Punti stazionari

[dark.hero]

$ f(x,y) = (y- 2beta x)[(x-2)^2 +y^2 -2]^4 $

Circonferenza: $ (x-2)^2 +y^2 = 2 $

verificare che tutti i punti della circonferenza sono stazionari per f


un punto è stazionario se il gradiente della funzione in quel punto è = 0. ma qui come procedo?

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aiuto

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up

[dark.hero]

il mio professore mi ha detto di risolvere questo sistema

$ { ( y-2betax=0 ),( (x-2)^2 + y^2 = 2 ):} $

quindi

$ { ( y=2betax ),( (x-2)^2 + y^2 = 2 ):} $

poi

$ (x-2)^2 + (2betax)^2 = 2 $

ho due incognite e una equazione... se pongo $ x=1 $ ottengo $ beta = 1/2 $ che è il risultato corretto. ma non ho capito perchè!

qualcuno me lo può spiegare?

grazie

[dark.hero]

aiuto

[Rigel1]

Ma $\beta$ non è un parametro? (Non ho letto le tre pagine di post...)
Se così è, hai un'equazione di grado $\le 2$ in $x$; basta risolverla.

[dark.hero]

$ (x-2)^2 + (2betax)^2 = 2 $

$ x^2 +4 -4x +4beta^2x^2-2=0 $

$ x^2(1+4beta^2) - 4x +2 = 0 $

$x12 = (+4 \pm sqrt(16 - 4*2*(1+4beta^2)) )/(2(1+4beta^2))$

da qui come procedo?

[dark.hero]

help

[Rigel1]

Hai trovato due soluzioni $x = \frac{2\pm \sqrt{2(1-4\beta^2)}}{1+4\beta^2}$.
Chiaramente queste sono reali solo per certi valori di $\beta$ (quali?).
Per ciascuna di queste soluzioni trovi la corrispondente $y=2\beta x$.

Non mi sembra un esercizio particolarmente proibitivo...

[dark.hero]

grazie per l'aiuto.

allora per la radice $ 2(1-4beta^2) >= 0 $ risolvendo trovo $ \pm beta <= 1/2 $ che è il valore che cerco.

il risultato dell'esercizio è: tutti di massimo relativo se $ beta > 1/2 $

come faccio a distinguere quali valori sono di massimo?

[Rigel1]

$|\beta| \le \frac{1}{2}$, eventualmente.
Per la classificazione dei punti ho visto che ti aveva già risposto Fioravante.

[dark.hero]

scusa ma non riesco ad applicare quello che ha scritto Fioravante.

Lui se ho capito dice che se $ y - 2beta x < 0 $ ho un massimo locale

trovato $ |beta| <= 1/2 $ come procedo?

[Rigel1]

"Fioravante Patrone":
Abbiamo detto che nei punti della circonferenza la funzione vale 0.
E che la funzione $h^4$ è sempre maggiore o uguale di zero.
Se fosse anche $y - 2 \beta x \ge 0$ in un intorno di quel punto, allora quel punto sarebbe di minimo locale.

Chiaro fin qui?

Bene, se in un punto hai $y - 2 \beta x > 0$, allora per il teorema di permamenza del segno c'è un intorno di questo punto in cui la tua funzione è maggiore o uguale di zero. Amen (o no?).

Mi sembra che qui ci sia quanto serve per classificare i punti di minimo locale; in maniera analoga classifichi quelli di massimo locale.
Sui punti del vincolo dove $y-2\beta x=0$ bisogna controllare che in ogni intorno la funzione cambia segno (per concludere che non sono né di massimo né di minimo).

[dark.hero]

equivale a dire che devo fare i limiti da destra e da sinistra?

[dark.hero]

aiuto

[dark.hero]

ditemi come si fa per favore. domani mattina ho l'esame

[dark.hero]

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[dissonance]

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