Punti interni e di frontiera per $QQ$

[compa90]

Ciao

Voglio provare a dimostrare che l'insieme dei punti interni di $QQ$ è vuoto e che l'insieme dei punti di frontiera di $QQ$ è $RR$. Allora, mi occorre sapere che $QQ$ è denso in $RR$ e $RR\\QQ$ è denso in $RR$.


Insieme dei punti interni
Se per assurdo l'insieme dei punti interni fosse non vuoto allora contiene almeno un elemento, sia $x$.
Allora, per definizione di punto interno, $exists r>0$ tale che $B(x,r) subseteqQQ$, assurdo, perché tale intorno non può essere contenuto interamente in $QQ$ per via della densità di $QQ$ in $RR$.


Insieme dei punti di frontiera
Bisogna dimostrare che $RR=DeltaQQ$, cioè una doppia inclusione.
Se $x in DeltaQQ$, allora può essere $x in QQ$ oppure $x notinQQ$, quindi, nel primo caso e nel second si ha $x in RR$. Quindi una è provata.
Invece, l'altra $x in RR$ allora $x in DeltaQQ$. Per assurdo x non è di frontiera per $QQ$, allora $x$ è interno a $QQ$ oppure $x$ è esterno a $QQ$.
Il primo caso, allora $exists r>0$ tale che $B(x,r) subseteqQQ$, si ha una contraddizione per via che $QQ$ è denso in $RR$, nel seconda caso $x$ è interno al $CQQ=RR\\QQ$, allora $exists r>0$ tale che $B(x,r) subseteqRR\\QQ$ si ha una contraddizione per via che $RR\\QQ$ è denso in $RR$.

Va bene?

[ViciousGoblin]

"compa90":
Voglio provare a dimostrare che l'insieme dei punti interni di $QQ$ è vuoto e che l'insieme dei punti di frontiera di $QQ$ è $RR$. Allora, mi occorre sapere che $QQ$ è denso in $RR$ e $RR\\QQ$ è denso in $R$.

Intendi dire che dai per buono il fatto che $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ sono entrambi densi in $\mathbb{R}$ ?
OK prendo per buono questo punto di vista.

"compa90":
Insieme dei punti interni
Se per assurdo l'insieme dei punti interni fosse non vuoto allora contiene almeno un elemento, sia $x$.
Allora, per definizione di punto interno, $exists r>0$ tale che $B(x,r) subseteqQQ$, assurdo, perché tale intorno non può essere contenuto interamente in $QQ$ per via della densità di $QQ$ in $RR$.

Beh è vero che non può esistere una $B(x,r)$ tutta contenuta in $\mathbb{Q}$, però questo non segue dalla densità di
$\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$, casomai della densità di $\mathbb{R}\setminus{\mathbb{Q}}$ in $\mathbb{R}$.
Non so che definizione hai di densità: per me $A\subset B$ è denso in $B$ se la chiusura di $A$ coincide con $B$. In particolare $\mathbb{R}$ è denso in $\mathbb{R}$ e tutti i suoi punti sono interni(questo esempio mostra che il tuo ragionamento non fila).Prova a formalizzare la densità di $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ e vedrai che trovi l'assurdo.

"compa90":

Insieme dei punti di frontiera
Bisogna dimostrare che $RR=DeltaQQ$, cioè una doppia inclusione.

Se dimostri che $\mathbb{R}\subset\partial\mathbb{Q}$ hai fatto. L'altra inclusione è ovvia!

"compa90":

Se $x in DeltaQQ$, allora può essere $x in QQ$ oppure $x notinQQ$, quindi, nel primo caso e nel second si ha $x in RR$. Quindi una è provata.

Sì, come dicevo sopra questa inclusione è ovvia - tutto è ambientato in $\mathbb{R}$...

"compa90":

Invece, l'altra $x in RR$ allora $x in DeltaQQ$. Per assurdo x non è di frontiera per $QQ$, allora $x$ è interno a $QQ$ oppure $x$ è esterno a $QQ$.
Il primo caso, allora $exists r>0$ tale che $B(x,r) subseteqQQ$, si ha una contraddizione per via che $QQ$ è denso in $RR$, nel seconda caso $x$ è interno al $CQQ=RR\\QQ$, allora $exists r>0$ tale che $B(x,r) subseteqRR\\QQ$ si ha una contraddizione per via che $RR\\QQ$ è denso in $RR$.

