Punti discontinuità di una funzione
Buongiorno a tutti... sto facendo un esercizio presente su una delle varie tracce d'esami che sto studiando e mi chiede di calcolare i punti di discontinuità della funzione ma non mi sono chiare due cose:
1) per capire quale tipologia di discontinuità è, devo sempre partire dalla prima specie e procedere per esclusione?
2) quali valori utilizzo per tale studio? (vedi sotto)
La mia funzione è la seguente: $y=(2-root(2)(4-x^2))/(x^2 -2x)$ e il dominio è: $[-2; 0) U (0;2]$
Grazie in anticipo
1) per capire quale tipologia di discontinuità è, devo sempre partire dalla prima specie e procedere per esclusione?
2) quali valori utilizzo per tale studio? (vedi sotto)
La mia funzione è la seguente: $y=(2-root(2)(4-x^2))/(x^2 -2x)$ e il dominio è: $[-2; 0) U (0;2]$
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao!
Sei sicuro che l’insieme di definizione sia quello? Cosa succede per $x=2$?
Una volta risolto questo problema, quali pensi possano essere questi punti? Ce ne sono?
Sei sicuro che l’insieme di definizione sia quello? Cosa succede per $x=2$?
Una volta risolto questo problema, quali pensi possano essere questi punti? Ce ne sono?
"anto_zoolander":
...
Ciao anto_zoolander e grazie per la risposta... credo di aver sbagliato il dominio perchè per $x=2$ si annulla il denominatore il che non è ammesso però ho anche notato che ho sbagliato a ricavare la x del denominatore.
Questo il mio procedimento...
Radicando:
$-x^2 +4 >= 0$
$x^2 - 4 <= 0$
$x^2 <= 4$
$x<=2 $ e $x>=-2$ (valori interni per segni discordi della disequazione)
Denominatore:
$x^2 -2x !=0$
$x(x^2 -2)!=0$
$x!=0$
$x^2 -2 != 0$
$x^2 != 2$
$x!=root2 2$ e $x!=- root2 2$
EDIT
Sono andato avanti ed ho calcolato i limiti in 0 e in 2 (dominio $(-2;0)U(0;2)$)
$lim_(x -> 0^+) = 0$
$lim_(x -> 0^-) = 0$
$lim_(x -> 2^+) = -oo $
$lim_(x -> 2^+) = +oo $
oa bisogna dare un senso a questi risultati... La discontinuità è di seconda specie perchè i limiti sono entrambi indefiniti e diversi tra loro?
Sbagli il denominatore.
I punti da togliere sono gli $x$ tali per cui $x^2-2x=0$ quindi $x(x-2)=0$ ossia $x=0$ e $x=2$
Infatti il tuo errore sta in $x^2-2x=x(x^2-2)$.
Ora posto $D=[-2,0)cup(0,2)$ puoi notare come la funzione non ammetta discontinuità.
Sapresti dirmi perchè affermo questo?
I punti da togliere sono gli $x$ tali per cui $x^2-2x=0$ quindi $x(x-2)=0$ ossia $x=0$ e $x=2$
Infatti il tuo errore sta in $x^2-2x=x(x^2-2)$.
Ora posto $D=[-2,0)cup(0,2)$ puoi notare come la funzione non ammetta discontinuità.
Sapresti dirmi perchè affermo questo?
Perché non sei più al Liceo ... 
"axpgn":
Perché non sei più al Liceo ...
‘sta cosa dei punti di discontinuità ritorna sempre e puntualmente.
"anto_zoolander":
...
in effetti se con $x^2-2x=0$ metto in evidenza la $x$ mi viene $x(x^2 -2)$
se sbaglio all'inizio quello che viene dopo è peggio del peggio Comunque non so perchè non ammette punti di discontinuità... Forse perchè l'unico punto di discontinuità che ha è in $0$ ma è un punto eliminabile?
Come sono definiti i punti di discontinuità di una funzione in una variabile?
"anto_zoolander":
Come sono definiti i punti di discontinuità di una funzione in una variabile?
Si dice discontinua in un punto $x0$ del suo dominio se $lim_(x -> x0) f(x)$ non esiste, è infinito o esiste ma è diverso da $f(x0)$ e
La cosa importante è la prima: il punto di discontinuità $x_0$ deve stare nell’insieme di definizione.
Quindi i punti $x=0,2$ non sono nè di discontinuità nè altro: sono solo dei punti in cui, vicino, la funzione tende ad avere un certo comportamento.
Infatti quando si parla di continuità bisogna specificare dove.
Quella funzione è continua nel suo dominio in quanto,
Molto spesso questi problemi chiedono un’altra cosa, sbagliando la scrittura della richiesta.
