Quesiti e richieste
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false e giustificare le risposte:
1) le funzioni f(x) = (x^2-9)/(x+3) e g(x)=x-3 sono uguali;
2) una funzione f che non sia crescente è decrescente;
3) la funzione f(x)= 2-log(x) è decrescente.
Verificare che la funzione f(x) = (x-1)/(x+2) è invertibile e determinare l'inversa
Inoltre qualcuno sa dove posso trovare prove di Istituzioni di Analisi Matematica e Geometria I (frequento il primo anno ad Architettura) visto che domani devo affrontare una prova intercorso
Grazie dell'aiuto
1) le funzioni f(x) = (x^2-9)/(x+3) e g(x)=x-3 sono uguali;
2) una funzione f che non sia crescente è decrescente;
3) la funzione f(x)= 2-log(x) è decrescente.
Verificare che la funzione f(x) = (x-1)/(x+2) è invertibile e determinare l'inversa
Inoltre qualcuno sa dove posso trovare prove di Istituzioni di Analisi Matematica e Geometria I (frequento il primo anno ad Architettura) visto che domani devo affrontare una prova intercorso
Grazie dell'aiuto
Risposte
1) Osserva che $f$ è definita in $RR\\{-3}$, mentre $g$
è definita in tutto $RR$, quindi due funzioni non possono
essere uguali se sono definite su domini diversi;
in questo caso, se $x= -3$, non puoi semplificare per niente $(x^2-9)/(x+3)$ in $x-3$ !
Si può però dire che le due funzioni sono uguali in $RR\\{-3}$, questo sì.
è definita in tutto $RR$, quindi due funzioni non possono
essere uguali se sono definite su domini diversi;
in questo caso, se $x= -3$, non puoi semplificare per niente $(x^2-9)/(x+3)$ in $x-3$ !
Si può però dire che le due funzioni sono uguali in $RR\\{-3}$, questo sì.
3) La funzione $f:RR^+ -> RR$ definita da $f(x)=2-logx$
risulta strettamente decrescente nel suo dominio, infatti
la somma di una funzione strettamente decrescente
(in questo caso $-logx$, opposta di $logx$ che è invece
strettamente crescente nel suo dominio) e di una costante
continua (ovviamente) ad essere strettamente decrescente.
risulta strettamente decrescente nel suo dominio, infatti
la somma di una funzione strettamente decrescente
(in questo caso $-logx$, opposta di $logx$ che è invece
strettamente crescente nel suo dominio) e di una costante
continua (ovviamente) ad essere strettamente decrescente.
2) Assumo che $f$ crescente in un dominio voglia dire
$AAx,y in "dom"f:xf(x)<=f(y)
Neghiamo questa definizione:
$EE "una coppia (x,y)" in "dom"f : xf(x)>f(y)$
ma questo non vuol dire che $f$ è necessariamente
decrescente, infatti abbiamo solo stabilito che
ESISTE ALMENO UNA coppia di punti del dominio
tali che non è vero il fatto che $f$ è crescente.
$AAx,y in "dom"f:x
Neghiamo questa definizione:
$EE "una coppia (x,y)" in "dom"f : x
ma questo non vuol dire che $f$ è necessariamente
decrescente, infatti abbiamo solo stabilito che
ESISTE ALMENO UNA coppia di punti del dominio
tali che non è vero il fatto che $f$ è crescente.
"fireball":
... $f$ è definita in $RR\\{-3}$, mentre $g$è definita in tutto $RR$, quindi due funzioni non possonoessere uguali se sono definite su domini diversi... se $x= -3$, non puoi semplificare per niente $(x^2-9)/(x+3)$ in $x-3$!...
Tra i tanti 'misteri' della matematica che non riesco ad afferrare uno dei più 'misteriosi' è il seguente: chi è stato il primo ad affermare l'evidente non senso scritto qui sopra...
Per dimostrare l'assoluta assurdità di detto 'assioma' basterebbe ricordare quante volte nei caocloli ciascuno di noi ha semplificato termini comuni a numeratore e denominatore di una frazione senza darsi la pena di chioedersi se questa operazione fosse o no 'permessa'. Lo si è fatto e basta!... Dal momento che ripetere all'infinito la stessa cosa è cosa del tutto inutile voglio supporre che l'affermazione qui sopra sia 'esatta' e portarla fino alle estreme conseguenze. Per prima cosa introdurrò un nuovo tipo di 'funzione' che chiamerò 'funzione meraviglia'. Questa è fuznione di due variabili, $x$ e $y$, così definita...
