Punti interni e di frontiera per $QQ$
Ciao
Voglio provare a dimostrare che l'insieme dei punti interni di $QQ$ è vuoto e che l'insieme dei punti di frontiera di $QQ$ è $RR$. Allora, mi occorre sapere che $QQ$ è denso in $RR$ e $RR\\QQ$ è denso in $RR$.
Insieme dei punti interni
Se per assurdo l'insieme dei punti interni fosse non vuoto allora contiene almeno un elemento, sia $x$.
Allora, per definizione di punto interno, $exists r>0$ tale che $B(x,r) subseteqQQ$, assurdo, perché tale intorno non può essere contenuto interamente in $QQ$ per via della densità di $QQ$ in $RR$.
Insieme dei punti di frontiera
Bisogna dimostrare che $RR=DeltaQQ$, cioè una doppia inclusione.
Se $x in DeltaQQ$, allora può essere $x in QQ$ oppure $x notinQQ$, quindi, nel primo caso e nel second si ha $x in RR$. Quindi una è provata.
Invece, l'altra $x in RR$ allora $x in DeltaQQ$. Per assurdo x non è di frontiera per $QQ$, allora $x$ è interno a $QQ$ oppure $x$ è esterno a $QQ$.
Il primo caso, allora $exists r>0$ tale che $B(x,r) subseteqQQ$, si ha una contraddizione per via che $QQ$ è denso in $RR$, nel seconda caso $x$ è interno al $CQQ=RR\\QQ$, allora $exists r>0$ tale che $B(x,r) subseteqRR\\QQ$ si ha una contraddizione per via che $RR\\QQ$ è denso in $RR$.
Va bene?
Voglio provare a dimostrare che l'insieme dei punti interni di $QQ$ è vuoto e che l'insieme dei punti di frontiera di $QQ$ è $RR$. Allora, mi occorre sapere che $QQ$ è denso in $RR$ e $RR\\QQ$ è denso in $RR$.
Insieme dei punti interni
Se per assurdo l'insieme dei punti interni fosse non vuoto allora contiene almeno un elemento, sia $x$.
Allora, per definizione di punto interno, $exists r>0$ tale che $B(x,r) subseteqQQ$, assurdo, perché tale intorno non può essere contenuto interamente in $QQ$ per via della densità di $QQ$ in $RR$.
Insieme dei punti di frontiera
Bisogna dimostrare che $RR=DeltaQQ$, cioè una doppia inclusione.
Se $x in DeltaQQ$, allora può essere $x in QQ$ oppure $x notinQQ$, quindi, nel primo caso e nel second si ha $x in RR$. Quindi una è provata.
Invece, l'altra $x in RR$ allora $x in DeltaQQ$. Per assurdo x non è di frontiera per $QQ$, allora $x$ è interno a $QQ$ oppure $x$ è esterno a $QQ$.
Il primo caso, allora $exists r>0$ tale che $B(x,r) subseteqQQ$, si ha una contraddizione per via che $QQ$ è denso in $RR$, nel seconda caso $x$ è interno al $CQQ=RR\\QQ$, allora $exists r>0$ tale che $B(x,r) subseteqRR\\QQ$ si ha una contraddizione per via che $RR\\QQ$ è denso in $RR$.
Va bene?
Risposte
Buongiorno.
Riporto le definizioni di densità nei due casi specifici.
$RR\\QQ$ denso in $RR$ se per ogni $r>0$, per ogni $x in RR$ esiste $y in RR\\QQ$ tale che $y in B(x,r)$.
$QQ$ denso in $RR$ se per ogni $r>0$, per ogni $x in RR$ esiste $y in QQ$ tale che $y in B(x,r)$.
$QQ^circ=emptyset$
Per assurdo l'insieme dei punti interni di $QQ$ risultasse non vuoto, allora, dovrebbe contenere un punto, sia $a$ tale punto.