Quello che si può chiedere è se esista una estensione di $f$ che sia continua nei punti di frontiera del dominio che in questo caso risultano essere $x=0,2$
Ovvero una funzione $g:A->RR$ tale che $DsubseteqA$ e $g_(|D)=f$ che sia continua in $D$.
La restrizione la puoi considerare come $gcirc i_(D) : D->A->RR$
In questo caso la funzione $f$ ammette come estensione continua la funzione
Ovviamente la posizione $g(0)=0$ è giustificata da $lim_(x->0)f(x)=0$
Quindi i punti $x=0,2$ non sono nè di discontinuità nè altro: sono solo dei punti in cui, vicino, la funzione tende ad avere un certo comportamento.
Infatti quando si parla di continuità bisogna specificare dove.
Quella funzione è continua nel suo dominio in quanto,
$forall x_0 inD, lim_(x->x_0)f(x)=f(x_0)$
Molto spesso questi problemi chiedono un’altra cosa, sbagliando la scrittura della richiesta.
Quello che si può chiedere è se esista una estensione di $f$ che sia continua nei punti di frontiera del dominio che in questo caso risultano essere $x=0,2$
Ovvero una funzione $g:A->RR$ tale che $DsubseteqA$ e $g_(|D)=f$ che sia continua in $D$.
La restrizione la puoi considerare come $gcirc i_(D) : D->A->RR$
In questo caso la funzione $f$ ammette come estensione continua la funzione
$g(x):= {( f(x) if x in D) , ( 0 if x=0):}$
Ovviamente la posizione $g(0)=0$ è giustificata da $lim_(x->0)f(x)=0$
"anto_zoolander":
...
Grazie infinite anto_zoolander per la tua risposta precisa ed esaustiva, non potevo chiedere di meglio...
Cercando di formalizzare la tua spiegazione ho effettuato i seguenti passaggi:
$lim_(x -> 0^(+-)) f(x) = 0 $ ottenendo una discontinuità si terza specie o eliminabile
$lim_(x -> 2^(-)) f(x) = + oo $ ottenendo una discontinuità si seconda specie (dovrebbe essere un asintoto se non erro)
a $x=2$ non ho fatto limite perchè compreso nel dominio (la condizione del radicando è $-2<= x <= 2 $ messa a sistema con il denominatore che è $x != 0$ e $x != 2$)
Mi confermi che non si ha discontinuità in questi tre casi elencati di seguito:
1) $AA chi in R$
2) $[n; +- oo)$
3) $[n1; n2]$
No...ma cosa studi? chi ti ha insegnato questa roba? La tua funzion è continua e basta!...e' da giorni che ti si dice...
Tutta questa questione delle prime specie e seconde specie e così via la trovo assolutamente inutile, ed è incredibile come si sforzino di far imparare cose inutili agli studenti rinc*oglienendoli ancora di più...una funzione è discontinua in un punto quando non è continua, basta e avanza, poi si può dire che quando limite destro e sinistro in un qualche punto (dove la funzione è definita!) non coincidono e sono finiti, allora la funzione presenta un "salto", ma non è che si possono fare tutti gli esempini inutili e dare un nome a ognuno di essi, oltre al fatto che sono nomi che non hanno nessun significato, di prima, sexonda o terza specie non significa nulla, uno dopo un po' di tempo se la scorda quella definizione stupida e sbagliata, mentre il concetto di "salto" è chiaro..."quella funzione presenta un salto in quel punto" significa oggettivamente qualcosa capibile da chiunque non sia completamente tarato, e invece no meglio parlare di prima e seconda specie.
@Vulpasir [ot]Senza entrare nel merito dell'esercizio, non sarei così categorico se fossi in te. Esistono diverse definizioni di punti di discontinuità che non sono equivalenti tra loro. A volte, vengono considerati punti di discontinuità anche quei punti del derivato del dominio che non appartengono al dominio (il professore Soardi segue questa definizione, ad esempio).[/ot]
"Vulplasir":
No...ma cosa studi? chi ti ha insegnato questa roba? La tua funzion è continua e basta!...e' da giorni che ti si dice...
Beh, se avessi chiaro il concetto non penso passerei il mio tempo a cercare di capire un argomento e a chiedere a chi sicuramente ne sà più di me su questo forum... Che poi l'argomento sia inutile o la nomenclatura sia poco efficiente, rimane un parere personale, all'esame spesso viene fuori questo esercizio e non voglio perdere punti su un esercio sicuramente più fattibile di un integrale doppio o chi per esso...