$f_m(x,y)= (x-y)/(x-y)$ (1)
Siamo tutti d'accordo, tanto per cominciare, su questo : la funzione $f_m (x,y)$ e la funzione $f(x,y)=1$ non sono uguali in quanto non hanno lo stesso dominio?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"Per dimostrare l'assoluta assurdità di detto 'assioma' basterebbe ricordare quante volte nei caocloli ciascuno di noi ha semplificato termini comuni a numeratore e denominatore di una frazione senza darsi la pena di chioedersi se questa operazione fosse o no 'permessa'."
Forse non hai mai preso 3 a scuola per aver semplificato un fattore senza prima curarti che fosse diverso da 0. Esistono tanti bei giochini che mostrano che questa operazione porta a concludere che 1=2, per esempio. Non ti sembra assurdo abbastanza? Per me faresti bene a tornare a scuola.
Comunque andiamo pure avanti; sono curioso di vedere a quale contraddizione arrivi se "supponiamo" che le due funzioni da te postate siano diverse.
Forse non hai mai preso 3 a scuola per aver semplificato un fattore senza prima curarti che fosse diverso da 0. Esistono tanti bei giochini che mostrano che questa operazione porta a concludere che 1=2, per esempio. Non ti sembra assurdo abbastanza? Per me faresti bene a tornare a scuola.
Comunque andiamo pure avanti; sono curioso di vedere a quale contraddizione arrivi se "supponiamo" che le due funzioni da te postate siano diverse.
Si dà purtroppo il caso che, non fosse che per ragioni squisitamente anagrafiche, a scuola non mi accettano più 
Comunque caro Luca, già che sei intevenuto, ipotizziamo allora che le funzioni $f_m(x,y)=(x-y)/(x-y) $ e $u(x,y)=1$ sono diverse in quanto 'non hanno lo stesso dominio'... In questo caso ho pronta una nuova domanda che potrai leggere tre postati più avanti
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Comunque caro Luca, già che sei intevenuto, ipotizziamo allora che le funzioni $f_m(x,y)=(x-y)/(x-y) $ e $u(x,y)=1$ sono diverse in quanto 'non hanno lo stesso dominio'... In questo caso ho pronta una nuova domanda che potrai leggere tre postati più avanti
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Temo che una delle due non sia definita in (0,0)...
Non si può rispondere ad una domanda, se la domanda non è stata posta, quindi non sono io che scrivo cose senza senso.
Ti ricordi la definizione di funzione? Tu stesso dicesti di essere d'accordo con me su essa; ti rinfresco la memoria.
Una funzione $f$ da $A$ a $B$ è una relazione tra i due insiemi $A$ e $B$ tale per cui per ogni $x \in A$ esiste uno ed un solo $y \in B$ con $xfy$, e si scrive $y=f(x)$.
Dunque assegnare una funzione non significa dire solo com'è $y$ una volta noto $x$, ma va anche detto obbligatoriamente dove stanno $x$ e $y$, ovvero vanno dichiarati gli insiemi $A$ e $B$; dunque la tua richiesta è incompleta.
Ti ricordi la definizione di funzione? Tu stesso dicesti di essere d'accordo con me su essa; ti rinfresco la memoria.
Una funzione $f$ da $A$ a $B$ è una relazione tra i due insiemi $A$ e $B$ tale per cui per ogni $x \in A$ esiste uno ed un solo $y \in B$ con $xfy$, e si scrive $y=f(x)$.
Dunque assegnare una funzione non significa dire solo com'è $y$ una volta noto $x$, ma va anche detto obbligatoriamente dove stanno $x$ e $y$, ovvero vanno dichiarati gli insiemi $A$ e $B$; dunque la tua richiesta è incompleta.
Ipotizziamo allora che le funzioni $f_m(x,y)=(x-y)/(x-y) $ e $u(x,y)=1$ sono diverse in quanto 'non hanno lo stesso dominio'...
