Punti di cuspide e angolosi

[oretovalley]

Ciao a tutti, volevo un chairimento di analisi 1, riguardo ai punti di non derivabilità e alla retta tangente in questi punti.
Un punto angoloso può avere retta tangente nel punto? Quello che ho avuto modo di verificare è che ci sono due rette tangenti con coefficienti angolari di segno opposto che si avvicinano al punto, quindi a mio avviso non dovrebbe esserci.

In un punto di cuspide, mi chiedevo, la retta tangente nel punto, potrebbe essere una retta a tangente verticale?

[Sk_Anonymous]

La definizione di derivabilità di una funzione $f(x)$ in un punto $x_0$ richiede che esista e sia finito $lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h$. Dire che il limite esiste ed è finito significa dire che deve valere $lim_(h->0^(+)) (f(x_0+h)-f(x_0))/h=lim_(h->0^(-)) (f(x_0+h)-f(x_0))/h$, ed entrambi i membri dell'identità devono essere numeri reali.
Si dice che $x_0$ è un punto angoloso per la funzione $f(x)$ se non è vero che $lim_(h->0^(+)) (f(x_0+h)-f(x_0))/h=lim_(h->0^(-)) (f(x_0+h)-f(x_0))/h$. In un punto angoloso, come hai giustamente detto, ci sono due rette tangenti nel punto. Nel punto di cuspide esiste la retta tangente, e tale tangente è esattamente verticale.
Spero di non aver detto cazzate, non vado proprio pazzo per l'analisi anche se mi piace.

[Luca.Lussardi]

Moderazione del linguaggio, grazie.

[Plepp]

Beh, per definizione, la retta tangente ad grafico di $f$ in un punto $x_0$ è la retta passante per $(x_0, f(x_0))$ di coefficiente angolare $f'(x_0)$. Ergo, in un punto angoloso, così come in un punto di cuspide, la retta tangente non esiste. Suppongo che quando si dice "punto a tangente verticale" si faccia un abuso di linguaggio.

Illuminaci, Luca