Punti stazionari
$ f(x,y) = (y- 2beta x)[(x-2)^2 +y^2 -2]^4 $
Circonferenza: $ (x-2)^2 +y^2 = 2 $
verificare che tutti i punti della circonferenza sono stazionari per f
un punto è stazionario se il gradiente della funzione in quel punto è = 0. ma qui come procedo?
Circonferenza: $ (x-2)^2 +y^2 = 2 $
verificare che tutti i punti della circonferenza sono stazionari per f
un punto è stazionario se il gradiente della funzione in quel punto è = 0. ma qui come procedo?
Risposte
è quello che si chiama massimo e minimo vincolato puoi utilizzare due metodi ti spiego il più semplice per questo caso il metodo dei moltiplicatori di lagrange per applicarlo devi verificare l'ipotesi che il gradiente del vincolo sia diverso da zero:
$\grad$g(x,y)$!=$(0,0)
che equivale a dire $(g_x)^2+(g_y)^2>0$
poi annulli il gradiente della funzione lagrangiana:
L= f(x,y)+$\lambda$ g(x,y)
cioè
$\grad$f(x,y)+$\lambda$$\grad$g(x,y)=(0,0)
che sarebbe un sistema in tre equazioni e tre incognite
$f_x +\lambda g_x=0$
$f_y +\lambda g_y=0$
g(x,y)=0
$\grad$g(x,y)$!=$(0,0)
che equivale a dire $(g_x)^2+(g_y)^2>0$
poi annulli il gradiente della funzione lagrangiana:
L= f(x,y)+$\lambda$ g(x,y)
cioè
$\grad$f(x,y)+$\lambda$$\grad$g(x,y)=(0,0)
che sarebbe un sistema in tre equazioni e tre incognite
$f_x +\lambda g_x=0$
$f_y +\lambda g_y=0$
g(x,y)=0
Non è questo il procedimento che il problema si aspetta, anticristo.
Se si deriva la funzione rispetto a $x$ si vede subito che ho
$f_x(x,y)=-2\beta [(x-2)^2 +y^2 -2]^4+(y-2\beta x)\cdot 4 \cdot (2x-4)[(x-2)^2 +y^2 -2]^3 $
Siccome il vincolo è
$ (x-2)^2 +y^2 = 2 $ allora vale $ (x-2)^2 +y^2 - 2 =0$ e quindi la derivata parziale è sempre nulla (sono nulli entrambi i due addendi).
Idem per l'altra derivata.
[mod="Steven"]Anticristo, sei il benvenuto ma ti inviterei a postare con più prudenza.
Garantire una Matematica corretta agli utenti del forum è fondamentale.
Grazie.[/mod]
Se si deriva la funzione rispetto a $x$ si vede subito che ho
$f_x(x,y)=-2\beta [(x-2)^2 +y^2 -2]^4+(y-2\beta x)\cdot 4 \cdot (2x-4)[(x-2)^2 +y^2 -2]^3 $
Siccome il vincolo è
$ (x-2)^2 +y^2 = 2 $ allora vale $ (x-2)^2 +y^2 - 2 =0$ e quindi la derivata parziale è sempre nulla (sono nulli entrambi i due addendi).
Idem per l'altra derivata.
[mod="Steven"]Anticristo, sei il benvenuto ma ti inviterei a postare con più prudenza.
Garantire una Matematica corretta agli utenti del forum è fondamentale.
Grazie.[/mod]
almeno si esercita a fare derivate 
infatti mi sembrava strano che il vincolo comparisse anche nella f...
infatti mi sembrava strano che il vincolo comparisse anche nella f...
grazie mille!
un punto è stazionario se il gradiente è 0... è questa la regola da seguire?
e se dovessi determinare per quali valori di B tutti i punti di C sono di massimo relativo per f? devo calcolare per forza la matrice hessiana?
un punto è stazionario se il gradiente è 0... è questa la regola da seguire?
e se dovessi determinare per quali valori di B tutti i punti di C sono di massimo relativo per f? devo calcolare per forza la matrice hessiana?
la derivata mi sembra sbagliata. non dovrebbe essere così?
$f_x(x,y)=-2\beta[(x-2)^2 +y^2 -2]^4+(y-2\beta x) 4 (2x-4)[(x-2)^2 +y^2 -2]^3 $
il risultato non cambia cmq
$f_x(x,y)=-2\beta[(x-2)^2 +y^2 -2]^4+(y-2\beta x) 4 (2x-4)[(x-2)^2 +y^2 -2]^3 $
il risultato non cambia cmq
ho calcolato la matrice hessiana: $ ( ( 0 , 0 ),( 0, 0) ) $
quindi non mi può aiutare nel calcolo dei minimi massimi. come posso procedere?
quindi non mi può aiutare nel calcolo dei minimi massimi. come posso procedere?