Molto bene!... Parliamo ora di un'altra funzione che definiamo 'funzione meraviglia al quadrato'. E' cosa nota che i numeri razionali positivi [ossia strettamente $>0$...] sono un insieme numerabile. Indicando con $a_n$ con $n=1,2,...$ un generico elemento di tale insieme definiamo la funzione 'meraviglia al quadrato' in questo modo...
$f_(m^2) (x) = prod_(n=1)^(+oo) f_m(x,a_n)$ (1)
Domanda: qual è il dominio della $f_(m^2) (x)$?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Molto bene!... Parliamo ora di un'altra funzione che definiamo 'funzione meraviglia al quadrato'. E' cosa nota che i numeri razionali positivi [ossia strettamente $>0$...] sono un insieme numerabile. Indicando con $a_n$ con $n=1,2,...$ un generico elemento di tale insieme definiamo la funzione 'meraviglia al quadrato' in questo modo...
$f_(m^2) (x) = prod_(n=1)^(+oo) f_m(x,a_n)$ (1)
Domanda: qual è il dominio della $f_(m^2) (x)$?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Perdonami le parole lupo grigio, non sono abituato a insultare nessuno, ma: ci sei o ci fai?
Non ha nessuna importanza che tu continui a dare funzioni su funzioni senza dire dove sono definite, tutto quello che deduci non ha senso se non dove definisci quello da cui parti.
Ti ripeto che tu stesso hai accettato la definizione di funzione in uno degli innumerevoli post in cui questa questione è nata; di conseguenza, se accetti la definizione, devi dare una funzione secondo la definizione, altrimenti sei tu a scrivere cose senza senso.
Non ha nessuna importanza che tu continui a dare funzioni su funzioni senza dire dove sono definite, tutto quello che deduci non ha senso se non dove definisci quello da cui parti.
Ti ripeto che tu stesso hai accettato la definizione di funzione in uno degli innumerevoli post in cui questa questione è nata; di conseguenza, se accetti la definizione, devi dare una funzione secondo la definizione, altrimenti sei tu a scrivere cose senza senso.
Mi pare che qualcunoi abbia perso di vista il nocciolo del problema e per far questo non saròà fuori lugo ripetere passo-passo il come sia nata quedsta discussione. La sostanza del 'motivo del contendere', almeno come la vedo io, è questa...
Siano date due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ definite in un certo intevallo e tale che per ogni $x$ in detto intervallo sia $f(x)=g(x)$. Ipotizziamo poi che vi sia un $x_0$ per cui è $f(x_0)=g(x_0)=0$. Considerando ora la funzione $psi(x)$ definita come...
$psi(x) = f(x)/g(x)$ (1)
... ci troviamo di fronte a due 'corni' di un 'dilemma'...
a) per tutti i valori di $x$ è $psi(x)=1$
b) per tutti i valori di $x$ è $psi(x)=1$ fuorchè per $x=x_0$ dove $psi(x)$ è 'non definita'
Chi scrive è dell'idea che l'alternativa 'valida' sia la a). Per provare questo supponiamo il contrario, ossia che sia 'valida' l'alternativa b). In tal caso consideriamo da prima il caso...
$f(x)=g(x)=x-a$ (2)
Se è valida la b) allora $psi(x)$ sarà unitaria ovunque tranne che per $x=a$ dove è 'non definita'. Consideriamo ora il caso...
$f(x)=g(x)= prod_(n=1)^(+oo) (x-a_n)$ (3)
... ove $a_n$ è un generico numero razionale positivo. Se è valida la b) allora $psi(x)$ sarà unitaria uvunque tranne che per $x=a_n$, ossia per $x$ numero razionale positivo. Consideriamo ora il caso...
$f(x)=g(x)= 1-prod_(n=1)^(+oo) (x-a_n)$ (4)
... ove le $a_n$ sono ancora l'insieme dei numeri razionali positivi. Se la b) è valida allora $psi(x)$ non è definita per alcun valore di $x$ cioè non è una funzione. Dal momento che l'aver supposto valida la b) ci ha portato ad un evidente assurdo, resta dimostrato che l'alternativa 'valida' è la a)...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Siano date due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ definite in un certo intevallo e tale che per ogni $x$ in detto intervallo sia $f(x)=g(x)$. Ipotizziamo poi che vi sia un $x_0$ per cui è $f(x_0)=g(x_0)=0$. Considerando ora la funzione $psi(x)$ definita come...
