Punti stazionari
CONSEGNA:
Classifica i punti stazionari di f nel suo insieme aperto di definizione. Esistono punti estremanti assoluti?
$ f(x,y) = x/y + 8/x - y $
PROCEDIMENTO:
$ { ( (partial f(x,y))/(partial x) = 0 ), ( (partial f(x,y))/(partial y) = 0 ) :} -> {(-1/y-8/x^2 = 0) , (-x/y^2-1=0):} -> {(y=-x^2/8),(x=-x^4/64):} $
da cui scopriamo che
$ {(x=0),(y=0):}^^ {(x=-4),(y=-2):} $
Come capisco se sono estremanti assoluti o se ci sono altri punti? Grazie in anticipo
Classifica i punti stazionari di f nel suo insieme aperto di definizione. Esistono punti estremanti assoluti?
$ f(x,y) = x/y + 8/x - y $
PROCEDIMENTO:
$ { ( (partial f(x,y))/(partial x) = 0 ), ( (partial f(x,y))/(partial y) = 0 ) :} -> {(-1/y-8/x^2 = 0) , (-x/y^2-1=0):} -> {(y=-x^2/8),(x=-x^4/64):} $
da cui scopriamo che
$ {(x=0),(y=0):}^^ {(x=-4),(y=-2):} $
Come capisco se sono estremanti assoluti o se ci sono altri punti? Grazie in anticipo
Risposte
Ciao StrilingAlQuadrato,
Attenzione che la funzione proposta non è definita per $x = 0$ e $y = 0$, quindi l'origine $O(0,0) $ è senz'altro da escludere...
"StrilingAlQuadrato":
$f(x,y)=x/y+8/x−y $
Attenzione che la funzione proposta non è definita per $x = 0$ e $y = 0$, quindi l'origine $O(0,0) $ è senz'altro da escludere...
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Ciao sellacollesella,
Ehm... [tex]f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}[/tex]: secondo me stavi pensando a [tex]\mathcal{D} \subset \mathbb{R}^2[/tex]...
Il punto $M(- 4, 2) $ mi risulta di massimo relativo e $z_M = - 6 $
"sellacollesella":
Data la funzione [tex]f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}^2[/tex]
Ehm... [tex]f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}[/tex]: secondo me stavi pensando a [tex]\mathcal{D} \subset \mathbb{R}^2[/tex]...
Il punto $M(- 4, 2) $ mi risulta di massimo relativo e $z_M = - 6 $
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Inizialmente grazie per le risposte.
La matrice hessiana nel punto (-4, 2) è:
$ H_f(-4, 2) = ( ( -1/4 , -1/4 ),( -1/4 , -2 ) ) $ e il suo determinante è 7/16
Quindi la matrice è definita positiva visto che $ a_11 < 0 $ e $ det > 0 $, perciò posso dedurre che (-4, 2) è punto di massimo relativo forte.
EDIT: Ho commesso un errore di calcolo e invece di '-2' ci dovrebbe essere '-1'. Il determinante viene quindi 3/16 (sempre positivo) quindi la conclusione non cambia
Grazie pilloeffe e sellacollesella <3.
La matrice hessiana nel punto (-4, 2) è:
$ H_f(-4, 2) = ( ( -1/4 , -1/4 ),( -1/4 , -2 ) ) $ e il suo determinante è 7/16
Quindi la matrice è definita positiva visto che $ a_11 < 0 $ e $ det > 0 $, perciò posso dedurre che (-4, 2) è punto di massimo relativo forte.
EDIT: Ho commesso un errore di calcolo e invece di '-2' ci dovrebbe essere '-1'. Il determinante viene quindi 3/16 (sempre positivo) quindi la conclusione non cambia
Grazie pilloeffe e sellacollesella <3.
"StrilingAlQuadrato":
grazie per le risposte.
Prego.
Veramente a me la matrice hessiana mi risulta essere
$Hf(x, y) = [[16/x^3,- 1/y^2],[-1/y^2,(2x)/y^3]] $
Sicché si ha:
$Hf(-4, 2) = [[- 1/4,- 1/4],[-1/4,- 1]] $
$detHf(- 4, 2) = 1/4 - 1/16 = 4/16 - 1/16 = 3/16 $
$ a_{11} = (\del^2 f)/(\del x^2)(- 4, 2) = - 1/4 < 0 \implies $ Massimo relativo.
.
Mi verrebbe da dire di risolvere
$ x/y + 8/x - y >= f(-4, 2) $
$ x/y + 8/x - y >= -6 $
Se questa disequazione è sempre vera allora è un punto di massimo assoluto. Non so quanto abbia senso ciò che ho detto..
$ x/y + 8/x - y >= f(-4, 2) $
$ x/y + 8/x - y >= -6 $
Se questa disequazione è sempre vera allora è un punto di massimo assoluto. Non so quanto abbia senso ciò che ho detto..
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Sì, hai ragione, mi sono confuso. Credo che il punto (1, 1) soddisfi la condizione. f(1, 1) = 8 il che è maggiore di -6, quindi f(-4,2) non è un punto di massimo assoluto.
Avevo provato a risolvere la disequazione ma non ero riuscito.
Avevo provato a risolvere la disequazione ma non ero riuscito.
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