Punti di flesso
Ho fatto lo studio della funzione
\(\displaystyle \ln [ (x+1)^{2} (x+2) ] \)
Ho trovato tutto: dominio, comportamento agli estremi, asintoti, massimi e minimi. Mi rimangono solo gli eventuali punti di flesso. Ho studiato l'argomento da libri diversi, e ogni testo spiegava la cosa in modo vago. L'unica cosa che ho capito è che, impostando la derivata seconda uguale a zero si trovato i punti candidati ad essere punti di flesso. La derivata seconda di questa funzione è
\(\displaystyle - \dfrac{3x^{2} + 10x + 9}{(x^2 + 3x + 2)^{2}} \)
La derivata seconda si annulla quando il numeratore è uguale a 0, e le soluzioni sono i punti candidati ad essere punti di flesso. A questo punto, per verificare che siano effettivamente punti di flesso, cosa devo fare di preciso?
Grazie in anticipo
\(\displaystyle \ln [ (x+1)^{2} (x+2) ] \)
Ho trovato tutto: dominio, comportamento agli estremi, asintoti, massimi e minimi. Mi rimangono solo gli eventuali punti di flesso. Ho studiato l'argomento da libri diversi, e ogni testo spiegava la cosa in modo vago. L'unica cosa che ho capito è che, impostando la derivata seconda uguale a zero si trovato i punti candidati ad essere punti di flesso. La derivata seconda di questa funzione è
\(\displaystyle - \dfrac{3x^{2} + 10x + 9}{(x^2 + 3x + 2)^{2}} \)
La derivata seconda si annulla quando il numeratore è uguale a 0, e le soluzioni sono i punti candidati ad essere punti di flesso. A questo punto, per verificare che siano effettivamente punti di flesso, cosa devo fare di preciso?
Grazie in anticipo
Risposte
Cosa sono i punti di flesso? Dalla definizione dovresti capire cosa cercare ...
I punti dove la funzione cambia di concavità. Gli zeri del numeratore sono
\(\displaystyle \dfrac{5+2\sqrt{13}}{3} \)
\(\displaystyle \dfrac{5-2\sqrt{13}}{3} \)
Impostando
\(\displaystyle f''(x) > 0 \)
Risulta che la derivata seconda è sempre maggiore di zero ad eccezione di \(\displaystyle \dfrac{5-2\sqrt{13}}{3} \) e \(\displaystyle \dfrac{5+2\sqrt{13}}{3} \)
\(\displaystyle \dfrac{5+2\sqrt{13}}{3} \)
\(\displaystyle \dfrac{5-2\sqrt{13}}{3} \)
Impostando
\(\displaystyle f''(x) > 0 \)
Risulta che la derivata seconda è sempre maggiore di zero ad eccezione di \(\displaystyle \dfrac{5-2\sqrt{13}}{3} \) e \(\displaystyle \dfrac{5+2\sqrt{13}}{3} \)
Ammesso che i conti siano giusti (non l'ho verificato) cosa ne deduci?
Ho fatto i calcoli prendendo per buono il fatto che al denominatore c'è un quadrato, e quindi è sempre positivo. Affinché la derivata seconda sia maggiore di zero, numeratore e denominatore devono essere concordi, quindi il numeratore, essendoci un meno davanti, dev'essere minore di zero.
\( \displaystyle - 3x^{2} + 10x + 9 < 0\)
Moltiplicando per -1 diventa
\( \displaystyle 3x^{2} - 10x - 9 > 0\)
\( \displaystyle - 3x^{2} + 10x + 9 < 0\)
Moltiplicando per -1 diventa
\( \displaystyle 3x^{2} - 10x - 9 > 0\)
A parte il fatto che i conti non sono corretti (quel numeratore non ha zeri e nell'ultimo passaggio qui sopra hai fatto un errore "orrendo" e ho dubbi anche sulle derivate ... ma son dettagli
) io ti ho chiesto cosa ne deduci in merito ai punti di flesso ... ci sono? non ci sono? senza rifare i calcoli da quello che hai scritto che risposte hai?

Alla luce di questo nuovo elemento, ovvero che la derivata seconda non è mai maggiore di zero, mi verrebbe da dire che la funzione non ha punti di flesso.
La funzione non ha punti di flesso perché a sinistra e a destra dei punti candidati a flesso ha lo stesso segno.
Questo perché la derivata seconda non può mai cambiare di segno?
Certo che può cambiare di segno, anzi è proprio quando alla sinistra di un punto ha un segno e alla sua destra un altro che quel punto diventa "punto di flesso", ma in questo caso ciò non avviene perciò non cambiando mai segno non esistono punti di flesso.
Il segno della derivata seconda "rappresenta" la concavità: se positivo la concavità è verso l'alto (come un vaso per intenderci), se negativo verso il basso (come una campana)
Il segno della derivata seconda "rappresenta" la concavità: se positivo la concavità è verso l'alto (come un vaso per intenderci), se negativo verso il basso (come una campana)
Non può cambiare di segno intendevo in questo caso ovviamente

Mi era venuto il dubbio ma meglio precisare ...
