Qualcuno è in grado di aiutarmi con questo limite?
Ragazzi scusate lo so che rompo, ma sto cercando di imparare a fare questi maledetti limiti in due variabili.
Ora mi è capitato un altro esercizio:
Dire per quali $alpha$ esiste finito il limite:
$lim_((x,y)->(0,0)) (x^6+y^6)/(x^4+y^4-|xy|^alpha)$
Che sarebbe come chiedere per quali $alpha$ quel limite fa zero.. e come si fa?? Ho provato a vedere quando $|xy|^alpha$ è $o(x^4+y^4)$ e mi viene fuori quando $alpha>2$ e in effetti in quel caso il limite fa zero. Ma ho visto che il limite fa zero anche se $alpha=2$... Dal calcolatore online ho visto che quando $alpha=1$ il grafico della funzione è strano nell'intorno $(0,0)$ e questo mi fa pensare che gia in quel caso il limite non esiste... Che devo fare? qualcuno può indicarmi la via?
Ora mi è capitato un altro esercizio:
Dire per quali $alpha$ esiste finito il limite:
$lim_((x,y)->(0,0)) (x^6+y^6)/(x^4+y^4-|xy|^alpha)$
Che sarebbe come chiedere per quali $alpha$ quel limite fa zero.. e come si fa?? Ho provato a vedere quando $|xy|^alpha$ è $o(x^4+y^4)$ e mi viene fuori quando $alpha>2$ e in effetti in quel caso il limite fa zero. Ma ho visto che il limite fa zero anche se $alpha=2$... Dal calcolatore online ho visto che quando $alpha=1$ il grafico della funzione è strano nell'intorno $(0,0)$ e questo mi fa pensare che gia in quel caso il limite non esiste... Che devo fare? qualcuno può indicarmi la via?
Risposte
$lim_((x,y)->(0,0)) (x^6+y^6)/(x^4+y^4-|xy|^alpha)$
*Per $alpha=2$ la funzione è omogenea di grado 2, quindi il limite esiste e vale $0$.
*Per $alpha ne 2$ ricorriamo alle coordinate polari:
$=>lim_(rho->0^+) (rho^6(cos^6 theta+sin^6 theta))/(rho^4(cos^4 theta + sin^4 theta)-rho^(2alpha) |cos^alpha theta sin^alpha theta|)<=(rho^6)/(rho^4 (cos^4 theta + sin^4 theta)-rho^(2alpha) |cos^alpha theta sin^alpha theta|)$
*Per $alpha>2$ il secondo termine al denominatore è infinitesimo di grado superiore, quindi lo eliminiamo ottenendo:
$=>lim_(rho->0^+) (rho^6)/(rho^4 (cos^4 theta + sin^4 theta))=(rho^2)/Theta=0$
dove $Theta=min(cos^4 theta + sin^4 theta)$.
*Per $0
$=>lim_(rho->0^+) (rho^6)/(-rho^(2alpha) |cos^alpha theta sin^alpha theta|)=(rho^4)/(-rho^alpha |cos^alpha theta sin^alpha theta|)=0$
poiché $alpha$ "al massimo" tende a $2$, e quindi il numeratore è infinitesimo di ordine superiore rispetto al denominatore.
Brancaleone ti ringrazio infinitamente! Mi hai fatto capire come si fanno esercizi del genere!
Non ho capito però una tua affermazione: "Per $alpha=2$ la funzione è omogenea di grado 2, quindi il limite esiste e vale 0"
In questo caso è vero e l'ho verificato, ma a te è bastato osservare che la funzione è omogenea e di grado 2 per dire che il limite esiste e fa zero. Ti vorrei chiedere perchè ti è bastato fare questa osservazione per arrivare a questa conclusione???
Non ho capito però una tua affermazione: "Per $alpha=2$ la funzione è omogenea di grado 2, quindi il limite esiste e vale 0"
In questo caso è vero e l'ho verificato, ma a te è bastato osservare che la funzione è omogenea e di grado 2 per dire che il limite esiste e fa zero. Ti vorrei chiedere perchè ti è bastato fare questa osservazione per arrivare a questa conclusione???
