Quesiti successioni
Ragazzi scusatemi il linguaggio matematico non adeguato ma non posso inserire il simbolo di limite o caricare una foto in quanto non avendo connessione in casa scrivo dallo smarphone(che non possiede il flash player).Chiedo quindi gentilmente ai moderatori se possono scriverlo al posto mio.
Il mio problema sono dei quesiti a quiz presenti nel compito sulle successioni.
Uno dei quesiti dice:
La condizione: "sommatoria per n che va da 1 a infinito di bn = - $ oo $
1)necessaria ma non sufficiente
2)sufficiente ma non necessaria
3)nè necessaria nè sufficiente
4)necessaria e sufficiente
" affinche la serie sommatoria per n che va da 1 a infinito di (1/n +bn) converga"
Sapreste darmi la risposta giusta e un metodo GENERALE per risolvere quesiti di questo tipo?
Grazie e scusate " il disagio"
Il mio problema sono dei quesiti a quiz presenti nel compito sulle successioni.
Uno dei quesiti dice:
La condizione: "sommatoria per n che va da 1 a infinito di bn = - $ oo $
1)necessaria ma non sufficiente
2)sufficiente ma non necessaria
3)nè necessaria nè sufficiente
4)necessaria e sufficiente
" affinche la serie sommatoria per n che va da 1 a infinito di (1/n +bn) converga"
Sapreste darmi la risposta giusta e un metodo GENERALE per risolvere quesiti di questo tipo?
Grazie e scusate " il disagio"
Risposte
Io direi che potresti cominciare a prendere qualche esempio concreto di serie e vedere come vanno le cose...
..non è il mio primo approccio con le serie e conosco i vari teoremi sia per risolverle che per studiarle come la condizione necessaria per la convergenza e la condizione necessaria e sufficiente di cauchy...
In un altro c'era ad esempio
la condizione : limite per n che tende ad infinito di log(1+an)=0
Ovviamente il log per fare 0 deve avere come argomento 1 quindi la successione an deve essere infinitesima.
Quindi la condizione precedente è solo necessaria perchè soddisfa quella necessaria..ma nell'esempio precedente?
In un altro c'era ad esempio
la condizione : limite per n che tende ad infinito di log(1+an)=0
Ovviamente il log per fare 0 deve avere come argomento 1 quindi la successione an deve essere infinitesima.
Quindi la condizione precedente è solo necessaria perchè soddisfa quella necessaria..ma nell'esempio precedente?
Una delle due implicazioni salta prendendo $b_n = - 1/sqrt(n)$ ... Ti pare?
Ti resta da capire se è una condizione necessaria. La butto lì..
Riesci a trovare una $b_n$ tale che $sum_(n=1)^(oo) 1/n + b_n < +oo$, ma non sia verificata la condizione $sum_(n=1)^(oo) b_n = -oo$ ?
Ti resta da capire se è una condizione necessaria. La butto lì..
Riesci a trovare una $b_n$ tale che $sum_(n=1)^(oo) 1/n + b_n < +oo$, ma non sia verificata la condizione $sum_(n=1)^(oo) b_n = -oo$ ?
"Seneca":
Una delle due implicazioni salta prendendo $b_n = - 1/sqrt(n)$ ... Ti pare?
Ti resta da capire se è una condizione necessaria. La butto lì..
Riesci a trovare una $b_n$ tale che $sum_(n=1)^(oo) 1/n + b_n < +oo$, ma non sia verificata la condizione $sum_(n=1)^(oo) b_n = -oo$ ?
Ho capito perchè salta la sufficiente,in quanto prendendo come serie bn quella che hai detto u(la quale diverge a
Meno infinito)e "mettendola"nella serie insieme ad 1/n si hauna serie la quale è differenza di due serie divergen,quindi divergente...per provare la parte necessaria basta prendere come bn la successione -1/n?essa è infatti infinitesim come 1/n ma diverge a -oo....
"cucinomojito90":
Ho capito perchè salta la sufficiente,in quanto prendendo come serie bn quella che hai detto u(la quale diverge a
Meno infinito)e "mettendola"nella serie insieme ad 1/n si hauna serie la quale è differenza di due serie divergen,quindi divergente...per provare la parte necessaria basta prendere come bn la successione -1/n?essa è infatti infinitesim come 1/n ma diverge a -oo....
Attento, non è vero che la differenza di due serie divergenti deve essere divergente. Il motivo per cui diverge $sum 1/n - 1/sqrt(n) $ è che l'ordine di infinitesimo del termine generale è l'ordine di infinitesimo di $1/sqrt(n)$; ed essendo $sum 1/sqrt(n) = +oo$, la serie $sum 1/n + b_n = -oo$.
Per la seconda questione, invece, io ti ho scritto...
"Seneca":
Riesci a trovare una $b_n$ tale che $sum_(n=1)^(oo) 1/n + b_n < +oo$, ma non sia verificata la condizione $sum_(n=1)^(oo) b_n = -oo$ ?
Ok ti ringrazio di cuore forse ho capito.Per svelare l'arcano ti faccio un altro esempio e mi dici se è corretto...
La condizione limite per n--> + oo di n* radice di n * an = 1 affinchè an converga è necessaria e sufficiente?
Infatti per smentire la parte sufficiente devo cercare un contro esempio in cui prendendo an divergente il limite risulti lo stesso 1.Questo non accade perchè l'unica an che soddisfi il limite è an=1/n^(3/2),quindi la parte sufficiente resta provata in quanto l'ultima successione è convergente.
Per confermare la parte necessaria mi pongo la domanda:è necessario che la successione an sia convergente affichè il limite faccia 1?questo accade per l'esempio precedente ovvero per la serie 1/n^3/2 ...giusto?
La condizione limite per n--> + oo di n* radice di n * an = 1 affinchè an converga è necessaria e sufficiente?
Infatti per smentire la parte sufficiente devo cercare un contro esempio in cui prendendo an divergente il limite risulti lo stesso 1.Questo non accade perchè l'unica an che soddisfi il limite è an=1/n^(3/2),quindi la parte sufficiente resta provata in quanto l'ultima successione è convergente.
Per confermare la parte necessaria mi pongo la domanda:è necessario che la successione an sia convergente affichè il limite faccia 1?questo accade per l'esempio precedente ovvero per la serie 1/n^3/2 ...giusto?
Di niente. Prima di risponderti devo capire la domanda; quindi ti invito ad imparare a scrivere le formule.
"Seneca":
Di niente. Prima di risponderti devo capire la domanda; quindi ti invito ad imparare a scrivere le formule.
Scusami ma purtroppo essendo dallo smartphone nn mi fa accedere alla simbologia per scrivere le formule
Il quesito è:
La condizione limite per n che tende a più infinito di : $n * sqrt(n) * an = 1 $ è
1)necessaria ma non sufficiente
2)sufficiente ma non necessaria
3)sufficiente e necessaria
4)nè sufficiente nè necessaria
Affinchè la successiame an converga
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo