Punti di Diramazione
La funzione $ cosh (z sqrt(z)) $ non è polidroma perchè il coseno iperbolico è pari, inoltre $ cosh (z sqrt(z))=sum_(n=0)^infty z^(3n)/((2n)!) $ perchè non posso concludere che è olomorfa ovunque anche in $ 0 $?
Se ne faccio la derivata esce una funzione ancora indipendente dalla determinazione $ sinh(zsqrt(z))(3/2sqrt(z)) $
La derivata seconda anche ma avrà una radice al denominatore, che è una discontinuità eliminabile: $ cosh(zsqrt(z))(3/2sqrt(z))^2+sinh(zsqrt(z))3/4 1/sqrt(z) $
Cosa si può dire?
Se ne faccio la derivata esce una funzione ancora indipendente dalla determinazione $ sinh(zsqrt(z))(3/2sqrt(z)) $
La derivata seconda anche ma avrà una radice al denominatore, che è una discontinuità eliminabile: $ cosh(zsqrt(z))(3/2sqrt(z))^2+sinh(zsqrt(z))3/4 1/sqrt(z) $
Cosa si può dire?
Risposte
Rinnovo la richiesta.
Non prendere per certo ciò che ti sto per dire, visto che questi argomenti non li ho ancora studiati approfonditamente.
0 dovrebbe essere un punto di diramazione (e quindi una singolarità).
Ripeto non prendere per assoluta certezza ciò che ti ho detto.
0 dovrebbe essere un punto di diramazione (e quindi una singolarità).
Ripeto non prendere per assoluta certezza ciò che ti ho detto.
Grazie dell'intervento ma sono sicuro al cento per cento di quello che ho scritto.
Infatti le due determinazioni di $ sqrt(z) $ sono $ sqrt(rho)e^(itheta/2) $ e $ sqrt(rho)e^(itheta/2)e^(ipi) $ che la parità del coseno iperbolico provvede a ignorare.
La funzione non è polidroma appunto. Per capirci anche la funzione $ (sqrt(z))^4 $ non è polidroma, ed è ovviamente olomorfa ovunque.
La questione è se è olomorfa in zero, visto che ammette ivi sviluppo di Taylor. A mio avviso sì, per definizione.
Infatti le due determinazioni di $ sqrt(z) $ sono $ sqrt(rho)e^(itheta/2) $ e $ sqrt(rho)e^(itheta/2)e^(ipi) $ che la parità del coseno iperbolico provvede a ignorare.
La funzione non è polidroma appunto. Per capirci anche la funzione $ (sqrt(z))^4 $ non è polidroma, ed è ovviamente olomorfa ovunque.
La questione è se è olomorfa in zero, visto che ammette ivi sviluppo di Taylor. A mio avviso sì, per definizione.
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