Quesito di calcolo delle variazioni
Se ho una funzione H(q,p), e una trasformazione Q(q,p),P(q,p) tali che esiste una funzione K(Q,P) soddisfacente
$$\delta \int P\dot Q - K dt =0$$ (1)
e supponiamo inoltre che valga anche
$$\delta \int p\dot q - H dt =0$$ (2)
Con queste due ipotesi, dono in grado di dire che i due integrali sono uguali a meno di una derivata rispetto a t, cioè che vale
$P\dot Q-K =\lambda(p\dot q - H) +\frac{df}{dt}$?
Grazie mille!
$$\delta \int P\dot Q - K dt =0$$ (1)
e supponiamo inoltre che valga anche
$$\delta \int p\dot q - H dt =0$$ (2)
Con queste due ipotesi, dono in grado di dire che i due integrali sono uguali a meno di una derivata rispetto a t, cioè che vale
$P\dot Q-K =\lambda(p\dot q - H) +\frac{df}{dt}$?
Grazie mille!
Risposte
up
Up...in particolare, volevo sapere se c'è un "se e solo se", ovvero se le trasformazini $$Q(q,p), P(q,p)$$ tali che esiste K(Q,P,t) soddisfacente
$$\delta \int_{t_A}^{t_B} P\dot Q -K(Q,P,t)dt=0$$ se e solo se
$$\delta \int_{t_A}^{t_B} p\dot q -H(q,p,t)dt=0$$
sono tutte e sole quelle che soddisfano l'uguaglianza
$$P\dot Q - K = \lambda(p\dot q -K)+\frac{df(Q,P,q,p)}{dt}$$
$$\delta \int_{t_A}^{t_B} P\dot Q -K(Q,P,t)dt=0$$ se e solo se
$$\delta \int_{t_A}^{t_B} p\dot q -H(q,p,t)dt=0$$
sono tutte e sole quelle che soddisfano l'uguaglianza
$$P\dot Q - K = \lambda(p\dot q -K)+\frac{df(Q,P,q,p)}{dt}$$
up
Stai per caso leggendo il libro di Strumia di meccanica razionale? Mi pare che lì ci fosse questo errore. Credo infatti che il "se e solo se" non valga. Sul libro di Goldstein la cosa è spiegata meglio, se non ricordo male.
Si mi hai sostanzialmente beccato! Però anche nel Goldstein c'è una "dimostrazione" del fatto che, se una trasformazione è CANONICA, allora deve essere di quella forma lì con la derivata...il modo in cui lo dimostra però non mi convince. Il fulcro del mio dubbio è:
TUTTE E SOLE LE FUNZIONI A VARIAZIONE NULLA sono delle derivate rispetto al tempo?
Ovvero, chiarendo meglio la domanda: sia F t.c.
$$\delta F = 0$$ per ogni variazione delle q,p,Q,P. Allora posso scrivere che
$$F=\frac{dG}{dt}$$?
TUTTE E SOLE LE FUNZIONI A VARIAZIONE NULLA sono delle derivate rispetto al tempo?
Ovvero, chiarendo meglio la domanda: sia F t.c.
$$\delta F = 0$$ per ogni variazione delle q,p,Q,P. Allora posso scrivere che
$$F=\frac{dG}{dt}$$?
up
Mi ricordo che questa cosa sconvolse pure me qualche anno fa. Niente, te la devi tenere così: non è un "se e solo se" ma i fisici si comportano come se lo fosse. Strumia lo fa in modo sfacciato, Goldstein dice almeno un paio di parole al riguardo, ma la sostanza è la stessa.
P.S.: Ora non ho tempo di mettermi a riguardare i dettagli ma ricordo benissimo che fu questa la conclusione a cui giunsi all'epoca.
P.S.: Ora non ho tempo di mettermi a riguardare i dettagli ma ricordo benissimo che fu questa la conclusione a cui giunsi all'epoca.
"Non è un se e solo se ma i fisici si comportano come se lo fosse?" Questa affermazione mi causa il mal di fegato, niente di personale ovviamente, Dissonance...
