Punto stabile

[Sk_Anonymous]

Buonasera a tutti...ho la seguente equazione differenziale del primo ordine $ y ' = x(1-x) $ ..i punti di equlibrio sono $ x= 0 $ , $ x=1 $ ,ma come faccio a dire quale è stabile dei due?
Grazie

[gugo82]

Usando la definizione di punto di equilibrio stabile?

Ma poi, sei sicura che l'equazione sia quella lì?

[Sk_Anonymous]

Lo so che devo utilizzare la definizione ....
è l'equazione che ha scritto un mio professore !

[gugo82]

No, davvero, il problema mi pare strano... Mi riporti la definizione di punto di equilibrio stabile?

[Sk_Anonymous]

Un punto di equilibrio $ x_0 $ per $ y'=f(x) $ si dice stabile se per ogni $ \epsilon >0 $ esiste $ \delta >0 $ tale che per ogni $ x $ tale che $ |x-x_0|<\delta$ si ha che $ | \phi(t,x) - x_0 |< \epsilon $ , pergni $ t>=0 $

Perchè il problema di pare strano ?? Il grafico è una parabola con concavità rivolta verso il basso,no? Il punto di equilibrio $ x=1 $ è un punto stabile,mentre $ x=0 $ è instabile

[gugo82]

Ti rendi conto che la definizione che hai scritto non significa nulla, vero?

[Sk_Anonymous]

Sì sì ho capito...dovrebbe essere $ x' = x( 1-x) $
Non vedevo che c'era scritto $y ' $,nella mia testa era $x' $
Scusa ciao !

[gugo82]

Allora... Hai assegnata una EDO del tipo \(x^\prime (t) =\phi (t, x(t))\).
Una traiettoria \(x^*(t):=x_0\) ( con \(x_0\) costante) si chiama punto di equilibrio se essa risolve ls EDO, ossia se:
\[
(x^*)^\prime (t)=\phi (t, x^*(t))
\]
e cio accade se e solo se il numero \(x_0\) soddisfa:
\[
\phi (t,x_0) =0\qquad \forall t\in I
\]
ove \(I\) è l'intervallo in cui varia la variabile indipendente.

Ora, un equlibrio \(x_*\) si dice stabile se e solo se le traiettorie \(x(t)\) che si dipartono da punti \(x_1\) vicini ad \(x_0\) si mantengono vicine ad \(x_0\) sempre; matematicamente parlando, cio' equivale a richiedere che:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\quad \forall |x_1-x_0|<\delta,\ |x(t) -x^*(t)| = |x(t)-x_0|<\varepsilon \text{ per ogni } t\geq 0\;.
\]