali (ricorda che l'integrale, inteso come area sottesa da una curva, dipende dal segno della curva stessa).
"ciampax":
[tex]$\int_{-1}^{-1/2} -\log|x|\ dx=\int_{-1}^{-1/2} -\log(-x)\ dx$[/tex]
Scusa, ma il logaritmo non è definito solo per valori positivi? Ti sei perso il modulo nell'ultimo logaritmo o c'é qualcosa che mi sfugge? :S
"Pdirac":
[quote="ciampax"]
[tex]$\int_{-1}^{-1/2} -\log|x|\ dx=\int_{-1}^{-1/2} -\log(-x)\ dx$[/tex]
Scusa, ma il logaritmo non è definito solo per valori positivi? Ti sei perso il modulo nell'ultimo logaritmo o c'é qualcosa che mi sfugge? :S[/quote]
ti sfugge forse che se $x in [-1, -1/2]$ allora $|x| = -x$ ?
@Pdirac: il logaritmo è definito solo per valori positivi, come dici tu.
Ma guarda gli estremi di integrazione: $-1$ e $-1/2$ sono entrambi negativi, quindi se $-1<=x<=-1/2$ si ha che $|x|=-x$.
Tutto ciò discende dalla definizione di valore assoluto:
$|x|={\(x, x>=0),(-x, x<0):}$
Ma guarda gli estremi di integrazione: $-1$ e $-1/2$ sono entrambi negativi, quindi se $-1<=x<=-1/2$ si ha che $|x|=-x$.
Tutto ciò discende dalla definizione di valore assoluto:
$|x|={\(x, x>=0),(-x, x<0):}$
purtroppo non riesco a capire che differenza ci sia tra il primo punto e il secondo punto, che è l'interpretazione geometrica del primo punto!!
l'integrale del primo punto è una quantità positiva!!
Nel secondo punto? $f(x)$ è sempre positiva in quell'intervallo...quindi?? è la stessa cosa?
l'integrale del primo punto è una quantità positiva!!
Nel secondo punto? $f(x)$ è sempre positiva in quell'intervallo...quindi?? è la stessa cosa?
Come giustamente osservi, la funzione $-\log|x|$ risulta positiva su $(-1,0)\cup(0,1)$, per cui sull'intervallo $(-1,-1/2)$ essa è positiva. Dal momento che, per definizione, l'area "geometrica" sottesa da una curva in un intervallo $(a,b)$ è pari a [tex]$\int_a^b |f(x)|\ dx$[/tex] e in questo caso $|-\log|x||=-\log|x|$, l'integrale per il calcolo dell'area coincide con quello da te usato all'inizio.
In poche parole: sono la stessa cosa!
In poche parole: sono la stessa cosa!
Grazie a tutti 
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