$psi(x) = f(x)/g(x)$ (1)
... ci troviamo di fronte a due 'corni' di un 'dilemma'...
a) per tutti i valori di $x$ è $psi(x)=1$
b) per tutti i valori di $x$ è $psi(x)=1$ fuorchè per $x=x_0$ dove $psi(x)$ è 'non definita'
Chi scrive è dell'idea che l'alternativa 'valida' sia la a). Per provare questo supponiamo il contrario, ossia che sia 'valida' l'alternativa b). In tal caso consideriamo da prima il caso...
$f(x)=g(x)=x-a$ (2)
Se è valida la b) allora $psi(x)$ sarà unitaria ovunque tranne che per $x=a$ dove è 'non definita'. Consideriamo ora il caso...
$f(x)=g(x)= prod_(n=1)^(+oo) (x-a_n)$ (3)
... ove $a_n$ è un generico numero razionale positivo. Se è valida la b) allora $psi(x)$ sarà unitaria uvunque tranne che per $x=a_n$, ossia per $x$ numero razionale positivo. Consideriamo ora il caso...
$f(x)=g(x)= 1-prod_(n=1)^(+oo) (x-a_n)$ (4)
... ove le $a_n$ sono ancora l'insieme dei numeri razionali positivi. Se la b) è valida allora $psi(x)$ non è definita per alcun valore di $x$ cioè non è una funzione. Dal momento che l'aver supposto valida la b) ci ha portato ad un evidente assurdo, resta dimostrato che l'alternativa 'valida' è la a)...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Non vedo nessun assurdo, come non ho capito perchè la 4 non viene definita per nessun x.
In effetti ho buttato giù la cosa in fretta perchè dovevo prendere l'autobus e così ho 'ciccato''... 
La 'funzione' non definita per alcun valore della $x$ è la seguente...
$psi(x)= f(x)/g(x)$ , $f(x)=g(x)= 1-(prod_(n=1)^(+oo) (x-a_n))/(prod_(n=1)^(+oo) (x-a_n))$ (1)
... essendo $a_n$ un generico razionale positivo. Il perchè $psi(x)$ non sia definita per alcun valore di $x$ se si accetta come valida l'alternativa b) è del tutto ovvio...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
La 'funzione' non definita per alcun valore della $x$ è la seguente...
$psi(x)= f(x)/g(x)$ , $f(x)=g(x)= 1-(prod_(n=1)^(+oo) (x-a_n))/(prod_(n=1)^(+oo) (x-a_n))$ (1)
... essendo $a_n$ un generico razionale positivo. Il perchè $psi(x)$ non sia definita per alcun valore di $x$ se si accetta come valida l'alternativa b) è del tutto ovvio...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Non è nè ovvio, nè c'è un assurdo: la funzione $\psi$ che hai scritto ha come "dominio naturale" l'insieme $(-\infty,0)$ unito agli irrazionali positivi. In tale insieme la funzione vale $0$.
Dunque... vediamo di capirci un poco...
Poniamo...
$f(x)=g(x)= 1-(prod_(n=1)^(+oo) (x-a_n))/(prod_(n=1)^(+oo) (x-a_n))$ (1)
Per le considerazioni fatte in precedenza la funzione...
$p(x)= (prod_(n=1)^(+oo) (x-a_n))/(prod_(n=1)^(+oo) (x-a_n))$ (2)
... vale $1$ ovunque tranne che per $x$ razionale positivo dove è 'non definita'. Ok fin qui?...
Da ciò consegue che $f(x)$ e $g(x)$ valgono $0$ ovunque tranne che per $x$ razionale positivo dove sono 'non definite'. Ok fin qui?... Ora consideriamo la funzione...
$psi(x)= f(x)/g(x)$ (3)
Ovunque tranne che per $x$ razionale positivo è $f(x)=g(x)=0$ per cui $psi(x)=0/0$ è 'non definita'. Per $x$ razionale positivo sia $f(x)$ sia $g(x)$ sono 'non definite' per cui anche $psi(x)$ è 'non definita'. Morale della favola $psi(x)$ è 'non definita' ovunque...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Poniamo...
