Punti di accumulazione (non banale)
sia A l'insieme
A={sin(n) con $n in NN$}
trovare A' (insieme dei punti di accumulazione)
alcune considerazioni:
1) ogni insieme infinito e limitato ammette almeno un punto di accumulazione (t. di Bolzano-Weierstrass)
2) A è un insieme infinito (con la cardinalità del numerabile) con valori irrazionali
3) tutti i valori di sin(n) sono compresi tra -1 ed 1
4) sin(n)$!=$sin(m) con n$!=$m entrambi naturali
quindi parrebbe proprio che A'=[-1,1]....
ma a dimostrare formalmente la cosa, ossia che $AAr AAa in A EE b!=a in A in U_r(a)$ (notazione $U_r(a)$ intorno di a di raggio r) non ci arrivo...
(leggende metropolitane vogliono che questo problema fosse presente nella prima versione del leggendario eserciziario di Analisi "Ricci-De Michele-Forti" e sia stato tolto perchè troppo difficile... sarà vero?)
A={sin(n) con $n in NN$}
trovare A' (insieme dei punti di accumulazione)
alcune considerazioni:
1) ogni insieme infinito e limitato ammette almeno un punto di accumulazione (t. di Bolzano-Weierstrass)
2) A è un insieme infinito (con la cardinalità del numerabile) con valori irrazionali
3) tutti i valori di sin(n) sono compresi tra -1 ed 1
4) sin(n)$!=$sin(m) con n$!=$m entrambi naturali
quindi parrebbe proprio che A'=[-1,1]....
ma a dimostrare formalmente la cosa, ossia che $AAr AAa in A EE b!=a in A in U_r(a)$ (notazione $U_r(a)$ intorno di a di raggio r) non ci arrivo...
(leggende metropolitane vogliono che questo problema fosse presente nella prima versione del leggendario eserciziario di Analisi "Ricci-De Michele-Forti" e sia stato tolto perchè troppo difficile... sarà vero?)
Risposte
nn vorrei sbagliare ma dando dei valori ad n il & sin(n) & non darà mai un intervallo di valori........bensì dei punti.....ed un singolo punto non è un insieme di accumulazione.....(almeno così mi pare.....)
"bu11dog85":
nn vorrei sbagliare ma dando dei valori ad n il & sin(n) & non darà mai un intervallo di valori........bensì dei punti.....ed un singolo punto non è un insieme di accumulazione.....(almeno così mi pare.....)
non mi convince quello che dici... in particolare l'espressione "un singolo punto non è un insieme di accumulazione" non è un granchè rigorosa
secondo il tuo ragionamento anche i punti di A={m/n con m,n$in N$ e m
molto probabilmente avrai ragione te visto ke ti ho risposto x ql ke mi ricordo di analisi I riguardo la parte puramente teorica di derivate, limiti e punti di accumulazione......per il resto nn ne ho la + pallida idea......
Secondo me i Razionali, come i Naturali hanno come punto di accumulazione solo infinito.
Si ha punto di accumulazione quando $\forall U_{x_0},(U_{x_0}-{x_0})\capA\ne\emptyset$
Ciò non è verificato nei numeri razionali ma solo in quelli Reali, dato l'assioma di Dedekind (o di completezza).
Si ha punto di accumulazione quando $\forall U_{x_0},(U_{x_0}-{x_0})\capA\ne\emptyset$
Ciò non è verificato nei numeri razionali ma solo in quelli Reali, dato l'assioma di Dedekind (o di completezza).