Le cose sono al contrario. Il fatto che $x$ interno a $\mathbb{Q}$ sia assurdo discende dalla densità di $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$ (come già osservato sopra), mentre l'impossibilità per $x$ di essere esterno a $\mathbb{Q}$ deriva dalla densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$.
SORRY

[gugo82]

"ViciousGoblin":[quote="compa90"]
Voglio provare a dimostrare che l'insieme dei punti interni di $QQ$ è vuoto e che l'insieme dei punti di frontiera di $QQ$ è $RR$. Allora, mi occorre sapere che $QQ$ è denso in $RR$ e $RR\\QQ$ è denso in $R$.

Intendi dire che dai per buono il fatto che $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ sono entrambi densi in $\mathbb{R}$ ?
OK prendo per buono questo punto di vista.[/quote]
Il punto è capire cosa OP intenda per "densi", se si riferisca alla densità topologica (non credo) o densità rispetto all'ordine (cosa che ritengo più probabile).

[ViciousGoblin]

"gugo82":[quote="ViciousGoblin"][quote="compa90"]
Voglio provare a dimostrare che l'insieme dei punti interni di $QQ$ è vuoto e che l'insieme dei punti di frontiera di $QQ$ è $RR$. Allora, mi occorre sapere che $QQ$ è denso in $RR$ e $RR\\QQ$ è denso in $R$.

Intendi dire che dai per buono il fatto che $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ sono entrambi densi in $\mathbb{R}$ ?
OK prendo per buono questo punto di vista.[/quote]
Il punto è capire cosa OP intenda per "densi", se si riferisca alla densità topologica (non credo) o densità rispetto all'ordine (cosa che ritengo più probabile).[/quote]

In effetti anch'io mi ero chiesto nella risposta quale fosse la sua nozione di densità. Però la frase sopra era poco chiara indipendentemente da questo. Da quanto scrive dopo mi pare di capire che lui dà per note le due densità scritte sopra e vuole ricavarne il fatto che $\partial\mathbb{Q}=\mathbb{R}$ e che la parte interna di $\mathbb{Q}=\emptyset.$.
Aspettiamo chiarimenti.
PS chi è OP ? (deve essere un gergo che non conosco... )

[gugo82]

"ViciousGoblin":[quote="gugo82"]Il punto è capire cosa OP intenda per "densi", se si riferisca alla densità topologica (non credo) o densità rispetto all'ordine (cosa che ritengo più probabile).

In effetti anch'io mi ero chiesto nella risposta quale fosse la sua nozione di densità. Però la frase sopra era poco chiara indipendentemente da questo. Da quanto scrive dopo mi pare di capire che lui dà per note le due densità scritte sopra e vuole ricavarne il fatto che $\partial\mathbb{Q}=\mathbb{R}$ e che la parte interna di $\mathbb{Q}=\emptyset.$.
Aspettiamo chiarimenti.[/quote]
Se non ricordo male, con lo stesso utente si discuteva di come provare questa cosa già qualche settimana fa, poi la discussione si è arenata proprio perché c'era un discorso di densità rispetto all'ordine non chiaro (se si sapeva/dava per assodato, o se no, che $RR\setminus QQ$ e $QQ$ fossero densi in $RR$ rispetto all'ordine[nota]Per essere chiari: si dice che un sottoinsieme $D sube RR$ è denso in $RR$ rispetto all'ordine se e solo se per ogni coppia di numeri reali $x Come si vede, questa nozione di densità non ha alcun carattere topologico, ma dipende solo dalla struttura d'ordine.[/nota]).
Quindi tendo a credere che si stia cercando di riprendere esattamente la stessa discussione più o meno da dove la si era lasciata, ma in un altro thread (non chiedermi perché, visto che l'altro è ancora aperto).

"ViciousGoblin":PS chi è OP ? (deve essere un gergo che non conosco... )

OP = 'open post', post di apertura di una discussione; ma anche 'original poster', chi ha avviato una discussione.

Ma il fatto che pure tu non lo sappia mi fa sentire vecchissimo...

[compa90]

Buongiorno, vi ringrazio per l'interessamento.

Comunque, per insieme denso in un altro, mi riferisco rispetto all'ordine.

Detto questo, so che i due insieme $QQ, RR\\QQ$ sono entrambi densi $RR$ ma non so dimostrarli penso che aprirò dei topic a riguardo.
Scusatemi se non l'ho puntualizzato.

