Quesito di calcolo delle variazioni

[Newton_1372]

Se ho una funzione H(q,p), e una trasformazione Q(q,p),P(q,p) tali che esiste una funzione K(Q,P) soddisfacente
$$\delta \int P\dot Q - K dt =0$$ (1)
e supponiamo inoltre che valga anche
$$\delta \int p\dot q - H dt =0$$ (2)

Con queste due ipotesi, dono in grado di dire che i due integrali sono uguali a meno di una derivata rispetto a t, cioè che vale

$P\dot Q-K =\lambda(p\dot q - H) +\frac{df}{dt}$?


Grazie mille!

[dissonance]

Non è tanto un problema di analisi matematica quanto lo è di fisica matematica, questo linguaggio è molto più comune "di là".

Comunque, non mi pare tu abbia letto con attenzione il libro di Goldstein. Altrimenti sapresti che la risposta è no. Il problema è solo del libro di Strumia, che afferma maldestramente ci sia un "se e solo se". Questo è falso.

Come spiegato chiaramente sul libro di Goldstein (3a edizione, pag. 370), noi imponiamo che valga la relazione
\[
\delta \left( \int_{t_1}^{t_2} \dot{q}p-H(q,p)\, dt\right) = \delta \left( \int_{t_1}^{t_2} \dot{Q}P-K(Q, P)\, dt\right)=0, \]
e questo succede certamente se (non se e solo se)
\[\tag{1}
\lambda(\dot{q}p-H(q,p))=\dot{Q}P-K(Q, P)+\frac{dF}{dt}.\]
E' una scelta che noi facciamo quella di limitarci a trasformazioni del tipo (1). Dopo, con un argomento di scaling, decidiamo di limitarci ulteriormente al caso \(\lambda=1\).

Di queste cose, comunque, dovresti parlarne con qualche fisico e solo dopo aver letto con più attenzione le fonti che ti vengono suggerite.