$f(x)=g(x)= 1-(prod_(n=1)^(+oo) (x-a_n))/(prod_(n=1)^(+oo) (x-a_n))$ (1)
Per le considerazioni fatte in precedenza la funzione...
$p(x)= (prod_(n=1)^(+oo) (x-a_n))/(prod_(n=1)^(+oo) (x-a_n))$ (2)
... vale $1$ ovunque tranne che per $x$ razionale positivo dove è 'non definita'. Ok fin qui?...
Da ciò consegue che $f(x)$ e $g(x)$ valgono $0$ ovunque tranne che per $x$ razionale positivo dove sono 'non definite'. Ok fin qui?... Ora consideriamo la funzione...
$psi(x)= f(x)/g(x)$ (3)
Ovunque tranne che per $x$ razionale positivo è $f(x)=g(x)=0$ per cui $psi(x)=0/0$ è 'non definita'. Per $x$ razionale positivo sia $f(x)$ sia $g(x)$ sono 'non definite' per cui anche $psi(x)$ è 'non definita'. Morale della favola $psi(x)$ è 'non definita' ovunque...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ah ok, scusa avevo letto male una seconda volta la funzione.
Sì, non viene ben definita in nessun punto, e allora? qual è il problema? non c'è nessun assurdo logico. Anche la funzione $f(x)=1/(x-x)$ non è ben definita in nessun punto, non serviva scomodare cose più complicate....
Sì, non viene ben definita in nessun punto, e allora? qual è il problema? non c'è nessun assurdo logico. Anche la funzione $f(x)=1/(x-x)$ non è ben definita in nessun punto, non serviva scomodare cose più complicate....
"lupo grigio":
Tra i tanti 'misteri' della matematica che non riesco ad afferrare uno dei più 'misteriosi' è il seguente: chi è stato il primo ad affermare l'evidente non senso scritto qui sopra...
Per dimostrare l'assoluta assurdità di detto 'assioma'...
Carlo, posto che io non c'entro con le vostre "discussioni",
credo di aver risposto in base a quello che mi hanno insegnato
e che ho studiato sul libro di Analisi I... A meno che
non io non abbia capito nulla di come stanno le cose nella Matematica...
Temo proprio che con uno che per giustificare evidenti assurdità è arrivato al punto di considerare 'funzione della $x$' una espressione 'senza significato' come $f(x)=1/0$ prolungare la 'discussione' sia solo perdita di tempo e pertanto qui da parte mia finisce... 
Ai lettori vorrei invece proporre un esercizio 'facile': risolvere, senza ricorrere in alcun modo alla regola che consente di semplificare una frazione, il seguente integrale indefinito...
$int x/(x-1)*dx$ (1)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ai lettori vorrei invece proporre un esercizio 'facile': risolvere, senza ricorrere in alcun modo alla regola che consente di semplificare una frazione, il seguente integrale indefinito...
$int x/(x-1)*dx$ (1)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"fireball":
Carlo, posto che io non c'entro con le vostre "discussioni", credo di aver risposto in base a quello che mi hanno insegnato e che ho studiato sul libro di Analisi I... A meno che
non io non abbia capito nulla di come stanno le cose nella Matematica...
Caro fireball
il problema sta proprio in questi termini... è semplicemente devastante il pensare che all'Università pompino in testa ai giovani emerite 'farloccate' che poi rischiano di portarsi dietro per chissà quanti anni...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ah perchè invece scrivere $0/0$ di significato ne ha tanto, vero? La famosa funzione $(sen x)/x$ definita in $0$ direi che ha moltissimo significato. Perchè perdi tutto questo tempo arramipicandoti ogni volta sugli specchi? Meglio che fai l'ingegnere, sperando che ti riesca meglio del matematico improvvisato.
E comunque sto ancora aspettando "l'evidente assurdità" che segue da quello che hai fatto: in Matematica ci si ferma solo davanti a contraddizioni logiche, ed io per ora non ne vedo.
E comunque sto ancora aspettando "l'evidente assurdità" che segue da quello che hai fatto: in Matematica ci si ferma solo davanti a contraddizioni logiche, ed io per ora non ne vedo.
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