Dunque, se $RR\\QQ$ denso in $RR$ allora, per definizione di insieme denso rispetto all'ordine, si ha che per ogni $epsilon>0$ , per ogni $y in RR\\QQ$ esiste $x in RR$ tale che $x in {x in RR: -r Devo far vedere che l'insieme dei punti interni di $QQ$ è vuoto, procedo come prima, cioè per assurdo.
Se per assurdo, l'insieme dei punti interni è non vuoto, allora esiste almeno un punto interno, sia $x$, quindi, per definizione di punto interno esiste un intorno di raggio $r>0$ contenuto interamente in $QQ$, cioè

$B(x,r)={y' in RR : -r

Qui ho problemi, ora devo far vedere che tale intorno non può essere contenuto interamente in $QQ$.
Devo far vedere che tale intorno ha elementi in $RR\\QQ$?

Cita

Segnala

[gugo82]

"compa90":Dunque, se $RR\\QQ$ denso in $RR$ allora, per definizione di insieme denso rispetto all'ordine, si ha che per ogni $epsilon>0$ , per ogni $y in RR\\QQ$ esiste $x in RR$ tale che $x in {x in RR: -r
"A occhio", prima di entrare in aula: mi sa che questa cosa non ti serve a nulla.
E non segue dalla definizione di densità di $RR \setminus QQ$ in $RR$.

[compa90]

"gugo82":
E non segue dalla definizione di densità di $ RR \setminus QQ $ in $ RR $.

??

[gugo82]

"compa90":[quote="gugo82"]
E non segue dalla definizione di densità di $ RR \setminus QQ $ in $ RR $.

??[/quote]
Rileggi quello che hai scritto e confronta con la definizione in nota in un mio post precedente.
Vedi la differenza?
Se sì, dov'è? Se no, probabilmente hai problemi coi quantificatori (di origine remota).

[compa90]

Forse non ci capiamo.


Definizione di insieme denso:
Sia $TsubseteqRR$.
Si dice che $T$ è denso in $RR$ se per ogni $epsilon>0$, per ogni $ t in T$ esiste $x in RR$ per cui $x in B(t, epsilon)$.

Significato:
Qualunque intorno vado a prendere di un punto $t$ in $T$ posso sempre trovare un elemento $x$ di $RR$


Ci troviamo ?

[Fioravante Patrone1]

"compa90":Forse non ci capiamo.


Definizione di insieme denso:
Sia $TsubseteqRR$.
Si dice che $T$ è denso in $RR$ se per ogni $epsilon>0$, per ogni $ t in T$ esiste $x in RR$ per cui $x in B(t, epsilon)$.

Significato:
Qualunque intorno vado a prendere di un punto $t$ in $T$ posso sempre trovare un elemento $x$ di $RR$


Ci troviamo ?

Cari vecchi soci, scusate l'intromissione, ma avrei due suggerimenti per compa90

Suggerimento n. 1: correggere il titolo dell'OP (questo è per tenere sveglia l'attenzione di ViciousGoblin)
Suggerimento n. 2: prova a vedere cosa succede con la tua definizione se prendi $T$ costituito dal solo $0$


[size=85]PS: al solito, per capire di aver capito oppure no, vale più un piccolo esempio che tonnellate di definizioni, lemmi, teoremi...[/size]

[ViciousGoblin]

Purtoppo non ci troviamo...
Secondo la tua definizione ogni insieme $T$ contenuto in $\mathbb{R}$ sarebbe denso in $\mathbb{R}$.
Infatti presi $t$ in $T$ e $\epsilon>0$, qualsiasi essi siano, c'è un punto $x$ in $B(t,\epsilon)$ che appartiene ad $\mathbb{R}$.
Per esempio $x=t$ o un qualsiasi altro punto di $B(t,\epsilon)$ (visto che $T\subset\mathbb{R}$ ).

Poi quella che scrivi sembra la definizione topologica di densità - non avevi detto che volevi usare la densità rispetto all'ordine?

[ViciousGoblin]

"Fioravante Patrone":[quote="compa90"]Forse non ci capiamo.


Definizione di insieme denso:
Sia $TsubseteqRR$.
Si dice che $T$ è denso in $RR$ se per ogni $epsilon>0$, per ogni $ t in T$ esiste $x in RR$ per cui $x in B(t, epsilon)$.