La funzione è continua, ok sono anche d'accordo con te e con l'altro utente del forum che mi ha gentilmente spiegato quello che c'era da spiegare ma quello che è importante è capire come si arriva alla soluzione altrimenti all'esame scrivo sotto a questo esercizio "dipende"...
Detto questo chiuso il discorso...
Ora sono ‘l’altro utente’? 
Ora premesso che un punto di discontinuità lo vogliamo nel dominio, possiamo comunque andare a studiare il comportamento della funzione sulla frontiera e in particolare nei punti $x=0,2$
Il primo limite che hai fatto denota che la funzione possa essere estesa per continuità in $0$
La tua funzione formalmente non ha discontinuità in $0$, poiché non è nemmeno definita.
Una funzione tipo questa sarebbe discontinua se definita, per esempio, in questo modo:
Questa funzione è discontinua in $0$ e se proprio vuoi dargli un nome, sarebbe quello che hai dato tu.
Chiaramente è un discorso delicato, perché ci sono professori che intendono una cosa e professori che ne intendono un’altra.
Il buon Trapani qui a Palermo si stava sentendo male quando ha sentito da un collega che la funzione $tan$ avesse infinite discontinuità
L’altro limite viene $-infty$ ma non ho idea di che ‘numero di discontinuità’ sia
So solo che comunque tu definisca la funzione in $x=2$ quella funzione sarebbe discontinua.
Ora premesso che un punto di discontinuità lo vogliamo nel dominio, possiamo comunque andare a studiare il comportamento della funzione sulla frontiera e in particolare nei punti $x=0,2$
Il primo limite che hai fatto denota che la funzione possa essere estesa per continuità in $0$
La tua funzione formalmente non ha discontinuità in $0$, poiché non è nemmeno definita.
Una funzione tipo questa sarebbe discontinua se definita, per esempio, in questo modo:
$g(x):={(f(x) if x in D),(3 if x=0):}$
Questa funzione è discontinua in $0$ e se proprio vuoi dargli un nome, sarebbe quello che hai dato tu.
Chiaramente è un discorso delicato, perché ci sono professori che intendono una cosa e professori che ne intendono un’altra.
Il buon Trapani qui a Palermo si stava sentendo male quando ha sentito da un collega che la funzione $tan$ avesse infinite discontinuità
L’altro limite viene $-infty$ ma non ho idea di che ‘numero di discontinuità’ sia
So solo che comunque tu definisca la funzione in $x=2$ quella funzione sarebbe discontinua.
Senza entrare nel merito dell'esercizio, non sarei così categorico se fossi in te. Esistono diverse definizioni di punti di discontinuità che non sono equivalenti tra loro. A volte, vengono considerati punti di discontinuità anche quei punti del derivato del dominio che non appartengono al dominio (il professore Soardi segue questa definizione, ad esempio)
Su questo hai ragione, ma considerando l'approccio dell'OP al problema dubito che gli sia stata data una definizione di discontinuità come l'ha data anto_zoolander, perché si sarebbe andati proprioa scovare il pelo nell'uovo generalizzando un concetto che non ha bisogno di essere generalizzato...semplicemente, come ho detto, nel suo corso di studi la materia è trattata in maniera superficiale, tutto qui.
"anto_zoolander":
...
Perdonami anto_zoolander se prima non ti ho citato "per nome" come giustamente avresti meritato però ci son rimasto male leggendo quei due commenti e mi sono lasciato andare ad uno sfogo pacifico che ovviamente non implica che io abbia scretitato tutte le spiegazioni che mi hai gentilmente dato (che non sono poche) e di questo ti ringrazio ancora vivamente.
Perfetto, il mio ragionamento che ho fatto seguendo le tue spiegazioni precedenti si trova (salvo nomenclature poco corrette) e questo era il punto a cui volevo arrivare, perchè così su un altro esercizio so come orientarmi e poi se non si trova vedrò come regolarmi per la correzione.
Grazie ancora anto_zoolander per la pazienza e scusa per prima
Ma va, tranquillo, era per sdrammatizzare
Se dovessi avere altri dubbi, apri pure una nuova discussione
Se dovessi avere altri dubbi, apri pure una nuova discussione
"Marco Beta2":
Perfetto, il mio ragionamento che ho fatto seguendo le tue spiegazioni precedenti si trova ...
A me non pare: anto dice che non esistono punti di discontinuità mentre tu ne hai trovati due; qualcosa non quadra
Cordialmente, Alex
"Vulplasir":
Tutta questa questione delle prime specie e seconde specie e così via la trovo assolutamente inutile, [...]funzione è discontinua in un punto quando non è continua[...]
Sono residui di vecchie notazioni, credo, ma sarebbe interessante approfondire. È vero che nella matematica moderna queste diciture non si usano più.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo