Punti di max/min con Hessiana

[Leira1]

Salve, ho un esercizio su cui mi sono bloccata e su cui ho dei dubbi riguardo i miei calcoli.
Sia \( f:R^2\rightarrow R f(x,y)=2(x-1)^2-(x-1)^4-y^2 \) .
Determinare : Sup, inf, max/ min rel/asso e punti di sella.
I calcoli che ho fatto io
\( \frac{\partial^{}f}{\partial x}=4(x-1)-4(x-1)^3

\frac{\partial^{}f}{\partial y}=-2y \)
Ora controllo quando il gradiente fa zero ( qui ho dei dubbi sulla mia risoluzione)
\( \begin{cases} 4(x-1)-4(x-1)^3=0 \\ -2y=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} (4(x-1)(1-(x-1)^2) \\ y=0 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 4(x-1)=0 \\ 1-(x^2+1-2x)=0 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=0 \\ x=2 \\ y=0 \end{cases} \)

quindi i miei punti sono $A(1,0) B(0,0) C(2,0) $
Ora mi calcolo la matriche Hessiana
\( \begin{vmatrix} 4-12(x-1)^2 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \)

\( H(1,0)= \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \)
\( H(0,0)= \begin{vmatrix} -8 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \)
\( H(2,0)= \begin{vmatrix} -8 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \)

Quindi A è un punto di sella e B e C sono punti di max relativo?
fin qui è giusto?
visto che mi pare la funzione ( a $ \infty $) vada a $- \infty $ quei due sono relativi e sup=inf= $-\infty $ ?
Grazie a tutti e buon pomeriggio

[dissonance]

sup=inf=\(-\infty\).

Sup = - infinito non si può proprio sentire, attenzione a quello che scrivi. A parte questo, il resto è corretto, devi però calcolare il sup.

[Leira1]

hai ragione, è veramente bruttino da leggere. Ma per il resto, sai se ho svolto correttamente?

[dissonance]

Non è questione di bruttino, è proprio sbagliato. Come fa un sup a essere uguale a \(-\infty\)? Hai presente la definizione di sup?

Ma per il resto, sai se ho svolto correttamente?

Ho già risposto a questa domanda

[dissonance]

Forse non ci siamo capiti perché ho modificato il mio primo post, rileggilo per favore.

[Leira1]

perfetto! ti ringrazio, non avevo fatto caso avessi modificato il post. Se non sbaglio però quando mando le cordinate a infinito, la funzione non in negativo?

[dissonance]

Guarda Leira, ho letto in un altro tuo post che stai facendo esercizi a raffica, sei stanca, e si vede. Fare esercizi così non serve a niente, non stai imparando a suonare il piano. Devi ragionare su quello che fai. E' vero che
\[
\lim_{x^2+y^2\to \infty} f(x, y)=-\infty, \]
ma adesso, per favore, rispondi a questa domanda:

cosa significa \(\sup f=-\infty\)?

Ricordati che \(f(x, y)\le \sup f\) per ogni \((x, y)\in \mathbb R^2\).

[Leira1]

Pensavo di aver risposto,comunque grazie per la cordialità e la comprensione della risposta. Comunque si hai ragione non significa nulla..

[dissonance]

Dire \(f(x, y)\le -\infty\) per ogni \((x, y)\in\mathbb R^2\) implica, ovviamente, che \(f(x, y)=-\infty\) per ogni \((x, y)\in\mathbb R^2\). E questo è chiaramente assurdo; in un esame, inoltre, si tratta di un errore molto grave perché dimostra che non hai idea di cosa stai facendo.

Per completare l'esercizio, devi quindi ancora calcolare il sup di \(f\). È un massimo? (Risposta: si, è un massimo, ed è assunto in uno dei punti critici).