Punto estremante, critico e stazionario CONFUSIONE.
Stavo studiando i massimi e minimi di funzioni $f :\R^n -> \R$ per insiemi aperti
Dopo averli definiti (relativi e assoluti ) sono arrivato a questa definizione:
Sia $f \in C' (A,\R)$ i punti $ul(x0) \in A$ tali che il gradiente = 0 vengono detti punti critici o stazionari.
E fin qui tutto bene e data la definizione ho supposto che tutti i punti critici e stazionari siano anche punti estremanti.
Poi leggo questa osservazione:
Se $ul(x0)$ è un punto estremante e $f$ è differenziabile in $ul(x0)$ allora $ul(x0)$ sarà critico o stazionario(non vale il viceversa, esempio la funzione $x^3$ per funzioni a una variabile).
questo "non vale il viceversa" andava contro la supposizione che avevo fatto prima in questo un punto critico o stazionario è sempre estremante. Sono cosi andato in ricerca di delucidazioni.
Qui https://it.wikipedia.org/wiki/Massimo_e ... a_funzione ho visto che estremante è sinonimo di massimo o minimo(ultima frase del primo paragrafo) e qui tutto ok.
Qui https://it.wikipedia.org/wiki/Punto_critico_(matematica) ho visto che punto critico e stazionario SONO SINONIMI ma hanno una definizione diversa rispetto a quella definita prima in quanto qui il gradiente può non esistere "Un punto critico o stazionario di una funzione differenziabile reale è un punto in cui la derivata si annulla oppure non è definita"
Qui http://www.****.it/domande-a-rispost ... zione.html punto stazionario e critico NON SONO SINONIMI da questa osservazione "Osservazione: i punti stazionari sono sempre punti critici, ma attenzione, non è detto che un punto critico sia punto stazionario. Per esempio il punto x=0 è un punto critico per la funzione f(x)=|x|, ma non è un punto stazionario."
ed infine qui http://digilander.libero.it/angeladonat ... minimi.pdf dove nella slide 4 dove nella prima funzione mi mostra "Punto stazionario, non estremante" confermando che la mia supposizione che punto stazionario è sempre estremante sia sbagliata(qui non viene citato il punto critivo).
In conclusione ho preso per buona la distinzione fatta da **** ma comunque non in accordo con l'osservazione che mi ha mandato in panico in quanto un punto critico o stazionario sono sempre estremanti(in quanto i punti angolo o di cuspide possono essere massimi o minimi come scritto nell'ultimo punto a questo link http://www.matematika.it/public/allegat ... t__1_3.pdf )
Dopo averli definiti (relativi e assoluti ) sono arrivato a questa definizione:
Sia $f \in C' (A,\R)$ i punti $ul(x0) \in A$ tali che il gradiente = 0 vengono detti punti critici o stazionari.
E fin qui tutto bene e data la definizione ho supposto che tutti i punti critici e stazionari siano anche punti estremanti.
Poi leggo questa osservazione:
Se $ul(x0)$ è un punto estremante e $f$ è differenziabile in $ul(x0)$ allora $ul(x0)$ sarà critico o stazionario(non vale il viceversa, esempio la funzione $x^3$ per funzioni a una variabile).
questo "non vale il viceversa" andava contro la supposizione che avevo fatto prima in questo un punto critico o stazionario è sempre estremante. Sono cosi andato in ricerca di delucidazioni.
Qui https://it.wikipedia.org/wiki/Massimo_e ... a_funzione ho visto che estremante è sinonimo di massimo o minimo(ultima frase del primo paragrafo) e qui tutto ok.
Qui https://it.wikipedia.org/wiki/Punto_critico_(matematica) ho visto che punto critico e stazionario SONO SINONIMI ma hanno una definizione diversa rispetto a quella definita prima in quanto qui il gradiente può non esistere "Un punto critico o stazionario di una funzione differenziabile reale è un punto in cui la derivata si annulla oppure non è definita"
Qui http://www.****.it/domande-a-rispost ... zione.html punto stazionario e critico NON SONO SINONIMI da questa osservazione "Osservazione: i punti stazionari sono sempre punti critici, ma attenzione, non è detto che un punto critico sia punto stazionario. Per esempio il punto x=0 è un punto critico per la funzione f(x)=|x|, ma non è un punto stazionario."
ed infine qui http://digilander.libero.it/angeladonat ... minimi.pdf dove nella slide 4 dove nella prima funzione mi mostra "Punto stazionario, non estremante" confermando che la mia supposizione che punto stazionario è sempre estremante sia sbagliata(qui non viene citato il punto critivo).
In conclusione ho preso per buona la distinzione fatta da **** ma comunque non in accordo con l'osservazione che mi ha mandato in panico in quanto un punto critico o stazionario sono sempre estremanti(in quanto i punti angolo o di cuspide possono essere massimi o minimi come scritto nell'ultimo punto a questo link http://www.matematika.it/public/allegat ... t__1_3.pdf )
Risposte
Un punto critico può essere un estremante (un punto di massimo o di minimo) oppure un punto di sella, ovvero un punto di massimo in una direzione e di minimo secondo un'altra direzione.
"ettanic":
Un punto critico può essere un estremante (un punto di massimo o di minimo) oppure un punto di sella, ovvero un punto di massimo in una direzione e di minimo secondo un'altra direzione.
Ok ora la panoramica si fa molto più chiara. L'ultima questione è punto stazionario e punto critico sono la stessa cosa?
Secondo quello che ho studiato io, sono sinonimi.
Eh infatti, secondo **** invece c'è differenza. Boh
A mio avviso è un problema di definizioni e, in quanto tale, valutabile solamente attraverso la coerenza dei risultati conseguenti.
Se si definisce 'critico' solo un punto stazionario i punti estremanti di tipo angoloso o cuspidale non sono 'critici'.
Io sarei per una definizione che invece li includa. In questo caso 'critico' e 'stazionario' non sono sinonimi.
Ciao
B.
Se si definisce 'critico' solo un punto stazionario i punti estremanti di tipo angoloso o cuspidale non sono 'critici'.
Io sarei per una definizione che invece li includa. In questo caso 'critico' e 'stazionario' non sono sinonimi.
Ciao
B.
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