Quindi, $a$ è interno a $QQ$, il che significa, per definizione, che esiste $bar{r}>0$ per cui $B(a, bar{r})subseteqQQ$.
Questo è assurdo perché il punto $a$ essendo interno a $QQ$ segue che $a$ appartiene a $QQ$, e dunque $a in RR$, e visto la presenza dei quantificatori universali, segue, e visto che $RR\\QQ$ denso in $RR$, l'esistenza di un punto $y in RR\\QQ$ tale che $y in B(a, bar{r})$.
Dunque, tale l'intorno non può essere contenuto interamente in $QQ$
$DeltaQQ=RR$
L'inclusione da destra verso sinistra è immediata perché l'ambiante in cui si lavora è $RR$.
Invece, l'altra $hp: x in RR$ $th: x DeltaQQ$.
Per assurdo il punto $x$ non è punto di frontiera per $QQ$, allora vi possono essere due possibilità, $x$ interno a $QQ$ o che $x$ esterno a $QQ$.
Se $x$ interno a $QQ$ si arriva all'assurdità nello stesso identico modo visto per dimostrare che $QQ^circ=emptyset$, come già osservato da ViciousGoblin.
Se $x$ esterno a $QQ$, significa, per definizione, che esiste $bar{r'}>0$ per cui $B(x, bar{r'})subseteqCQQ$.
Questo è assurdo perché il punto $x$ essendo esterno a $QQ$ segue che $a$ non appartiene a $QQ$, e dunque $a in RR$.
Poiché, $QQ$ denso in $RR$, l'intorno $B(x, bar{r'})$ contiene un punto $y in QQ$, e quindi tale intorno non è contenuto interamente $CQQ$.
Giusto ?
Riporto le definizioni di densità nei due casi specifici.
$RR\\QQ$ denso in $RR$ se per ogni $r>0$, per ogni $x in RR$ esiste $y in RR\\QQ$ tale che $y in B(x,r)$.
$QQ$ denso in $RR$ se per ogni $r>0$, per ogni $x in RR$ esiste $y in QQ$ tale che $y in B(x,r)$.
$QQ^circ=emptyset$
Per assurdo l'insieme dei punti interni di $QQ$ risultasse non vuoto, allora, dovrebbe contenere un punto, sia $a$ tale punto.
Quindi, $a$ è interno a $QQ$, il che significa, per definizione, che esiste $bar{r}>0$ per cui $B(a, bar{r})subseteqQQ$.
Questo è assurdo perché il punto $a$ essendo interno a $QQ$ segue che $a$ appartiene a $QQ$, e dunque $a in RR$, e visto la presenza dei quantificatori universali, segue, e visto che $RR\\QQ$ denso in $RR$, l'esistenza di un punto $y in RR\\QQ$ tale che $y in B(a, bar{r})$.
Dunque, tale l'intorno non può essere contenuto interamente in $QQ$
$DeltaQQ=RR$
L'inclusione da destra verso sinistra è immediata perché l'ambiante in cui si lavora è $RR$.
Invece, l'altra $hp: x in RR$ $th: x DeltaQQ$.
Per assurdo il punto $x$ non è punto di frontiera per $QQ$, allora vi possono essere due possibilità, $x$ interno a $QQ$ o che $x$ esterno a $QQ$.
Se $x$ interno a $QQ$ si arriva all'assurdità nello stesso identico modo visto per dimostrare che $QQ^circ=emptyset$, come già osservato da ViciousGoblin.
Se $x$ esterno a $QQ$, significa, per definizione, che esiste $bar{r'}>0$ per cui $B(x, bar{r'})subseteqCQQ$.
Questo è assurdo perché il punto $x$ essendo esterno a $QQ$ segue che $a$ non appartiene a $QQ$, e dunque $a in RR$.
Poiché, $QQ$ denso in $RR$, l'intorno $B(x, bar{r'})$ contiene un punto $y in QQ$, e quindi tale intorno non è contenuto interamente $CQQ$.