Non è che conosci un qualche testo che possa farmi definitivamente rifulgere il sublime splendore della verità al riguardo? Ogni trasformazione canonica ha un generatore? Qualcuno mi ha detto di si....
Si sicuramente si, però la trattazione moderna di queste cose è più sofisticata. La puoi trovare sul libro di Arnol'd, il riferimento standard per i matematici, che io sappia.
Scusa...si sicuramente si nel senso che ogni trasf. canonica ammette un generatore?
Si
Ma allora è un se e solo se...
ovvero una trasformazione è canonica se e solo se esiste F tale che
$$P\dot Q - K = p\dot q -H + \frac{dF}{dt}$$
questa è la definizione di generatore, se non ho capito male
ovvero una trasformazione è canonica se e solo se esiste F tale che
$$P\dot Q - K = p\dot q -H + \frac{dF}{dt}$$
questa è la definizione di generatore, se non ho capito male
Eh buh chi si ricorda. Mi pare di si ma non è cosa di mettersi a dimostrarlo adesso. Ti ripeto, se stai leggendo lo Strumia abbassa un po' il livello di pretesa matematica e vai avanti. Poi quando hai tempo ti vedi tutto per bene dall'Arnol'd o da dove vuoi.
Pardon...cosa intendi con "livello di pretesa matematica"? Cioè cosa scrivo nei miei appunti?
Questo non te lo posso dire io. Scrivici quello che trovi nel libro. Pure secondo me non è corretto, ma se devi fare l'esame...
Supponendo che a me piaccia la materia non solo in funzione dell'esame, e quindi ci tengo a non scrivere fregnaccie (o a essere convinto di fregnacce) cosa posso fare?
Senti, per il momento vai avanti, fai un atto di fede. Vedo di darci un'occhiata io dopo, vediamo se riusciamo a trovare una spiegazione più convincente. Ricordamelo se ti sembra che me ne sia scordato
"newton_1372":
Supponendo che a me piaccia la materia non solo in funzione dell'esame, e quindi ci tengo a non scrivere fregnaccie (o a essere convinto di fregnacce) cosa posso fare?
Ehm... Contattare il docente e chiedere lumi a lui?
A me sembra una buona idea, tanto per cominciare.
Ne ho contattati anche piu di uno..purtroppo non sono riuscito a dissipare. Sono nella più totale disperazione (perchè non sono riuscito a scrivere x bene i miei appunti).
In giro trovo fonti che dicono che tutte le trasf. canoniche sono solo quelle per cui esiste una funzione generatrice...in realtà io ho scritto nel forum per capire bene l'argomentazione offerta dallo Strumia (oltre che dal Goldstein, dal Landau e altri). Credevo fosse un problema di calcolo delle variazioni (e quindi di analisi matematica) in fin dei conti...
Io ho due funzionali
$F:(q,p)\mapsto \int_{t_a}^{t_b} f(q,p.t) dt =0$
$G:(Q,P) \mapsto \int_{t_a}^{t_b} g(Q,P,t) dt=0$
E ho l'informazione che
$\delta F = 0$
$\delta G=0$.
Da questo posso dedurre che
$F=G+\frac{d\psi}{dt}$
dove $\psi$ è una qualsiasi funzione coinvolgente q,p,Q,P?
In giro trovo fonti che dicono che tutte le trasf. canoniche sono solo quelle per cui esiste una funzione generatrice...in realtà io ho scritto nel forum per capire bene l'argomentazione offerta dallo Strumia (oltre che dal Goldstein, dal Landau e altri). Credevo fosse un problema di calcolo delle variazioni (e quindi di analisi matematica) in fin dei conti...
Io ho due funzionali
$F:(q,p)\mapsto \int_{t_a}^{t_b} f(q,p.t) dt =0$
$G:(Q,P) \mapsto \int_{t_a}^{t_b} g(Q,P,t) dt=0$
E ho l'informazione che
$\delta F = 0$
$\delta G=0$.
Da questo posso dedurre che
$F=G+\frac{d\psi}{dt}$
dove $\psi$ è una qualsiasi funzione coinvolgente q,p,Q,P?
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