Giusto per la derivata, scusami.
Quanto al problema, hai notato che lungo tutta la circonferenza la funzione (e non solo il gradiente) vale $0$ ?
Hai qualche ipotesi su $\beta$?
Quanto al problema, hai notato che lungo tutta la circonferenza la funzione (e non solo il gradiente) vale $0$ ?
Hai qualche ipotesi su $\beta$?
$ B in R $
$ f: R^2 rarr R $
si dice che x0 è un punto di massimo relativo per f se esiste un intorno di x0 tale che f(x) <= f(x0)
la funzione lungo la circonferenza vale 0. quindi (credo) dovrei verificare per quali $ beta $ la funzione è <= 0. giusto?
$ (y- 2beta x)[(x-2)^2 +y^2 -2]^4 <= 0 $
$ [(x-2)^2 +y^2 -2]^4 $ è sempre >= 0
quindi rimane solo
$ (y- 2beta x) <=0 $
poi come procedo?
PS: il risultato è: sono tutti massimi relativi se $ beta > 1//2 $
$ f: R^2 rarr R $
si dice che x0 è un punto di massimo relativo per f se esiste un intorno di x0 tale che f(x) <= f(x0)
la funzione lungo la circonferenza vale 0. quindi (credo) dovrei verificare per quali $ beta $ la funzione è <= 0. giusto?
$ (y- 2beta x)[(x-2)^2 +y^2 -2]^4 <= 0 $
$ [(x-2)^2 +y^2 -2]^4 $ è sempre >= 0
quindi rimane solo
$ (y- 2beta x) <=0 $
poi come procedo?
PS: il risultato è: sono tutti massimi relativi se $ beta > 1//2 $
dopo mesi non sono ancora riuscito a risolvere questo esercizio. qualche suggerimento?
grazie
grazie
[tex]f=g \cdot h^4[/tex]
[tex]f_x = g_x \cdot h^4 + g \cdot 4h^3 \cdot h_x[/tex]
Idem per la [tex]f_y[/tex]
Insomma, la funzione è stata scelta apposta perché tutti i punti della cfr. fossero stazionari: lì si annulla [tex]h[/tex] che compare come fattore e quindi le due derivate parziali di [tex]f[/tex]. E' un trucchetto usato ed abusato. Notare che chi sia [tex]g[/tex] non interessa (a parte il fatto che sia parzialmente derivabile).
NB: il testo del problema, come riportato nel post iniziale, non parla di max o min.
[tex]f_x = g_x \cdot h^4 + g \cdot 4h^3 \cdot h_x[/tex]
Idem per la [tex]f_y[/tex]
Insomma, la funzione è stata scelta apposta perché tutti i punti della cfr. fossero stazionari: lì si annulla [tex]h[/tex] che compare come fattore e quindi le due derivate parziali di [tex]f[/tex]. E' un trucchetto usato ed abusato. Notare che chi sia [tex]g[/tex] non interessa (a parte il fatto che sia parzialmente derivabile).
NB: il testo del problema, come riportato nel post iniziale, non parla di max o min.
una volta verificato che tutti i punti sono stazionari, devo indicarne il tipo (max, min, sella) al variare di beta
La [tex]f[/tex] si annulla sulla cfr., ed [tex]h^4[/tex] è maggiore o uguale di zero ovunque.
Quindi basta studiare il segno di [tex]y-2\beta x[/tex] al variare di [tex]\beta[/tex]. E restringendo l'attenzione ai punti della circonferenza. Un disegnino può aiutare.
Quindi basta studiare il segno di [tex]y-2\beta x[/tex] al variare di [tex]\beta[/tex]. E restringendo l'attenzione ai punti della circonferenza. Un disegnino può aiutare.
scusa ma sono bloccato. come faccio a studiare il segno? pongo $y-2\beta x > 0$ ? se disegno la funzione variando $ beta $ ottengo tante rette passanti per l'origine
Dato $\beta$, consideriamo i punti per cui $y > 2 \beta x$.
Per questi punti (ci interessano solo quelli della circonferenza!) c'è un intorno in cui $y - 2 \beta x > 0$. Quindi, c'è un intorno di tali punti in cui $f \ge 0$. Pertanto quelli sono punti di minimo locale.