E poi un'altra cosa: il caso in cui $alphaleq0$
Nel caso in cui $alpha=0$ abbiamo che
$lim_(rho->0)rho^6/(rho^4(cos^4(theta)+sin^4(theta))-rho^(2alpha)|cos^alpha(theta)sin^alpha(theta)|)=lim_(rho->0)rho^6/(rho^4(cos^4(theta)+sin^4(theta))-rho^(0)|cos^0(theta)sin^0(theta)|)=lim_(rho->0)rho^6/(rho^4(cos^4(theta)+sin^4(theta))-1)=0$
Nel caso in cui $alpha<0$ abbiamo che
$lim_(rho->0)rho^6/(rho^4(cos^4(theta)+sin^4(theta))-rho^(-2|alpha|)|cos^(-|alpha|)(theta)sin^(-|alpha|)(theta)|)=lim_(rho->0)rho^6/(-rho^(-2|alpha|)|cos^(-|alpha|)(theta)sin^(-|alpha|)(theta)|)=$
$=lim_(rho->0)-rho^6*(rho^(2|alpha|)|cos^(|alpha|)(theta)sin^(|alpha|)(theta)|)=0$
Quindi insomma questo limite fa zero per ogni $alpha$ ????
Nel caso in cui $alpha=0$ abbiamo che
$lim_(rho->0)rho^6/(rho^4(cos^4(theta)+sin^4(theta))-rho^(2alpha)|cos^alpha(theta)sin^alpha(theta)|)=lim_(rho->0)rho^6/(rho^4(cos^4(theta)+sin^4(theta))-rho^(0)|cos^0(theta)sin^0(theta)|)=lim_(rho->0)rho^6/(rho^4(cos^4(theta)+sin^4(theta))-1)=0$
Nel caso in cui $alpha<0$ abbiamo che
$lim_(rho->0)rho^6/(rho^4(cos^4(theta)+sin^4(theta))-rho^(-2|alpha|)|cos^(-|alpha|)(theta)sin^(-|alpha|)(theta)|)=lim_(rho->0)rho^6/(-rho^(-2|alpha|)|cos^(-|alpha|)(theta)sin^(-|alpha|)(theta)|)=$
$=lim_(rho->0)-rho^6*(rho^(2|alpha|)|cos^(|alpha|)(theta)sin^(|alpha|)(theta)|)=0$
Quindi insomma questo limite fa zero per ogni $alpha$ ????
Ho impiegato il teorema di continuità per funzioni positivamente omogenee, che recita:
Sia $f:RR^n->RR$ una funzione positivamente omogenea di grado $alpha$, definita e continua per $(x,y)ne(0,0)$. Si dimostra che $f$ è continua anche nell'origine se $alpha>0$.
Una funzione è positivamente omogenea di grado $alpha$ se
Da notare che tutti i polinomi omogenei ( = tali che ogni monomio abbia grado complessivo $alpha$) sono funzioni omogenee, mentre la maggior parte delle funzioni non lo sono (come $ye^x$, $tan(xy)$, ...).
Sia $f:RR^n->RR$ una funzione positivamente omogenea di grado $alpha$, definita e continua per $(x,y)ne(0,0)$. Si dimostra che $f$ è continua anche nell'origine se $alpha>0$.
Una funzione è positivamente omogenea di grado $alpha$ se
$f(lambda mathbf(x))=lambda^alpha f(mathbf(x))$ $forall mathbf(x) in RR^n, mathbf(x) ne mathbf(0), lambda>0$
Da notare che tutti i polinomi omogenei ( = tali che ogni monomio abbia grado complessivo $alpha$) sono funzioni omogenee, mentre la maggior parte delle funzioni non lo sono (come $ye^x$, $tan(xy)$, ...).
ok grazie! 
e invece il ragionamento che ho fatto (e che mi ha portato alla conclusione che il limite fa zero per ogni $alpha$) è giusto?
e invece il ragionamento che ho fatto (e che mi ha portato alla conclusione che il limite fa zero per ogni $alpha$) è giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo