Punto stazionario su un intervallo aperto

[mauri54]

Ciao a tutti, stavo affrontando questo esercizio ma ho dei problemi in alcuni punti della dimostrazione.

Es. Sia $f$ una funzione derivabile su $(0,1)$. Se $ \lim_(x -> 0^+) f(x)=\lim_(x -> 1^-) f(x)=+\infty $ è vero che esiste $ x_0\in(0,1) $ tale che $ f'(x_0)=0 $?

dimostrazione:
Dalla definizione di limite si ha che $ AA M>0 EE \delta_1,\delta_2>0 $ tale che $ AA x\in(0,\delta_1)\cup(1-\delta_2,1) $ si ha che $ f(x)>M $.
Considero $ a\in(0,\delta_1), b\in(1-\delta_2,1) $ tali che $ f(a)=f(b) $ e, poiché $ f $ è continua e derivabile in $ (0,1)$ allora è continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$.
Per il teorema di Rolle applicato ad $f$ in $[a,b]$ esiste un punto $ x_0\in(a,b)\subset(0,1) $ tale che $ f'(x_0)=0 $.

Mi sembra un po' debole nel punto in cui dico che esistono $a,b$ tali che $f(a)=f(b)$...come si fa a giustificare meglio?

[Lebesgue]

Invece di usare il teorema di Rolle, prova a dimostrare che la funzione ammette un punto di minimo $x_0\in(0,1)$, usando il Teorema di Weiestrass su un opportuno sottointervallo chiuso e limitato.
Ammettendo minimo, ed essendo la funzione derivabile, necessariamente $f'(x_0)=0$.

[mauri54]

"Lebesgue":Invece di usare il teorema di Rolle, prova a dimostrare che la funzione ammette un punto di minimo $x_0\in(0,1)$, usando il Teorema di Weiestrass su un opportuno sottointervallo chiuso e limitato.
Ammettendo minimo, ed essendo la funzione derivabile, necessariamente $f'(x_0)=0$.

Grazie per la risposta.
Quindi dici di considerare l'intervallo chiuso $[\delta_1,1-\delta_2]$ considerato prima e dire che, essendo $f$ continua in tale intervallo e derivabile nell'aperto, allora esiste un punto di massimo e di minimo assoluto. il problema è che tali massimo e minimo potrebbero essere uno degli estremi dell'intervallo e non essere ne massimo ne minimo della funzione per tutto l'intervallo $(0,1)$.
Ad esempio potrei avere una funzione str. crescente in $[\delta_1,1-\delta_2]$, o sbaglio?

[Lebesgue]

"mauri54":[quote="Lebesgue"]Invece di usare il teorema di Rolle, prova a dimostrare che la funzione ammette un punto di minimo $x_0\in(0,1)$, usando il Teorema di Weiestrass su un opportuno sottointervallo chiuso e limitato.
Ammettendo minimo, ed essendo la funzione derivabile, necessariamente $f'(x_0)=0$.

Grazie per la risposta.
Quindi dici di considerare l'intervallo chiuso $[\delta_1,1-\delta_2]$ considerato prima e dire che, essendo $f$ continua in tale intervallo e derivabile nell'aperto, allora esiste un punto di massimo e di minimo assoluto. il problema è che tali massimo e minimo potrebbero essere uno degli estremi dell'intervallo e non essere ne massimo ne minimo della funzione per tutto l'intervallo $(0,1)$.
Ad esempio potrei avere una funzione str. crescente in $[\delta_1,1-\delta_2]$, o sbaglio?[/quote]


Fai così: fisso $M=f(1/2)$ e trovo $\delta_1>0$ tale che $\forall x\in (0,\delta_1]$, $f(x)\ge M$.
Analogamente trovo $\delta_2>0$ tale per cui $\forall x\in[1-\delta_2,1)$, $f(x)\ge M$.
Sia allora $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$
Se considero l'intervallo $[\delta,1-\delta]$ (supponendo che $\delta<1-\delta$, ovvero $\delta<1/2$, a meno di scambiare l'ordine degli estremi), allora per Weiestrass esiste $m=\min\{f(x)\ :\ x\in[\delta,1-\delta]\}$.
Dico ora che $m$ è minimo assoluto di $f$ su tutto $(0,1)$:
sia $x\in(0,1)$, ho tre casi:
(i) $x\in[\delta,1-\delta]$, allora $f(x)\ge m$ per weiestrass
(ii) $x\in(0,\delta]$, allora $f(x)\ge M=f(1/2)\ge m$ poiché $1/2\in[\delta,1-\delta]$.
(iii) $x\in[1-\delta,1)$, e si conclude come nel caso (ii).

Da cui la tesi.

Bonus: Un esercizio più facile e che aiuta a capire come agire, è dimostrare che:
se $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è continua, tale che $\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty} f(x) =+\infty$, allora $f$ ammette minimo globale su $\mathbb{R}$.