Quanti zeri ammette la funzione
So che per trovare uno zero devo porre $f(x)=0$, ma per sapere quanti zeri ammette?
Ho letto che devo studiare la crescenza e la decrescenza, ma c'ho capito poco. Ovviamente potrei andare a costruire il grafico e poi osservarlo, ma la mia professoressa vuole una risposta diretta al quesito!
Ho letto che devo studiare la crescenza e la decrescenza, ma c'ho capito poco. Ovviamente potrei andare a costruire il grafico e poi osservarlo, ma la mia professoressa vuole una risposta diretta al quesito!
Risposte
oddeo ma così è molto generico...
vediamo... se hai una funzione continua su un intervallo compatto e agli estremi dell'intervallo essa assume valori discordi (di segno opposto), allora sicuramente ha almeno uno zero.
se la stessa funzione ha una monotonia stretta, allora sicuramente ammette un solo zero.
se la funzione è monotona, ma non strettamente, potrebbe avere un'infinità di zeri... va studiata la sua derivata in questo caso.
se una funzione non è monotona, va studiata la sua derivata. allora ti riduci ai casi precedenti in sottointervalli dell'insieme di partenza. laddove infatti la derivata non cambia segno, hai un comportamento monotono.
non mi viene altro in mente adesso
vediamo... se hai una funzione continua su un intervallo compatto e agli estremi dell'intervallo essa assume valori discordi (di segno opposto), allora sicuramente ha almeno uno zero.
se la stessa funzione ha una monotonia stretta, allora sicuramente ammette un solo zero.
se la funzione è monotona, ma non strettamente, potrebbe avere un'infinità di zeri... va studiata la sua derivata in questo caso.
se una funzione non è monotona, va studiata la sua derivata. allora ti riduci ai casi precedenti in sottointervalli dell'insieme di partenza. laddove infatti la derivata non cambia segno, hai un comportamento monotono.
non mi viene altro in mente adesso
"Ziel van brand":
se la stessa funzione ha una monotonia stretta, allora sicuramente ammette un solo zero.
Falso. $f(x)=e^x$
Ripeto: e se la funzione assume valori discordi agli estremi dell'intervallo
"Ziel van brand":
oddeo ma così è molto generico...
vediamo... se hai una funzione continua su un intervallo compatto e agli estremi dell'intervallo essa assume valori discordi (di segno opposto), allora sicuramente ha almeno uno zero.
se la stessa funzione ha una monotonia stretta, allora sicuramente ammette un solo zero.
se la funzione è monotona, ma non strettamente, potrebbe avere un'infinità di zeri... va studiata la sua derivata in questo caso.
se una funzione non è monotona, va studiata la sua derivata. allora ti riduci ai casi precedenti in sottointervalli dell'insieme di partenza. laddove infatti la derivata non cambia segno, hai un comportamento monotono.
non mi viene altro in mente adesso
Mentre in situazioni in cui la funzione esiste in intervalli con punti di discontinuità e con estremi dell'intervallo aperti? In che modo studio la monotonia?
se è definita su un aperto, penso basti vedere che i limiti agli estremi siano discordi. e poi il ragionamento ritorna ad essere quello di prima.
se hai invece punti di discontinuità....
uhm... beh, puoi restringerti in sotto intervalli che hanno gli estremi nei punti di discontinuità ad esempio.
ma tutto questo mi sembra comunque un discorso molto vasto... sicuro che la domanda sia così generica?
se hai invece punti di discontinuità....
uhm... beh, puoi restringerti in sotto intervalli che hanno gli estremi nei punti di discontinuità ad esempio.
ma tutto questo mi sembra comunque un discorso molto vasto... sicuro che la domanda sia così generica?
Ciao
avevamo proposto a MrMazzar alcuni esempi per esercitarsi, li ricordo:
quante radici ammettono (anche nessuna) le seguenti equazioni
1)$x^3+3^x=0$
2)$sqrtx-lnx=0$
avevamo proposto a MrMazzar alcuni esempi per esercitarsi, li ricordo:
quante radici ammettono (anche nessuna) le seguenti equazioni
1)$x^3+3^x=0$
2)$sqrtx-lnx=0$
Devo trovare il valore delle x in quei casi?
No, non il valore proprio: mi basta di sapere se ci sono soluzioni e quante.
Sinceramente trovo molte difficoltà nel calcolare quelle equazioni..
uhm...
quando $\sqrt x - ln x = 0$?
quando $\sqrt x = ln x$... e tu sai disegnare i grafici di queste due funzioni... se si intersecano... hai uno zero. il numero di volte in cui si intersecano è il numero di zeri della funzione data.
quando $\sqrt x - ln x = 0$?
quando $\sqrt x = ln x$... e tu sai disegnare i grafici di queste due funzioni... se si intersecano... hai uno zero. il numero di volte in cui si intersecano è il numero di zeri della funzione data.
Due cose non mi sono chiare:
- Gli zeri non sono punti d'intersezione con l'asse delle x?
- Se non ho due funzioni elementari come in questo caso, come mi comporto?
- Gli zeri non sono punti d'intersezione con l'asse delle x?
- Se non ho due funzioni elementari come in questo caso, come mi comporto?
ok, mi spiego in maniera più generica e, spero, completa:
l'esercizio che hai di fronte ti chiede di trovare quanti (non QUALI, solo QUANTI) zeri ha la funzione $f(x)$.
cioè devi trovare per QUANTE $x$, si verifica che $f(x) = 0$.
ora, ipotizziamo che la funzione $f(x)$ si possa scrivere come differenza di due funzioni più semplici, $g(x)$ e $h(x)$,che sai disegnare: $f(x) = g(x) - h(x)$
allora la richiesta si traduce in: per QUANTE $x$, si verifica che $g(x) - h(x)= 0 <=> g(x) = h(x)$.
cosa significa l'ultimissima scrittura? due funzioni sono uguali in un punto di ascisse $x$, quando le rispettive immagini $g(x)$ e $h(x)$ sono uguali. cioè quando $g(x) = h(x)$
riassumendo il concetto: se la $f(x)$ che hai si può scrivere come differenza di due funzioni, trovare gli zeri di tale $f$ equivale a cercare le intersezioni delle due funzioni.
disegnare le due funzioni sullo stesso grafico è un modo rapido per vedere se si intersecano.
l'esercizio che hai di fronte ti chiede di trovare quanti (non QUALI, solo QUANTI) zeri ha la funzione $f(x)$.
cioè devi trovare per QUANTE $x$, si verifica che $f(x) = 0$.
ora, ipotizziamo che la funzione $f(x)$ si possa scrivere come differenza di due funzioni più semplici, $g(x)$ e $h(x)$,che sai disegnare: $f(x) = g(x) - h(x)$
allora la richiesta si traduce in: per QUANTE $x$, si verifica che $g(x) - h(x)= 0 <=> g(x) = h(x)$.
cosa significa l'ultimissima scrittura? due funzioni sono uguali in un punto di ascisse $x$, quando le rispettive immagini $g(x)$ e $h(x)$ sono uguali. cioè quando $g(x) = h(x)$
riassumendo il concetto: se la $f(x)$ che hai si può scrivere come differenza di due funzioni, trovare gli zeri di tale $f$ equivale a cercare le intersezioni delle due funzioni.
disegnare le due funzioni sullo stesso grafico è un modo rapido per vedere se si intersecano.
Ora mi è tutto chiaro!
Ma se ho una $f(x)$ complessa, che non si può dividere in due funzioni, oltre a porla $= 0$ e vedere quanti risultati mi da, come studio la monotonia e/o la derivata per ottenere ciò che voglio?
Ma se ho una $f(x)$ complessa, che non si può dividere in due funzioni, oltre a porla $= 0$ e vedere quanti risultati mi da, come studio la monotonia e/o la derivata per ottenere ciò che voglio?
mazzarr, è questione di pratica. ed è questione di applicare constatazioni simili a quelle che ti ho scritto in un messaggio nella pagina precedente.
"Mr.Mazzarr":
Ora mi è tutto chiaro!
Bene, ma non hai ancora risposto.
"gio73":
[quote="Mr.Mazzarr"]Ora mi è tutto chiaro!
Bene, ma non hai ancora risposto.[/quote]
$x^3 = 3^x$
Confrontando i grafici ( osservo il grafico della funzione esponenziale $e^x$, non è facile dirlo. Entrambi si dilungano verso $+oo$ nel primo quadrante, ma credo ci sia almeno un punto d'intersezione.
$logx = sqrt(x)$
Confrontando i grafici, hanno un andamento molto simile quindi direi che sì, c'è almeno un punto d'intersezione.
"Ziel van brand":
Ripeto: e se la funzione assume valori discordi agli estremi dell'intervallo
Scusami, avevo letto male.
"Mr.Mazzarr":
[quote="gio73"][quote="Mr.Mazzarr"]Ora mi è tutto chiaro!
Bene, ma non hai ancora risposto.[/quote]
$logx = sqrt(x)$ 1
Confrontando i grafici, hanno un andamento molto simile quindi direi che sì, c'è almeno un punto d'intersezione.[/quote]
Sicuro? A me non sembra.
Consideriamo la funzione $h : ]0,+\infty[->RR$ tale che $h(X)=log(x)-\sqrt(x)$. Vogliamo vedere se $EE \delta \in ]0,+\infty[ t.c h(\delta)=0$.
Notiamo che $lim_{x->0^+}h(x)=lim_{x->-\infty}h(x)=-\infty$.(1)
Determiniamo gli intervalli di monotonia di $h$.
$h'(X)= 1/x - 1/(2\sqrt(x)) = 1/x-(\sqrt(x))/(2x) = (2-\sqrt(x))/x$
$h'(X) = 0 <=> x=4$ da uno studio veloce di $f'>0$ si evince che f è monotona strettamente crescente in $]0,4[ $ e strettamente decrescente in $]4,+\infty[$ e si ha che $4$ è punto di massimo assoluto.
$f(4) = log(4) - 2<0$ , infatti se per assurdo $log(4) -2>0 <=> ln(4) >2 <=> 4>e^2$ ma $e > 2 => e^2>4$ quindi vale $<$.
Quindi, mettendo insieme i cocci.. $f(x) < 0$ per ogni $x \in ]0,+\infty[$
"Mr.Mazzarr":
[quote="gio73"][quote="Mr.Mazzarr"]Ora mi è tutto chiaro!
Bene, ma non hai ancora risposto.[/quote]
$x^3 = 3^x$
Confrontando i grafici ( osservo il grafico della funzione esponenziale $e^x$, non è facile dirlo. Entrambi si dilungano verso $+oo$ nel primo quadrante, ma credo ci sia almeno un punto d'intersezione.
[/quote]
Sì mi sa che sta volta ci hai preso, è giusto, si intersecano e lo zero è unico . Ti invito però a mostrarlo formalmente.
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