Punti stazionari Analisi 2
Scusate, ho un dubbio su questo esercizio:
consideriamo la funzione $f(x,y) = \log(r^2 + \sqrt(1 + r^4) ) + x + y$, con $r = \sqrt(x^2 + y^2)$.
L'esercizio chiede di trovare e classificare i punti stazionari della funzione.
La mia domanda è: dato che facendo le derivate rispetto ad x e y mi escono proprio orripilanti, c'è un modo più veloce / furbo per fare questo esercizio, o bisogna proprio piangere in aramaico e mettersi con la santa pazienza a fare tutti i conti?
consideriamo la funzione $f(x,y) = \log(r^2 + \sqrt(1 + r^4) ) + x + y$, con $r = \sqrt(x^2 + y^2)$.
L'esercizio chiede di trovare e classificare i punti stazionari della funzione.
La mia domanda è: dato che facendo le derivate rispetto ad x e y mi escono proprio orripilanti, c'è un modo più veloce / furbo per fare questo esercizio, o bisogna proprio piangere in aramaico e mettersi con la santa pazienza a fare tutti i conti?
Risposte
Ciao Lebesgue,
Il modo furbo potrebbe essere osservare che la funzione proposta si può scrivere nella forma seguente:
$f(x, y) = log(r^2 + \sqrt(1 + r^4) ) + x + y = log(r^2 + \sqrt(1 + (r^2)^2)) + x + y = \text{arsinh}(r^2) + x + y $
con $r = \sqrt(x^2 + y^2)$, sicchè la funzione proposta diventa
$f(x, y) = \text{arsinh}(x^2 + y^2) + x + y $
Così le derivate parziali rispetto a $x$ e rispetto a $y$ sono molto più semplici...
Il modo furbo potrebbe essere osservare che la funzione proposta si può scrivere nella forma seguente:
$f(x, y) = log(r^2 + \sqrt(1 + r^4) ) + x + y = log(r^2 + \sqrt(1 + (r^2)^2)) + x + y = \text{arsinh}(r^2) + x + y $
con $r = \sqrt(x^2 + y^2)$, sicchè la funzione proposta diventa
$f(x, y) = \text{arsinh}(x^2 + y^2) + x + y $
Così le derivate parziali rispetto a $x$ e rispetto a $y$ sono molto più semplici...
Grazie pilloeffe!
Dunque diciamo che, se uno non notasse questa cosa (neanche tanto banale, considerando che le funzioni iperboliche inverse non si vedono neanche tantissimo nei corsi di analisi di base), l'unica via alternativa è con la santa pazienza fare le varie derivate
Dunque diciamo che, se uno non notasse questa cosa (neanche tanto banale, considerando che le funzioni iperboliche inverse non si vedono neanche tantissimo nei corsi di analisi di base), l'unica via alternativa è con la santa pazienza fare le varie derivate
"Lebesgue":
Grazie pilloeffe!
Prego!
"Lebesgue":
Dunque diciamo che, se uno non notasse questa cosa (neanche tanto banale, considerando che le funzioni iperboliche inverse non si vedono neanche tantissimo nei corsi di analisi di base), l'unica via alternativa è con la santa pazienza fare le varie derivate
Concordo con te: ad esempio io non l'ho vista né in Analisi I e a dire la verità men che meno in Analisi II, che è il corso nel quale si trattavano le funzioni di più variabili, almeno ai miei tempi...
Il problema è che ci sono due sistemi di coordinate mischiati. Meglio porre \(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\). A quel punto calcolare le derivate rispetto a \(r\) e a \(\theta\) diventa molto più semplice.
"dissonance":
Il problema è che ci sono due sistemi di coordinate mischiati. Meglio porre \(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\). A quel punto calcolare le derivate rispetto a \(r\) e a \(\theta\) diventa molto più semplice.
Tuttavia, facendo così, dalle derivate uscirebbe anche il punto stazionario $(0,0)$ (perché viene $r = 0$), che tuttavia non è uno dei punti stazionari della funzione di partenza...
Tra l'altro, non cambia assolutamente nulla a livello di conti per le derivate, poiché anche per trovare i punti stazionari vengono gli stessi identici conti con molte radici. Quindi a questo punto direi che non conviene per nulla passare in polari, dato che non c'è nessun vantaggio, anzi viene anche un punto stazionario "fittizio"
L'origine è una singolarità del sistema di coordinate polari, quindi va sempre trattata a parte. E ovviamente fai come vuoi. Però non mi pare ci siano punti stazionari fittizi. Infatti
\[
\partial_r [ \log(r^2+\sqrt{1+r^4}) +r\cos\theta + r\sin \theta]|_{r=0} = 1+ \cos\theta + \sin\theta.\]
\[
\partial_r [ \log(r^2+\sqrt{1+r^4}) +r\cos\theta + r\sin \theta]|_{r=0} = 1+ \cos\theta + \sin\theta.\]
A me però torna che
\[
\partial_r [ \log(r^2+\sqrt{1+r^4}) +r\cos\theta + r\sin \theta]|_{r=0} = 0 + \cos\theta + \sin\theta.\]
In ogni caso, direi che ci sono un po' di conti e derivate da fare in entrambe le coordinate in cui scegliamo di lavorare.
Ciò detto, sicuramente il tuo commento è stato utile perché non mi era proprio venuto in mente di passare in polari.
\[
\partial_r [ \log(r^2+\sqrt{1+r^4}) +r\cos\theta + r\sin \theta]|_{r=0} = 0 + \cos\theta + \sin\theta.\]
In ogni caso, direi che ci sono un po' di conti e derivate da fare in entrambe le coordinate in cui scegliamo di lavorare.
Ciò detto, sicuramente il tuo commento è stato utile perché non mi era proprio venuto in mente di passare in polari.
Uff hai ragione, quell'1 non c'è, devo finirla con questo vizio di fare i conti a mente qui.
Comunque, bisogna fare un po' di attenzione perché le coordinate polari nell'origine fanno qualche scherzo. Il punto critico fittizio NON emerge, non perché io sbaglio i conti, ma per il motivo seguente. Il gradiente in coordinate polari è il seguente operatore (vedi eq.(33) di MathWorld):
\[
\nabla f = \partial_r f \hat r+\frac1 r \partial_\theta f \hat \theta, \]
dove \(\hat r, \hat \theta\) sono i versori coordinati. Nota quel \(\frac1 r\) davanti a \(\partial_\theta\). In questo caso,
\[
\frac1 r \partial_\theta \left[ \log(\ldots) + r\cos\theta + r \sin\theta\right] = -\sin\theta +\cos \theta, \]
che non si annulla identicamente da nessuna parte, e quindi neanche nell'origine. Il punto critico fittizio emergeva dall'esserci scordati del fattore \(\frac1 r\).
Comunque, bisogna fare un po' di attenzione perché le coordinate polari nell'origine fanno qualche scherzo. Il punto critico fittizio NON emerge, non perché io sbaglio i conti, ma per il motivo seguente. Il gradiente in coordinate polari è il seguente operatore (vedi eq.(33) di MathWorld):
\[
\nabla f = \partial_r f \hat r+\frac1 r \partial_\theta f \hat \theta, \]
dove \(\hat r, \hat \theta\) sono i versori coordinati. Nota quel \(\frac1 r\) davanti a \(\partial_\theta\). In questo caso,
\[
\frac1 r \partial_\theta \left[ \log(\ldots) + r\cos\theta + r \sin\theta\right] = -\sin\theta +\cos \theta, \]
che non si annulla identicamente da nessuna parte, e quindi neanche nell'origine. Il punto critico fittizio emergeva dall'esserci scordati del fattore \(\frac1 r\).
Hai giustamente (anche più che giustamente) ragione: anche io mi ero totalmente dimenticato del fattore $1/r$, che "risolve" i vari problemi (giustamente non è stato messo lì a caso)
In ogni caso ti ringrazio molto!
In ogni caso ti ringrazio molto!
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