Giusto ?
"compa90":
Buongiorno.
Riporto le definizioni di densità nei due casi specifici.
$RR\\QQ$ denso in $RR$ se per ogni $r>0$, per ogni $x in RR$ esiste $y in RR\\QQ$ tale che $y in B(x,r)$.
$QQ$ denso in $RR$ se per ogni $r>0$, per ogni $x in RR$ esiste $y in RR$ tale che $y in B(x,r)$.
$QQ^circ=emptyset$
Per assurdo l'insieme dei punti interni di $QQ$ risultasse non vuoto, allora, dovrebbe contenere un punto, sia $a$ tale punto.
Quindi, $a$ è interno a $QQ$, il che significa, per definizione, che esiste $bar{r}>0$ per cui $B(a, bar{r})subseteqQQ$.
Questo è assurdo perché il punto $a$ essendo interno a $QQ$ segue che $a$ appartiene a $QQ$, e dunque $a in RR$, e visto la presenza dei quantificatori universali, segue, e visto che $RR\\QQ$ denso in $RR$, l'esistenza di un punto $y in RR\\QQ$ tale che $y in B(a, bar{r})$.
Dunque, tale l'intorno non può essere contenuto interamente in $QQ$
$DeltaQQ=RR$
L'inclusione da destra verso sinistra è immediata perché l'ambiante in cui si lavora è $RR$.
Invece, l'altra $hp: x in RR$ $th: x DeltaQQ$.
??
"compa90":
Per assurdo il punto $x$ non è punto di frontiera per $QQ$, allora vi possono essere due possibilità, $x$ interno a $QQ$ o che $x$ esterno a $QQ$.
Se $x$ interno a $QQ$ si arriva all'assurdità nello stesso identico modo visto per dimostrare che $QQ^circ=emptyset$, come già osservato da ViciousGoblin.
Più semplicemente $x$ non può essere interno perché, come visto prima, la parte interna è vuota.
"compa90":
Se $x$ esterno a $QQ$, significa, per definizione, che esiste $bar{r'}>0$ per cui $B(x, bar{r'})subseteqCQQ$.
Questo è assurdo perché il punto $x$ essendo esterno a $QQ$ segue che $a$ non appartiene a $QQ$, e dunque $a in RR$.
Poiché, $QQ$ denso in $RR$, l'intorno $B(x, bar{r'})$ contiene un punto $y in QQ$, e quindi tale intorno non è contenuto interamente $CQQ$.
Giusto ?
Giusto!
"ViciousGoblin":
??
Per cosa?
"ViciousGoblin":
[
Più semplicemente $ x $ non può essere interno perché, come visto prima, la parte interna è vuota.
Giusto!
Esatto
"compa90":[/quote]
[quote="ViciousGoblin"]
??
Per cosa?
Non ho capito cosa hai scritto nella riga precedente (Invece l'altra ...) Ma non credo sia importante
Con l'affermazione L'inclusione da destra verso sinistra è immediata perché l'ambiante in cui si lavora è $RR$. , cioè $DeltaQQsubseteqRR$ è banale perché l'ambiante in cui si lavora è $RR$.
Invece, con $hp:x in RR$ $ th:x in ΔQ.$ (ho dimenticato di inserire il simbolo di appartenenza, che ora c'è) ho voluto indicare cosa stavo per fare.
Quindi, è tutto ok ?
Invece, con $hp:x in RR$ $ th:x in ΔQ.$ (ho dimenticato di inserire il simbolo di appartenenza, che ora c'è) ho voluto indicare cosa stavo per fare.
Quindi, è tutto ok ?
Ahhhh
hp sta per ipotesi e th sta per tesi
TUTTO OK
hp sta per ipotesi e th sta per tesi
TUTTO OK
Perfetto risolto un altro problema 
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