Idem con l'altra disuguaglianza, max locale.
Ved un po' tu cosa succede per i punti in cui $y = 2 \beta x$. Provando magari dapprima con il caso $\beta = 1$, o $\beta = 0$, tanto per cominciare. Fatto il disegnino?
Per questi punti (ci interessano solo quelli della circonferenza!) c'è un intorno in cui $y - 2 \beta x > 0$. Quindi, c'è un intorno di tali punti in cui $f \ge 0$. Pertanto quelli sono punti di minimo locale.
Idem con l'altra disuguaglianza, max locale.
Ved un po' tu cosa succede per i punti in cui $y = 2 \beta x$. Provando magari dapprima con il caso $\beta = 1$, o $\beta = 0$, tanto per cominciare. Fatto il disegnino?
questo è il grafico di $ y = 2 beta x $ al variare di $ beta $
vedo che la funzione interseca la circonferenza per $ beta <= +1/2 $ e $ beta >= -1/2 $
ma non riesco proprio a capire come stabilire se sono di massimo relativo o minimo relativo
vedo che la funzione interseca la circonferenza per $ beta <= +1/2 $ e $ beta >= -1/2 $
ma non riesco proprio a capire come stabilire se sono di massimo relativo o minimo relativo
Naturalmente l'unico suggerimento utile è di rileggere con attenzione quello che ho detto. Mi cito:
https://www.matematicamente.it/forum/det ... tml#162463
https://www.matematicamente.it/forum/teo ... html#93981
Ma oggi mi sento particolarmente buonista, e mi spiace per la tua formazione che ne risentirà in modo negativo.
Abbiamo detto che nei punti della circonferenza la funzione vale 0.
E che la funzione $h^4$ è sempre maggiore o uguale di zero.
Se fosse anche $y - 2 \beta x \ge 0$ in un intorno di quel punto, allora quel punto sarebbe di minimo locale.
Chiaro fin qui?
Bene, se in un punto hai $y - 2 \beta x > 0$, allora per il teorema di permamenza del segno c'è un intorno di questo punto in cui la tua funzione è maggiore o uguale di zero. Amen (o no?).
https://www.matematicamente.it/forum/det ... tml#162463
https://www.matematicamente.it/forum/teo ... html#93981
Ma oggi mi sento particolarmente buonista, e mi spiace per la tua formazione che ne risentirà in modo negativo.
Abbiamo detto che nei punti della circonferenza la funzione vale 0.
E che la funzione $h^4$ è sempre maggiore o uguale di zero.
Se fosse anche $y - 2 \beta x \ge 0$ in un intorno di quel punto, allora quel punto sarebbe di minimo locale.
Chiaro fin qui?
Bene, se in un punto hai $y - 2 \beta x > 0$, allora per il teorema di permamenza del segno c'è un intorno di questo punto in cui la tua funzione è maggiore o uguale di zero. Amen (o no?).
no scusa... niente amen
la funzione dovrebbe ammettere limite per x tendente al punto che sto cercando. giusto?
se questo limite è >0 o infinito allora ho un intorno del punto dove la funzione è >= 0
devo applicare la definizione di limite per trovare questo punto?
la funzione dovrebbe ammettere limite per x tendente al punto che sto cercando. giusto?
se questo limite è >0 o infinito allora ho un intorno del punto dove la funzione è >= 0
devo applicare la definizione di limite per trovare questo punto?
non riesco a capire come applicare ciò che ha detto Fioravante
Ma stiamo parlando della funzione [tex]g(x,y) = y - 2 \beta x[/tex].
E' un polinomio di primo grado. Hai dei dubbi sul fatto che sia continua? Come fai a parlare di limite infinito?
Per trovarne il limite in un punto "basta sostituire", come si usa dire al liceo...
Ti terrorizza così tanto questo esercizio? Non ho risposto subito perché mi sono cadute le braccia a leggere il tuo post. Non puoi avere dubbi simili!
E' un polinomio di primo grado. Hai dei dubbi sul fatto che sia continua? Come fai a parlare di limite infinito?
Per trovarne il limite in un punto "basta sostituire", come si usa dire al liceo...
Ti terrorizza così tanto questo esercizio? Non ho risposto subito perché mi sono cadute le braccia a leggere il tuo post. Non puoi avere dubbi simili!
scusa ma non sto capendo nulla. che cosa devo sostituire?
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