Significato:
Qualunque intorno vado a prendere di un punto $t$ in $T$ posso sempre trovare un elemento $x$ di $RR$


Ci troviamo ?

Cari vecchi soci, scusate l'intromissione, ma avrei due suggerimenti per compa90

Suggerimento n. 1: correggere il titolo dell'OP (questo è per tenere sveglia l'attenzione di ViciousGoblin)
Suggerimento n. 2: prova a vedere cosa succede con la tua definizione se prendi $T$ costituito dal solo $0$


[size=85]PS: al solito, per capire di aver capito oppure no, vale più un piccolo esempio che tonnellate di definizioni, lemmi, teoremi...[/size][/quote]
[ot]Ehilà salve! Mi fa piacere ritrovarti.
Grazie per le premure nei miei confronti Pensavo che OP fosse un gergo giovanile e invece intuisco che deve risalire agli albori dei forum (che non ho praticato molto). Va beh, buono a sapersi.
[/ot]

[compa90]

Si ho sbagliato perdonatemi....

La definizione corretta dovrebbe essere cosi
$Tsubseteq RR$ denso in $RR$ se per ogni $r>0$ per ogni $x in RR$ esiste $y in T$ tale che $y in B(x,r)$
cosi è corretta ?

[gugo82]

"ViciousGoblin":Purtoppo non ci troviamo...
Secondo la tua definizione ogni insieme $T$ contenuto in $\mathbb{R}$ sarebbe denso in $\mathbb{R}$.
Infatti presi $t$ in $T$ e $\epsilon>0$, qualsiasi essi siano, c'è un punto $x$ in $B(t,\epsilon)$ che appartiene ad $\mathbb{R}$.
Per esempio $x=t$ o un qualsiasi altro punto di $B(t,\epsilon)$ (visto che $T\subset\mathbb{R}$ ).

Appunto... Problemi con i quantificatori di origine remota.

"ViciousGoblin":Poi quella che scrivi sembra la definizione topologica di densità - non avevi detto che volevi usare la densità rispetto all'ordine?

Appunto... Poche idee, ma confuse.

Forse è bene sentirlo da più campane, oltre che dalla mia.


@campa90: Sarebbe il caso tu ti appuntassi da qualche parte da dove parti (ipotesi, robe note, etc...) e dove vuoi arrivare (tesi), perché se continui a confondere partenza ed arrivo va a finire che non fai neanche un metro di strada o, peggio, continui a girare in tondo.

[compa90]

@gugo82 i tuoi modi di interagire non mi piacciono... l'affermazione "poche idee" non la tollero.

[gugo82]

"compa90":@gugo82 i tuoi modi di interagire non mi piacciono... l'affermazione "poche idee" non la tollero.

Tuttavia, preferirei tornare a parlare di densità e punti di frontiera, così potrai farti da solo un'idea più precisa sulla mia affermazione.
Ancora siamo in mezzo al mare, mi pare, o no?
Hai meditato sull'esempio proposto da Fioravante? Ne hai tratto qualcosa?

Hai pensato a come riscrivere la dimostrazione senza girare in tondo?

[compa90]

I tuoi consigli, con le tue battute di poca sensibilità te li tieni per te.

Se altri utenti vogliono intervenire in merito al discorso dei punti interni e di frontiera sono felice di riprendere la discussione.

Ciao

[ViciousGoblin]

"compa90":Si ho sbagliato perdonatemi....

La definizione corretta dovrebbe essere cosi
$Tsubseteq RR$ denso in $RR$ se per ogni $r>0$ per ogni $x in RR$ esiste $y in T$ tale che $y in B(x,r)$
cosi è corretta ?

Sì, così è corretta.

[compa90]

Ciao, prima che mi metto...l'ultima definizione, quella corretta, non è equivalente a questa

$T subseteq RR$ denso in $RR$ se per ogni $a,b in RR$ con $a

cioè, nel senso che quest'ultima e "quella corretta" fanno riferimento alla definizione di densità rispetto all'ordinamento?

Cita

Segnala

[ViciousGoblin]

Certo che sono equivalenti. Ma naturalmente l'equivalenza andrebbe dimostrata. Non che sia difficile (per come sono fatti gli intorni nella topologia di $\mathbb{R}$). Però se sui reali ci fosse una topologia diversa la densità rispetto alla topologia potrebbe non essere equivalente a quella definita mediante l'ordine.