Sono d'accordo con cavallipurosangue, tant'è vero che per le successioni numeriche, che sono funzioni con dominio N e codominio R, si parla solo di limite per n ---> infinito, che è appunto l'unico punto di accumulazione per i numeri naturali. Analogo discorso si può fare con i numeri razionali, in quanto grazie a Cantor è stato dimostrato che Q è un insieme infinito dello stesso ordine di N. Secondo la definizione di Lebesgue, inoltre, Q e N hanno misura nulla, discorso che non vale per R.
ragazzi, state facendo una megaconfusione
su questo sono sicurissimo, ogni razionale è punto di accumulazione sia per i razionali che per gli irrazionali. tant'è che la frontiera di Q è R, questo significa che in ogni intorno di un reale (razionale o irrazionale) cadono almeno un razionale ed un irrazionale
il fatto che Q abbia la potenza di N non centra proprio nulla, così come l'assioma di Dedekind. i razionali non rappresentano una retta continua, ma la loro "granularità" è densa, mica stiamo parlando di una metrica discreta!
per fortuna che su questo mi sento molto sicuro, altrimenti da un mio dubbio mi avreste fatto fare ancora più confusione. povero me.
LucaLussardi, camillo, Mistral, venitemi in aiuto
su questo sono sicurissimo, ogni razionale è punto di accumulazione sia per i razionali che per gli irrazionali. tant'è che la frontiera di Q è R, questo significa che in ogni intorno di un reale (razionale o irrazionale) cadono almeno un razionale ed un irrazionale
il fatto che Q abbia la potenza di N non centra proprio nulla, così come l'assioma di Dedekind. i razionali non rappresentano una retta continua, ma la loro "granularità" è densa, mica stiamo parlando di una metrica discreta!
per fortuna che su questo mi sento molto sicuro, altrimenti da un mio dubbio mi avreste fatto fare ancora più confusione. povero me.
LucaLussardi, camillo, Mistral, venitemi in aiuto
Allora un numero di Q è punto di accumulazione di R (basta applicare la definizione e la proprietà di densità). Per l'es di partenza direi anche io che l'intervallo [-1 1] è di punti di accumulazione per l'insieme indicato (che è l'insieme immagine di una una successione, non l'insieme di definizione!). Come dimostrarlo non è immediato ma nemmeno difficilissimo. Preso ad arbitrio un numero dell'intervallo [-1 1], bisogna dimostrare che esiste un n tale che sin(n) sia.... etc etc Altrimeti applichi Bolzano-Weierstrass per assurdo. Devi dim che A ha infiniti elementi...
Giusto, ho appena trovato scritto che pgni numero reale è punto di accumulazione in Q. Mi sono sbagliato.
Per quanto riguarda invece i numeri naturali l'unico punto di accumulazione risulta essere $+\infty$
Per quanto riguarda invece i numeri naturali l'unico punto di accumulazione risulta essere $+\infty$
"cavallipurosangue":
Per quanto riguarda invece i numeri naturali l'unico punto di accumulazione risulta essere $+\infty$
mmm... non credo che +inf possa considerarsi un punto di accumulazione in N, non essendo un punto ma il lim a cui tende la successione a(n)=n...
per dire che +inf è un punto di accumulazione dovresti considerare N come sottoinsieme della chiusura di N (N esteso), ossia $bar N=N+{+\infty}$
Non ho mai fatto esercizi cosi' teorici comunque mi pare interessante e voglio provarci.
$A:={ x \in [-1,1] : \exists n \in NN , sin(n) = x } $
E' l'insieme preso in considerazione. Prendiamo questa famiglia di insiemi:
$A_(n) := { x \in [-1,1] : \exists m \in NN : | sin(n) - sin(m) | < \epsilon } $
Dove $\epsilon > 0$. Si tratta di un $\epsilon$ intorno di un generico punto di A. Se dimostriamo che esiste almeno un punto (oltre a $sin(n)$) in questo insieme per OGNI $\epsilon$ allora abbiamo la tesi.
Ovvero dobbiamo trovare almeno una soluzione intera non banale della disequazione:
$ | sin n - sin m | < \epsilon $
Questa equivale al sistema:
$ sin n - \epsilon \leq sin m \leq sin n + \epsilon $
Ovvero:
arcsin$ ( sin n - \epsilon) < hat m < $arcsin$ ( sin n + \epsilon ) $ (1)
Dove:
$ m = hat m + 2 k \pi $ (2)
Chiaramente se poniamo:
$ \sigma = 4 - \pi $
Ogni numero nella forma:
$ hat m = 2 \sigma q \qquad \qquad \qquad q \in QQ$ (3)
E' accettabile produce, se messo nella (2) numeri interi.
Siccome $QQ$ e' denso in $RR$ esiste sicuramente almeno un numero che risolve la (1) nella forma (3).
Da cui per ogni punto in A esiste almeno un altro punto di A vicino quanto si vuole. Da cui:
$A sube A'$
*** EDIT ***
Nel caso di 1 e -1 bisogna ripetere il discorso prendendo un intorno sinistro o destro rispettivamente....
*** EDIT II ***
Vd. sotto
$A:={ x \in [-1,1] : \exists n \in NN , sin(n) = x } $
E' l'insieme preso in considerazione. Prendiamo questa famiglia di insiemi:
$A_(n) := { x \in [-1,1] : \exists m \in NN : | sin(n) - sin(m) | < \epsilon } $
Dove $\epsilon > 0$. Si tratta di un $\epsilon$ intorno di un generico punto di A. Se dimostriamo che esiste almeno un punto (oltre a $sin(n)$) in questo insieme per OGNI $\epsilon$ allora abbiamo la tesi.
Ovvero dobbiamo trovare almeno una soluzione intera non banale della disequazione:
$ | sin n - sin m | < \epsilon $
Questa equivale al sistema:
$ sin n - \epsilon \leq sin m \leq sin n + \epsilon $
Ovvero:
arcsin$ ( sin n - \epsilon) < hat m < $arcsin$ ( sin n + \epsilon ) $ (1)
Dove:
$ m = hat m + 2 k \pi $ (2)
Chiaramente se poniamo:
$ \sigma = 4 - \pi $
Ogni numero nella forma:
$ hat m = 2 \sigma q \qquad \qquad \qquad q \in QQ$ (3)
E' accettabile produce, se messo nella (2) numeri interi.
Siccome $QQ$ e' denso in $RR$ esiste sicuramente almeno un numero che risolve la (1) nella forma (3).
Da cui per ogni punto in A esiste almeno un altro punto di A vicino quanto si vuole. Da cui:
$A sube A'$
*** EDIT ***
Nel caso di 1 e -1 bisogna ripetere il discorso prendendo un intorno sinistro o destro rispettivamente....
*** EDIT II ***
Vd. sotto
Esatto infatti wedge proprio quello è il motivo.
Sì: infinito è punto di accumulazione per N, anche se infinito non è elemento di N. Perché in ogni intorno di infinito c'è almeno un numero naturale (ce ne sono infiniti). Comunque in matematica non si dice "si può considerare" , "non si può considerare", si dice "è" o "non è". Un linguaggio di tipo "opinabile" già leva molti punti ai voti!
Una dovuta precisazione.
Prima, in realta', ho dimostrato:
$ A sube A' sube [-1,1] $
Ma si puo' dimostrare facilmente che:
$ A' = [-1,1] $
Infatti il mio ragionamento si puo' applicare a tutti gli insiemi del tipo:
$ A_x := { y \in [-1,1] : \exists n \in NN : |sin(x)-sin(n)| < \epsilon } $
Prima, in realta', ho dimostrato:
$ A sube A' sube [-1,1] $
Ma si puo' dimostrare facilmente che:
$ A' = [-1,1] $
Infatti il mio ragionamento si puo' applicare a tutti gli insiemi del tipo:
$ A_x := { y \in [-1,1] : \exists n \in NN : |sin(x)-sin(n)| < \epsilon } $
ottimo lavoro david!
@CA grazie della nota linguistica.
@CA grazie della nota linguistica.
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